I -+- «1 <; «"', I -i- «1 <C e"«, . . . , et par suite

S étant la limite de S„; le produit P„ augmentant avec n et restant moindre qu'une quantité déterminée e*, tend vers une limite P.

194. Théorème II. — Soient a,, aj»--- l^s modules des quantités imaginaires w, , u^,...; si le produit des facteurs réels

(i -h«,)(n-aj)(i-{-a3)...

est convergent, le produit des facteurs imaginaires

(l H- M,) (ï H- M2)(l -f- Ma). . .

est aussi convergent.

Nous remarquons d'abord que le module d'un facteur imaginaire I 4- Un est moindre que le facteur réel correspondant i H- «„, de sorte que, si l'on désigne par P„ le produit des n premiers facteurs du premier produit et par Q„ le produit des n premiers facteurs du second, le module de Q„ est plus petit que P„ et, par conséquent, plus petit que P; ce module conserve donc une valeur finie.

Démontrons maintenant que le produit Q„ est convergent. On a

-I — (l-i- «„+,)(•+ Un+i). . .[l-\-Un+p)~l

— = Un+l 4- Wrt+2 + ...-(- Un+p -f Un+i W;h-ï Hp

-^ — I z= (1 + a„+,)(i + a„+,). . .(i -f- an+p) — i

= a„+i 4- a„+î4- - . . H- ttn+p -+- «n+i fl„+2 -4-

d'où l'on déduit

Wii+j) \ ■ * n-f./)

OU

mod. Y\ <C

mod. (0„+, - Q„)< mod. Q„ x -i±^=^" < P„+,- P„ < P - P„.

On peut prendre n assez grand pour que la différence P — P« soit moindre qu'une quantité donnée a; alors on aura, quel que soit/?,

mod. {Q„+p-~ Qn)<oc.

Concevons les points qui dans le plan représentent les quantités Q„, Qit+if Q«+2"--; tous ces points seront compris dans le cercle décrit du point Qn comme centre avec un rayon égal à a. On déterminera ensuite un nombre n' plus grand que /i, tel que les points Q,/, Q«'+,,-" soient compris dans un cercle décrit du point Q„' comme centre avec un

rayon a' plus petit que a; le centre du second cercle étant situé à l'intérieur du premier, et le rayon plus petit, ce second cercle sera situé tout entier dans le premier, ou une partie en dedans, une partie en dehors; dans ce dernier cas, on ne gardera que la partie commune aux deux cercles; c'est dans cette partie commune que sont situés les points Q„', Q,,'+,,..., En continuant de cette manière, on voit que les produits tendent vers un point bien déterminé Q, ce qui rend la convergence évidente.

195. Théorème IïI. — Soient a,, aj»--- ^^^ modules de u,, z/a,...; si la série

rt. -4- rtî -+- «3 + • • •

est convergente, le produit

(i -f- n,z) (l -f- M,2)(l -h UiZ). . .

est convergent f quelle que soit la valeur de la variable z. Désignons par r le module de z; si la série

a. -t- flî -f- «3 + • • • est convergente, la série

air+ «jT-f- «jT-t- . . .

est aussi convergente, quel que soit le module r; le produit des facteurs réels

(i 4- «, r)(n-a,r)(i-|-«jr). . .

est donc convergent, et par conséquent le produit des facteurs imaginaires

(l -M/,z)(l 4- M,z)(l 4- M.iZ). . ..