acù -\- bù)', Q.' — a' w + b' w

a, b, a', b' étant des nombres entiers tels que le déterminant ab' — ba' soit différent de zéro, ce qui revient à supposer que les points ùj Q! ne sont pas en ligne droite avec l'origine, il est évident que les sommets du réseau construit sur les périodes ù, Q! coïncident av£c certains sommets du premier réseau. Le rapport de l'aire du parallélogramme (ù, O') à celle du parallélogramme («, w') est égal au déterminant ±(ab'-ba').

On peut remplacer le système des deux périodes «, w' par un système équivalent &)^, w'j, de manière que les deux formules précédentes se réduisent à la forme simple

car si l'on pose

w =z m W| H- « w', , w' =: /n' Wi +- n' w', , on a

Q. = [am -\- bm' ) m, + [an + bn' ) w', , 0/ =^{a' m -i - b' m')Mi-+- {a' n -t- b' n' ) w', .

On choisira deux nombres entiers n et n' premiers entre eux, satisfaisant à la condition an-i~ bn! = o, puis deux nombres entiers m et m'

satisfaisant à la condition mn' — nm' = =bi. On peut même supposer que les nombres entiers a, et 6', sont positifs, sans quoi on changerait les signes des périodes. La valeur absolue du déterminant, qui est ici aih\, n'a pas changé.

Soient OACB {fig. 69) le parallélogramme («,, «J, ODFE le parallélogramme [Ùy Q!) ; le parallélogramme ODHG, dont les sommets D et G

sont les points ^^aiWi, z = b\(ù\, est l'assemblage de a, 6', parallélogrammes du premier réseau. Il y a donc, dans ce parallélogramme, afb\ points homologues d'un point donné, par rapport aux périodes w<, cù\; mais les points du triangle DHF sont respectivement homologues de ceux du triangle OGE. On en conclut que, dans le parallélogramme ODFE, il y a aussi a^b\ points homologues d'un point donné.

175. Considérons maintenant deux réseaux (w, (V)'), («,, cù\) et supposons que, parmi les sommets de ces deux réseaux, plusieurs coïncident; si trois non en ligne droite coïncident, il y en aura une infinité, qui formeront un réseau, dont nous désignerons par D, ù' un système de périodes élémentaires. On aura les relations

Q, = acù -h b(ù' = a,a), -f- 6,&i',,

que l'on pourra réduire à la forme

en transformant chacun des systèmes proposés en un système équivalent.

Les déterminants sont alors N — ab\ N, = a^ b\ . Cherchons les caractères auxquels on reconnaîtra que le réseau (0, O') comprend bien tous les sommets communs aux deux réseaux proposés. Il faut d'abord que les nombres entiers a et «, soient premiers entre eux; car, s'ils avaient

un plus grand commun diviseur d, les sommets du réseau l-r^ û'j» qui

est formé de parallélogrammes d fois plus petits que ceux du réseau {Q,, Q'), seraient communs aux deux réseaux proposés. Cette condition étant remplie, supposons qu'il y ait, dans le parallélogramme {ù, Ù'), un ou plusieurs sommets communs; on pourra choisir l'un d'eux H", de manière que le réseau (Û, ù") comprenne tous les sommets communs, et l'on aura

Q" = «"co + 6"o)' = d\ w, + h\ (ù\ ,

û' = mi2 -f nQ.":= {ma-+- na") w + nb"u'= {mat ■+- nd\ ) w, -f- nh'\ m\,

l'aire du parallélogramme (û, Q') étant n fois celle du parallélogramme (0, ù"). On en déduit

ma ■+■ na" = a', mai -+- nd\ = a', , nh"^h\ nb'\ = b\.

Les deux dernières relations montrent que n doit être un diviseur commun de h' et t'^; elles donnent les deux nombres entiers b" et b\. Les deux premières relations peuvent être remplacées par les suivantes :

m ( aa\ — rt, a" ) = a'd\ — a , a", n ( ad^ — aia")=z aa\ — a, a'.

Le nombre aa\ — a^of doit être divisible par n; soit h le quotient; de l'équation aa" — «4 «"= ^, dans laquelle a et a< sont premiers entre eux, on déduira des valeurs de a" et a\ de la forme a"= hg, a[ — hg^y les nombres g et gi satisfaisant à la relation ag^ — atg = i; l'autre équation donnera ensuite m = a'g^ — a\ g. On conclut de ce qui précède que, pour que le réseau {Q, D') soit un réseau élémentaire des sommets communs aux deux réseaux proposés, il est nécessaire et il suffit que les deux nombres a et a, soient premiers entre eux, et que le plus grand commun diviseur des trois nombres b', b\ , aa\ — UtU' soit égal à l'unité.

176. Lorsque les deux réseaux (w, w'), (w,, cù\) admettent un réseau de sommets communs [Q, û'), on peut trouver un troisième réseau (e, s'), v-woia^vV»^ v"^- W tel que les sommets des deux réseaux proposés appartiennent à ce troisième réseau. Nous supposerons, afin de simplifier, que les deux systèmes de périodes proposés ont été préalablement choisis de manière à réduire les relations (i) à la forme (2). Les sommets du réseau (co, 6)') appartenant au réseau (s, e'), on doit avoir

co=pe-\-qe', (ù' = p' z-h q' z',

p, q,p', q' étant des nombres entiers; mais on peut choisir les périodes £, s', de manière à réduire ces relations à la forme

(3) (d = pey oi'=: p'e + q't'.

A cause de la relation aw = a, co,, on aura aussi

( 4 ) w. = pi e, &)', z=p\z-\- q\ e'.

En substituant dans les relations (2), on obtient les relations ap =za,pi, a'p^ b'p' = a\ /?, -f- b\ p\ , b' q' = b\ q\ .

De la première, on déduit ,

p=aih, px= ah,

h étant un nombre entier. Appelons â le plus grand commun diviseur des nombres b\ b\, et soient b'= âb", b\ = ^b\ ; la troisième donne

q'=b\k, q\ = b"k, k étant un nombre entier. La seconde devient

Les deux nombres aa\ — a, a' et â étant premiers entre eux, on doit

prendre pour h un multiple de ^. Soit h = c?A', la relation précédente

se réduit à

b"p' -b\p\ = { aa\ -a,a') h' ;

on en déduit pour/?' et p^ des valeurs entières. Les déterminants des

formules (3) et (4) sont

pq' z::^a,b\kh'=kh'îii, p,q\=: ah'kh' =k/i'^.

Le parallélogramme (s, e') sera le plus grand possible, si Ton fait h'— i,k~- 1; les déterminants sont alors respectivement égaux à N, et kN.

177. Théorème XIV- — Deux /onctions méromorphes doublement périodiques, dont les réseaux ont un réseau de sommets communs, sont liées par une équation algébrique.

Soient u =f{z), (^ — F (^) deux fonctions de z, méromorphes dans toute l'étendue du plan, doublement périodiques, d'ordres n el /i,, et ayant pour périodes, la première &) et «', la seconde w< et u\. Nous supposons que les réseaux relatifs à ces deux fonctions ont un réseau (fi, û') de sommets communs. L'aire du parallélogramme (Û, Q,') est égale à N fois celle du parallélogramme («, w'), et à N, fois celle du parallélogramme (w,, w'J. A une valeur de u, finie ou infinie, correspondent n points z dans chaque parallélogramme (w, w'), et, par conséquent, n'N points dans le parallélogramme (0, ù'). A cette valeur de u correspondent donc, dans toute l'étendue du plan, /iN séries de valeurs de z de la forme z,t-h mù H- m'Q.'; mais aux valeurs de z d'une même l ,^y ^^

série correspond une seule valeur de v. Ainsi, à chaque valeur de m, \,^'-'^ "^"^y^ finie ou infinie, correspondent nN valeurs de ç». '^ ,^

Si l'on figure la variable u par le mouvement d'un point sur la sphère, il est aisé de voir que la fonction v àQ u n'a, sur toute la sphère, pas d'autres points singuliers que des pôles ou des points critiques algébriques. Lorsque les n valeurs de 2 qui, dans un parallélogramme (w, w'), correspondent à une valeur m, attribuée à u, sont racines simples de réquation/(;z) — m, — o, chacune d'elles est une fonction holomorphe de u dans le voisinage du point u^ ; si aucune des /iN valeurs de z situées dans le parallélogramme (û, Qf) ne coïncide avec un pôle de la fonction F(z), les nN valeurs de v seront finies, et chacune d'elles sera une fonction holomorphe de z et par conséquent de u dans le voisinage du point u^. Lorsque l'une de ces tiN valeurs de -z, que nous

désignerons par z^, coïncide avec un pôle de la fonction F(z), on a, d'une part,

z — zu^{u — M,) 9 (a),

<P(m) étant une fonction holomorphe de u dans le voisinage du point m, et qui ne s'annule pas pour u = w, ; d'autre part, puisque le point z^ est un pôle du degré/? de la fonction F(z),

[Z — Zk)''

(|/ (z) étant une fonction holomorphe de z dans le voisinage de la valeur S/, et qui ne s'annule pas pour z — z^. On en déduit

X{u) étant une fonction holomorphe de u dans le voisinage du point m,, et qui ne s'annule pas pour m = m,. Ce point m, est un pôle du degré p de l'une des branches de la fonction v.

Supposons maintenant que l'équation /{z) — a, = o ait une racine Zf du degré p; dans le voisinage du point m,, l'équation admettra p racines peu différentes de z,, et formant un système circulaire (n° 33). A ces p valeurs de z correspondent p valeurs de v peu différentes de la quantité Vt == F(2i), et formant elles-mêmes un système circulaire. Chacune des N valeurs 2^ de z, homologues de z, dans le parallélogramme [ù, ù'), donnera de même un groupe de p valeurs de v, peu différentes de la quantité ^a= F (z^), et formant un système circulaire. Si la valeur z^ coïncidait avec un pôle de la fonction F (2), on poserait

V = --, et l'on aurait à considérer un groupe de p valeurs très-petites

deç^, formant aussi un système circulaire. Le point m, est donc un point critique algébrique pour les branches de la fonction v qui deviennent égales en ce point.

Les mêmes propriétés subsistent quand la variable u devient infinie;

il suffit de poser m = -^ et de donner à la nouvelle variable u' des valeurs très-petites. Lesn valeurs de z qui, dans le parallélogramme (w, w'),

correspondent à la valeur u' = o sont les pôles de la fonction /(^j ; mais rien n'est changé dans le raisonnement : le point u' =^ o, par rapport à la fonction v, est, ou un point ordinaire, ou un pôle, ou un point critique algébrique.

Nous venons de démontrer que v est une fonction de u, n'ayant, sur toute la sphère, aucun point singulier autre que des pôles et des points critiques algébriques; elle n'admet d'ailleurs, en chaque point, qu'un nombre limité de valeurs. On en conclut, d'après le théorème du n° 135, qu'elle est une fonction algébrique de u. L'équation algébrique qui lie les deux variables u et v, mise sous forme entière, est en général du degré /iN par rapport à v, et du degré n^^^ par rapport a u.

178. Remarque. — 11 peut arriver que l'équation entre uQiv s'abaisse à des degrés sous-multiples de n^^^ et de /iN. Nous avons vu qu'à une valeur m, de u correspondent nN valeurs de z, abstraction faite des multiples de Q. et de fil'; désignons-les par z,, So,...; les «N valeurs correspondantes de v, que nous appellerons ç'^, ^a»---» sont des fonctions holomorphes de u, excepté dans le voisinage des pôles ou des points critiques. La différence de deux valeurs de v est aussi une fonction holomorphe d'^ w, avec les mêmes restrictions. Supposons que les k valeurs Vi^ <^,..., Vk restent égales entre elles, lorsque la variable u se meut dans une petite étendue; chacune des fonctions v^— ^1,^3— v^,..., ^A—^< étant nulle dans cette étendue, sera nulle dans tout le plan (n° 11 4), et par conséquent les k branches ^<, ^2»---> ^a de la fonction v coïncident pour toutes les valeurs de u. On peut faire décrire à la variable u une courbe fermée, telle que la valeur z^ se change en une quelconque zi(^i des valeurs de z n'appartenant pas au premier groupe z,,z2>-'-,^a; les autres valeurs de ce premier groupe se changeront enz^+a, z^+g, . . . , z^^. Les /c branches ç',, ^a»---. ^a coïncident toujours pendant ce mouvement; on en conclut que les k branches ^a+o ^a+2>--» ^2* de la fonction coïncident aussi. Ainsi les /iN valeurs de v se partagent en groupes composés chacun de k valeurs égales entre elles, ce qui exige que le nombre k soit un diviseur de /iN.

Inversement, supposons qu'on donne à la variable v une valeur quelconque, v^ par exemple; parmi les /îiN< valeurs correspondantes de z se trouvent les k valeurs z^yZ^,..., Zf, considérées précédemment et

auxquelles correspond la même valeur w, de u. Aucune des autres valeurs de z ne donne la même valeur de u\ car, si à la valeur Zk+^ correspondait aussi la valeur m, , à cette valeur m, correspondraient plus de k valeurs de z donnant la même valeur ç^^ de v. Il en résulte que les n^ N, valeurs de u qui correspondent à une même valeur de v se partagent aussi en groupes composés chacun de ^valeurs égales entre elles, ce qui exige que le nombre k soit un diviseur de n^^^. L'équation s'abais-^

sera donc au degré -j- par rapport a Vy et au degré —j— P^r rapport a u.

179. Théorème XV. — Lorsque les deux /onctions sont paires, réquation algébrique à laquelle elles satisfont s'abaisse à des degrés moitiés.

Remarquons d'abord qu'une fonction doublement périodique paire est d'ordre pair; car, si l'on considère le parallélogramme élémentaire dont l'origine est le centre, les valeurs de z qui correspondent à une même valeur de m, étant égales deux à deux et de signes contraires, seront en nombre pair dans ce parallélogramme. Nous avons formé les réseaux avec les points homologues de l'origine. Concevons maintenant que l'on forme les réseaux avec les points homologues du point

^0 = 5 alors le centre du premier parallélogramme [ù, H')

coïncidera avec l'origine. A une valeur de u correspondent n points z dans chaque parallélogramme (w, &)') et par conséquent nN dans le parallélogramme (û, Û'), qui a pour centre l'origine; ces points étant

deux à deux symétriques par rapport à l'origine, on n'a que — valeurs de y. De même, à chaque valeur de v correspondent — — '■ valeurs de u.

Ainsi l'équation algébrique est du degré — par rapport à (^ et du de-

. n, N, gre par rapport a u.

180. Théorème XVI. — Deux fonctions méromorphes paires et doublement périodiques du second ordre, dont les réseaux ont un réseau de sommets communs, sont liées par une équation algébrique dont chaque membre ne contient que l'une des variables et est une fraction rationnelle de cette variable.

Les deux réseaux (w, w'), (co<, w'i ) ayant un réseau (ù, û') de sommets communs, il existe plusieurs réseaux {s, s.') dont les sommets des deux réseaux proposés font partie (n** 176). Considérons le plus grand d'entre eux; les aires des parallélogrammes (w, w'), (w,, w', ) sont égales respectivement à N, fois et à N fois celle du parallélogramme (e, s'). Désignons par w une fonction méromorphe paire, admettant les deux pé- ^riodes ê et s', et du second ordre. Les réseaux (w, w'), (s, e'), relatifs aux fonctions u et h^, ont pour sommets communs précisément ceux du réseau (w, 0)'). Il résulte du théorème précédent que l'équation entre (♦> et u est du premier degré en w et du degré N< en u; on en conclut

que w est une fraction rationnelle en u du degré N,, et l'on a m^ = —,

U et Ui étant des polynômes entiers en u du degré N<. De même, w est

une fraction rationnelle en v du degré N et l'on a «^ = ^) V et V, étant

des polynômes entiers en v du degré N. L'équation cherchée est donc de la forme ,

Remarque. — Nous avons supposé que les fonctions u et v du second ordre sont paires. Remarquons que toute fonction doublement périodique du second ordre peut être rendue paire par l'addition d'une constante à la variable. Soient a et p les deux infinis de la fonction

u=f{z), on a

et par suite 9»»> ^''' "^v

En désignant par a, et ]3, les deux infinis de la fonction f' — F (2), on a de même

La relation entre les deux fonctions paires /(^-^ + zUY y' ^ ^' -1- z) a la forme indiquée précédemment. Si l'on remplace ensuite z

rï -J- fi

parz — !-) la relation aura lieu entre les deux fonctions /(^),

F{z -+- h)y la lettre h désignant la constante ' "^ — ^•

181. Théorème XVII. — Une fonction âgublement périodique et sa dérivée sont liées par une équation algébrique.

La fonction u --f{z) et sa dérivée v! ==f'{z) ont les mêmes périodes 6), «', et, par conséquent, le même parallélogramme élémentaire; si n est Tordre de la fonction proposée, nous savons (n° 1,51 ) que Tordre n! de la dérivée peut varier de n + i à an. Les deux fonctions u et v! sont donc liées par une équation algébrique

dont il est facile de déterminer le degré. La fonction inverse est représentée par l'intégrale définie

dans laquelle u' est une fonction algébrique de u donnée par l'équation (6). Cette intégrale a éléétudiée dans le Chapitre IV du Livre III; nous avons vu qu'à chaque couple de valeurs de u et u' correspond une valeur de z augmentée de multiples des périodes. Ces périodes sont les valeurs de l'intégrale définie relatives aux cycles, c'est-à-dire aux ^v**^

courbes fermées qui ramènent le même couple («, m'); ici les périodes \K ^ ^

se réduisent à deux. Puisque les valeurs de z qui correspondent à un \*^.^^^*^iJ^^ 'xf"

même couple (w, u') diffèrent entre elles de multiples des périodes, il \^ «y^ ''^^I|J^^, '^

est impossible qu'en deux points z situés dans un même parallélo- .. ^ || iam-tT'

gramme élémentaire, la fonction u et sa dérivée u aient respectivement . ^^^jj ■Mfi^^'^^'

les mêmes valeurs. On en conclut que la dérivée u' acquiert n valeurs

différentes aux n points z qui, dans un parallélogramme élémentaire,

correspondent à une valeur donnée de m, et que, de même, la fonction u

acquiert n' valeurs différentes aux n' points qui correspondent à une

valeur donnée de u'. L'équation (6) est donc du degré n par rapport

à u' et du degré n' par rapport à u.

La dérivée u' ne devenant infinie pour aucune valeur finie de w, le coefficient de m'" est constant et l'équation (6) se met sous la forme

(8) u'"+ U. m'"-' + Uj ?<'«-*+ . . . + U„ = o,

U,, U2,..-, U„ désignant 4es polynômes entiers en m, dont les degrés ne peuvent surpasser n'. La somme des n valeurs de -r- ou de — > qui correspondent à une même valeur de m, étant nulle (n** 164), le polynôme U„, est nul.

Si Ton pose

I , dv , v'

V dz V*

l'équation (8) devient

celte relation entre la fonction doublement périodique v et sa dérivée / devant avoir pour coefficients des polynômes entiers en ç», il est nécessaire que les polynômes U,, Uj,..., U„, qui entrent dans la première équation, soient au plus, le premier du second degré, le second du quatrième degré,..., le dernier du degré 2/1.

Le théorème du n° 158 est un cas particulier du précédent.

182. Théorème XVIIL — Étant donnée une /onction méromorphe doublement périodique u=/{z)^ de l'ordre n, aux périodes élémentaires û), w', toute autre fonction méromorphe qui admet ces deux périodes s'exprime rationnellement au moyen de la première fonction et de sa dérivée.

Nous avons vu que la fonction u et sa dérivée u' sont liées par une équation algébrique

(6) Y{ii\u) = o,

du degré n par rapport à m, et que, aux n points ^,, Zg, . . . , z„ qui, dans un même parallélogramme élémentaire (o, œ'), correspondent à une valeur donnée de m, la dérivée u' acquiert zi valeurs différentes u[ , u'^ u'^, qui sont les n racines de l'équation (6). Nous savons aussi

qu'une autre fonction méromorphe v de s, qui admet les périodes w, w', est liée à u par une équation algébrique, qui est, en général, du degré n par rapport à v. Désignons par ^,, V2,..., Vn les valeurs de v aux points 2,, Za»--» ^/lî *^es valeurs correspondent respectivement aux racines u\j u'^,..., u'„ de l'équation (6), de sorte qu'à tout système de valeurs (w, u') correspond une valeur déterminée de v et une seule. Les fonctions vu\ i^u'^,..., vu'"-* jouissent de la même propriété; à chaque couple (w, u') correspond une seule valeur de chacune de ces fonctions. Les sommes

VtU\ ■+- v,u\ -f- . . . + v„u„ — P„

(10) { </,«'« + fitt',» -^...+ VnU'^ =P„

n'ayant qu'une valeur pour chaque valeur de m, sont des fonctions méromorphes de u sur toute la sphère : elles sont donc égales à des fractions rationnelles de u (n° 129); nous les avons représentées par Po, P, ,..., P„i. Multiplions les deux membres des équations (10) respectivement par A„<, A„2»---î A,,i, ajoutons les résultats, puis égalons à zéro les coefficients de v^, ♦'3,.... Vhi ce qui donne le système des n — i équations

!mV-» -h A, a',"-* -^ A, m',"-» -+-... + A„, m; + A^, = o, mV"» -i- A,i/V-*+ A,a',"-'-i- . . . -i- A,,«'3 + A^, = o, • • • • »

l'équation résultante se réduira à

Les équations (i i) montrent que les quantités A,, Aj,. . ., A„, sont les coefficients de l'équation du degré n — i, qui admet pour racines «3, M3,..., ul\ on obtiendra cette équation en divisant par u' — u\ le

premier membre de l'équation (6), ordonné par rapport aux puissances décroissantes de u' \ les coefficients du quotient, qui sont des polynômes entiers en u et m'j , donneront A< , Ao, . . . , kn-^ . De l'équation ( 1 2) on déduira ensuite l'expression de ç'< par une fraction rationnelle en u et m'i .

Ce théorème comprend celui de M. Liouville (n° 161) comme cas particulier. La démonstration exige que les périodes &), w' forment bien un système de périodes élémentaires de la fonction u\ mais cette condition n'est pas nécessaire pour la fonction v.

183. Théorjîme XIX. — Lorsque les réseaux de deux fonctions méromorphes doublement périodiques u et v ont un réseau de sommets communs, dont le paj'allélo gramme (û, Q!) contient ^/ois le parallélogramme élémentaire (w, a>') de la /onction u, la fonction v est racine d'une équation algébrique du degré N, ayant pour coefficients des fonctions rationnelles de u et de sa dérivée u' .

A chaque couple (m, u') correspond un point z dans le parallélogramme (w, w'), par conséquent N points dans le parallélogramme (1^,0') et, par suite, N valeurs de v. Toute fonction symétrique et entière de ces N valeurs de v est une fonction méromorphe de z, admettant les deux périodes w et w'; en vertu du théorème précédent, elle s'exprime rationnellement au moyen de u et de u' , On en conclut que V est racine d'une équation du degré N, ayant pour coefficients des fonctions rationnelles de u et u' . De cette manière, la résolution de l'équation entre u et v, et qui est du degré ziN par rapport à l'inconnue V (n" 177), est ramenée à celle de deux équations, la première du degré n en u\ la seconde du degré N en v.

Dans nos premières recherches [Journal de l'École Polytechnique, i856), nous avions indiqué seulement la relation algébrique qui a lieu entre deux fonctions qui admettent les mêmes périodes. La considération du réseau formé par les sommets communs à deux réseaux proposés nous a permis d'établir les théorèmes qui composent ce Chapitre. La relation algébrique qui existe entre une fonction doublement périodique et sa dérivée a été remarquée par M. Méray vers la même époque.