CHAPITRE V

Méthode générale pour le développement d'une fonction en une somme d'une infinité de termes rationnels.

184. Voici la méthode queCauchy a déduite des propriétés des intégrales définies. Soit/(z) une fonction méromorphe dans toute l'étendue du plan. Considérons d'abord la partie du plan enveloppée par une courbe

Fig. 70.

fermée C {Jig. 70), et à l'intérieur marquons un point quelconque t. La fonction ^-^. admet comme pôles ceux de/(5;) et en outre le point/. D'après le théorème du n** 120, l'intégrale définie

dz t

relative à la courbe C est égale au résidu relatif au point / et à la somme des résidus relatifs aux pôles or de la fonction f[z) situés à l'intérieur de la courbe G. Le premier résidu étant égal \f{t)y on a

Concevons maintenant que la courbe C s'étende indéfiniment dans tous les sens, et qu'elle soit choisie de telle sorte que le module de la fonction f[z) sur cette courbe reste moindre qu'une quantité finie M, si c'est possible. Puisque

c tendant vers zéro, quand z augmente indéfiniment, on a

fiz) ^ fiz) ^ tf{z){i + z)

î^^±^dz.

II est aisé de voir que la dernière intégrale tend vers zéro, quand la courbe C s'étend à l'infini; car, si l'on pose z =: re\ il vient

dz =-- e^'dr + iré'dO, — ~ g-'' f- ie-^' — ,

J(C) ^ J(C) ^ Jo

Si l'on désigne par £, le maximum du module de e et par r, le minimum der

sur la courbe, le module du dernier terme est moindre que — — - — —^

et, par conséquent, ce terme tend vers zéro, quand r< augmente indéfiniment. Supposons que la courbe C soit composée d'un nombre fini d'arcs tels que sur chacun d'eux le rayon r aille en augmentant ou en diminuant; la partie qui, dans la première intégrale du second membre, se rapporte à l'un de ces arcs, sur lequel r croit par exemple de r' à r", a un module moindre que

M(n-s.)£' ~ = M(i + s.)(^-;^)-, cette intégrale tend donc aussi vers zéro. Ainsi nous pouvons réduire

l'intégrale (2) à sa première partie

Lorsque la fonction f[z) est impaire, si l'on choisit la courbe C de manière qu'elle ait pour centre l'origine, l'intégrale (3), ayant ses termes deux à deux égaux et de signes contraires, est identiquement nulle. Dans ce cas, l'intégrale (2) tend donc vers zéro, quand la courbe s'étend a l'infini, et l'équation (i) se réduit à

:- lim

Développement de -, — et de •

'^^ sin-3 cosz

185. Les pôles de la fonction -.- sont distribués uniformément

sur Ox [fig. 71). Prenons sur cet axe des longueurs OA=OA'=rm';r-i- -

et sur l'axe Oydes longueurs OB = OB'=j,; parles points A et A' menons des parallèles à Oj et par les points B et B' des parallèles à Oa?, de

fig- 7'-

XXX — i:-x X — ^

manière à former le rectangle EFGH. Les pôles situés dans ce rectangle sont représentés par la formule a = m;r, m variant de — m' à + m'.

Nous intégrerons suivant le contour du rectangle et nous ferons ensuite augmenter indéfiniment le nombre entier m' et la longueur j,, afin d'étendre à l'infini le contour du rectangle. Sur les côtés FG, HE, on a

z =■- ±. im''K -h -) H-yï, et par suite

i-{\e^ — e V le module de -. — est plus petit que l'unité. Sur les côtés GH, EF, on a

le module de -: — est infiniment petit. On peut donc réduire l'intégrale (2) à sa première partie (3). D'autre part, la fonction - — étant

impaire, cette première partie est identiquement liulle. Ainsi l'intégrale définie tend vers zéro.

Le résidu relatif à l'un des pôles a = rm: est

t — rm: <-^ sinz t L'équation (4) devient donc

—. — = Iim sin t

ni=: — m'

/n=; +rn

et, en remplaçant t par 5,

5) - — = Iim > — ~~'—.

smz ^ z — mn

En groupant les termes qui correspondent à des valeurs de m égales et de signes contraires, on obtient la formule connue

in— a>

/ex » ï V (—0'"

sin z z ^ z' — in'-R'

Si dans l'équation (5) on remplace z par z + -» il vient

tn=-m'+i

(7) ::ir,-^^ ^ '-""

m^-m' Z — (am — ij-

Nous avons ajouté un terme infiniment petit à la droite de la série, celui qui correspond à m = m'H-i, afin d'avoir autant de termes d'un côté que de l'autre. Le groupement des termes conduit à l'expression

COSZ~" Z^ . , ,, 71»

Développement de cotz et de tangz.

186. Les pôles de la fonction impaire cotz sont les mêmes que ceux

de-A-; on intégrera suivant le même rectangle. On reconnaît aisé-

ment que sur les côtés FG, HE le module de cotz est plus petit que i , et que sur les deux autres côtés il est très-voisin de i. On peut donc réduire l'intégrale à sa première partie qui est identiquement nulle. Le résidu relatif au pôle a = mu étant

y coiz = -— — j

t — rmz ^^ l — rm:

l'équation (4) devient

^ t — mu

cet t =: lim

OU

(9) colz=lim \ "^ = -.-\-iz\ - — ^-^— •

2i86 LIVRE IV. - CHAPITRE V.

En remplaçant z par z -\- - et ajoutant un terme infiniment petit, on en déduit

(lo) langz nr^ - lim \

mr.^-m' ^ — (am — l)- ,, »t=i (2/n — l)*y — 2'

Développement d'une fonction doublement périodique en une somme d'une infinité de termes simplement périodiques.

187. Une méthode analogue à celle de Caucby pour le développement en sommes de termes rationnels nous permettra de traiter la question. Considérons d'abord une fonction de l'ordre 2ny aux périodes aw, w', satisfaisante la relationy(z + a)) = — y(z), et ayant n infinis ah dans le parallélogramme ABDC (fig- 72), dont le sommet A est un point arbi-

Fig. 72.

traire Zq et les deux sommets B et C les points Zo -^ «» ^0 + w'. Formons le parallélogramme EFGH, dont les sommets E et H sont les points Zq — m'co', Zo + m'«', et les sommets F et G les points Zo + w — m'w', Zo + w H-m'w'; ce parallélogramme est la réunion de im' parallélogrammes égaux au premier. Les infinis situés dans le parallélopframme EFGH sont représentés par la formule a — a^ + mtù' , m variant de — m à m'— I. Marquons un point quelconque t à l'intérieur du grand parallélogramme. La fonction

sin - [z — t)

admet la période w ; ses pôles sont le point t et les points a= a,,^ m(ii'. D'après le théorème de Cauchy, l'intégrale définie

'."Kl I . TT

/ sm -

relative au contour du parallélogramme EFGH, est égale à la somme des résidus relatifs aux pôles situés dans ce parallélogramme. Les deux côtés FG, HE donnent des résultats égaux et de signes contraires; sur les côtés EF et GH, la fonction f[z) ayant une valeur finie, et le module du dénominateur devenant infiniment grand avec m\ l'intégrale définie a une valeur très-petite. Ainsi, quand m' augmente indéfiniment, l'intégrale définie tend vers zéro, et par conséquent la somme des résidus

est nulle. Le résidu relatif au point / étant— /(f), on a l'équation

(il) fi^) = - hm ^ ' •' '

' '^sm - (/

Si la fonction proposée n'a que des infinis simples, l'équation précédente devient

Ai

=-, A=. sin- (/ — «j— mcù')

A/t désignant le résidu de /{z) relatif à a^- La série est convergente dans les deux sens. Celte égalité est démontrée pour tous les points t situés dans la partie du plan comprise entre les parallèles indéfinies EH, FG; les deux membres changeant de signe quand on remplace t par / -+- w, l'égalité est vraie pour toutes les valeurs de /. Ainsi l'on a, dans toute l'étendue du plan,

/||= ao h '

f^'^-lll —

=-» yi=i sin - (z — a^ — mu)

(ti

Supposons que la fonction proposée ait dans le parallélogramme ABDC

un infini multiple a^ du degré jo; l'infini a = a^-^ mu^' sera du même degré. Posons z — a + 2', nous aurons a chercher le résidu de la fonction

^ /(a/, + z') coséc -{t — ce — z').

Si Ton développe en série, il vient

coséc - U — a— z') =z coséc - [t —oc) D, coséc - (/ — a ) 4- . . .

(— ly-' ^-^ rlK 'coséc -{t--a.)-\-. . .,

et le résidu cherché est

A'; coséc -{t-a)-^ D,coséc - (<-a) 4-... + {-i)/'-' ''^ Dp' coséc - (/ - a).

On obtient ainsi l'équation

(i3)/'(z)==- > \ A';coséc-(z — a^ — mw') ^D,coséc-(2 — a,, — m&/)

A TT n

j/--' f r Dr' coséc - (z - «A— m co') •

188. Considérons maintenant une fonction doublement périodique quelconque/(z), aux périodes &>, w', et ayant n infinis a^ dans le parallélogramme ABDC, dont nous nous sommes servis dans le numéro précédent. La fonction

tang'^(z-0

admet la période w. L'intégrale définie

lang-(z-0

Cl)

relative au contour du parallélogramme EFGH, est égale à la somme des résidus de la fonction pour les pôles situés dans le parallélogramme, c'est-à-dire pour le point t et les points a = «^ -h ma>', m variant de — m' à m'—i. Les côtés FG, HE donnent des résultats égaux et de signes contraires. Si l'on désigne par z un point de la droite AB, les points homologues de GH et de EF seront z -t-m'o', z — m'u', et le? parties de l'intégrale relatives a ces deux côtés seront

— r M \- — — '- — 1 dz.

2^' Ab iang-(3/ — m'w') lang - (z - / -i- mV)

Lorsque m' augmente indéfiniment, la première tangente tend vers — «, la seconde vers i, de sorte que l'intégrale définie tend vers une limite égale à l'intégrale rectiligne

suivant la droite AB. Le résidu de la fonction relatif au point t étant ~ /{ij, on a l'équation