TT , . . 2«, TT

ï, r= cos -^ h i sm -^ »

qui est une racine primitive de l'équation binôme x^^ '—\. Un second

tour donnera Uoj\ x j\ = Uf^Jl; un troisième w©/?^ etc. La fonction prend donc au même point ^o les y, valeurs

un nouveau tour ramènerait la valeur initiale u^.

Si l'on tourne ensuite autour du second point critique «2 avec l'une des Çi valeurs précédentes prise comme valeur initiale, on obtiendra q^ valeurs différentes. La forme des valeurs ainsi obtenues est

si les nombres q, et q^ sont premiers entre eux, la fonction acquiert de la sorte q^ q^ valeurs, et ainsi de suite.

Lorsqu'une fonction, qui a une valeur initiale bien déterminée, acquiert ainsi plusieurs valeurs pour une même valeur de z, suivant les chemins décrits par cette variable, nous dirons que la fonction est/?olytrope.

La définition que nous venons de donner de la fonction u ■= z" s'étend au cas où l'exposant a est un nombre incommensurable, positif ou

négatif. Si l'on pose

2=: r(cos0 -4- ï sin0),

on a

M = z" = r"'(cosa0 + sin«0).

Mais ici, lorsque la variable z tourne autour du point critique s = o, la fonction acquiert une infinité de valeurs différentes ayant même module et dont les arguments forment une progression arithmétique dont la raison est ^an.

Fonctions holomorpheh ,,v.

15. Lorsqu'une fonction est continue, monotrope, et a une dérivée, quand la variable se meut dans une certaine partie du plan, nous dirons qu'elle est holomorphe dans cette partie du plan. Nous indiquons par cette dénomination qu'elle est semblable aux fonctions entières qui jouissent de ces propriétés dans toute l'étendue du plan.

Les valeurs de la variable pour lesquelles la fonction devient nulle sont les racines ou les zéros de la fonction.

Pôles.

16. Lorsqu'une fonclion w est holomorphe dans une certaine partie du plan, excepté en un point z^^ où elle devient infinie, de manière

toutefois que la fonction - reste holomorphe dans le voisinage de ce

point, on dit que ce point est un pôle ou un infini de la fonction u.

Une fraction rationnelle admet comme pôles les racines du dénominateur; c'est une fonction holomorphe dans toute partie du plan qui ne contient aucun de ses pôles.

Lorsqu'une fonction est holomorphe dans une partie du plan, excepté en certains pôles, nous dirons qu'elle est méromorphe dans cette partie du plan, c'est-à-dire semhlable aux fractions rationnelles.

Emploi de la sphère.

17. Pourétudierla variation d'une fonction, quand ïa variables devient

très-grande, on pose s =- — , et l'on donne à la nouvelle variable z' des

valeurs très-petites. Cette transformation peut être figurée de la manière

suivante : . , .

A une sphère d'un diamètre égal à l'unité, menons deux plans tangents irOj, ay'O'j' [fig- 8) en deux points diamétralement opposés 0 et 0'; la variable z est représentée par un point z situé dans le premier plan tangent; la droite O'z perce la surface de la sphère en un point Z; la droite OZ prolongée rencontre le second plan tangent en un point z' ,^

qui, dans ce plan, représente la nouvelle variable z' . En effet, nous ^^

remarquons d'abord que, dans les triangles semblables 00'^, OO'-z',

on a

Qi' z' J ^ ,

Nous déterminerons les positions des droites Os, O'z', dans les plans tangents, par les angles ô et ô' qu'elles font respectivement avec des droites fixes Oa?, O'ic', situées dans un même plan méridien passant par le dia-

iO LIVRE I. - CHAPITRE I.

mètre 00', et nous conviendrons de compter les angles positifs dans un sens tel, qu'un observateur placé sur l'un ou Tautre plan, les pieds en 0 ou en 0', et la tête en dehors de la sphère, voie le rayon vecteur tourner

de droite à gauche. De cette manière, les deux droites Oz, 0'z\ qui sont contenues dans un même plan méridien, ont des arguments icO s, x'O'z' dont la somme est égale à 2Tr. D'ailleurs le produit des rayons vecteurs Oz, O'z' est égal à l'unité; on a donc