Théorème IV. — Lorsque la série

est convergente, le produit

(l) {\ + U^z){\+UtZ){\+ U^Z)...

définit une fonction holomorphe de z dans toute l'étendue du plan.

Nous savons déjà que le produit est convergent pour toutes les valeurs de z. Considérons maintenant le produit des n facteurs réels

P„ — (i -H «,r)(i-K a,r). . .(i-i- rt„r),

et concevons ce produit effectué et ordonné par rapport aux puissances croissantes de r; si nous appelons 5^"Ma somme des n quantités a^, «2..--» ««. s'^^^ la somme des produits de ces n quantités deux à deux, /,"^ la somme des produits trois à trois, etc., nous aurons

Un terme quelconque s^^r^ étant plus petit que P„ ou que sa limite P, et croissant avec n, tend vers une limite finie s^r^'^, quand n augmente indéfiniment; ainsi la somme s^^^ des produits w à m des n premiers termes de la série convergente

«I + flj -4- «3 -4- . . .

tend vers une limite ^,„, quand n augmente indéfiniment; mais on a

P„ > I + 5^"^+ s^^"^r^ H- . . + s^V"; si, laissant m fixe, on fait croîtrç^indéfiniment, on en déduit

Puisque la somme S,„ des m premiers termes de la série

est moindre que la quantité finie P, on en conclut que cette somme tend vers une limite S inférieure ou égale à P, quand m augmente indéfiniment, et par conséquent que la série (2) est convergente. D'autre part, chacun des termes du produit

P„ = I + 5("V + 4"V= + . . . -t- «(f ) r» étant moindre que le terme correspondant de la somme

S„ = I + s, r -I- SjT^ -h . . . + SnV",

la somme S„ est plus grande que P„ et par suite sa limite S est supérieure ou égale à P; cette limite S est donc égale à P. Considérons de même le produit

des n facteurs imaginaires; concevons ce produit effectué et ordonné par rapport aux puissances croissantes de z, et représentons-le par

Un coefficient quelconque (7^;;^ est une somme de termes imaginaires qui ont pour modules les termes correspondants de s^^'^; quand n augmente indéfiniment, la somme s["J tendant vers une limite s^, la somme q'^'' tend elle-même vers une limite (7,„. La série

(3) I -h (7,Z-|- (T,Z*+ O-jZ'-f . . .,

ayant les modules de ses termes moindres que les termes correspondants de la série (2), est convergente. La somme 2„ des n premiers termes de cette série contient tous les termes de Q„; d'ailleurs les termes de la différence 2,, — Qn ont pour modules les termes correspondants de la différence S„— P«; il en résulte que le module de 2«— Q„ est moindre que S„ — P„, et par conséquent tend vers zéro, quand /i augmente indéfiniment; on en conclut que 2„ tend vers une limite égale à Q. Ainsi la fonction définie parle produit (i) est développée en une série convergente (3), ordonnée suivant les puissances croissantes des; c'est donc une fonction holomorphe de z dans toute l'étendue du plan.

Méthode générale pour le développement d'une fonction en un produit d*une infinité de facteurs rationnels.

197. CAUchy a déduit aussi de la considération des intégrales définies une méthode pour effectuer ce genre de développement; nous allons exposer cette méthode en lui donnant une forme plus précise. Soit f{z) une fonction méromorphe dans la partie du plan enveloppée par la courbe C {fig. 74)- Désignons par « et a les zéros et

les infinis de la fonction dans cette partie du plan, par n eip leurs degrés, et supposons que la courbe C ne passe par aucun de ces points.

f (z) Nous savons (n°121) que la fonction Dlog/(z) =''-^7—7 admet comme

pôles simples les zéros et les infinis de la fonction /(^j. Marquons dans la partie du plan considérée deux points /„ <^t t,, distincts des points a et oc; unissons-les par une ligne b^bf située aussi dans

Fig. 7/^.

cette partie du plan et ne passant par aucun des points « et a; à l'aide de cette ligne et de deux cercles infiniment petits ayant pour centres les points ?o et ?<, nous formerons une courbe fermée ou un

lacet enveloppant les deux points. La fonction log — ^- éprouve un

accroissement égal à -\- ^ni, quand la variable z tourne autour du point tf dans le sens positif, et un accroissement égal à — sttï, quand la variable z tourne autour du point t^, aussi dans le sens positif. Il en résulte que, si l'on astreint la variable ^ à ne pas franchir la

coupure Zq^o la fonction log ^ est monotrope dans toute l'étendue

du plan; c'est donc une fonction holomorphe dans la partie du plan comprise entre le lacet (^o^) et la courbe C.

A l'aide d'une autre coupure gh^ on peut regarder cette aire comme enveloppée par une ligne fermée, composée du lacet (tot^) de la coupure gh et de la courbe G. La fonction

FU) = log^Dlog/(z) -S — II,

étant méromorphe dans cette partie du plan, à contour simple, l'intégrale définie

— . fF{z)dz, 17:1 J '

relative au contour de l'aire, est égale à la somme des résidus relatifs aux pôles a et a situés dans cette aire. La transversale gh, étant parcourue deux fois dans des sens contraires, avec une même valeur de la fonction F (2), donne un résultat nul. Évaluons la partie relative au lacet (^o^J; nous remarquons d'abord que les petits cercles donnent des quantités infiniment petites; car, si l'on pose z z= tf, -hre^'j on a

dz = ire^'dÔ,

log{z — t,) =logr-i- ei,

Iog{2 — t,)dz = /e*'(rlogrH- ir6)d9;

mais rlogr tend vers zéro, quand le rayon r du petit cercle diminue indéfiniment. L'intégrale relative au lacet se réduit donc à l'intégrale suivant la ligne ^o^o aller et retour : à l'aller, un élément de l'intégrale est

— ■4', ; log rdzy