X1 J {Z) ° Z — tt z

au retour, log ayant éprouvé un accroissement égal à — 27rï par

z to

le mouvement sur le petit cercle (/, ) en sens négatif, et dz ayant changé de signe, on obtient l'élément correspondant

I f'iz)/. z-t, A .

'TTf f{z) \ ^Z — U /

la somme des deux éléments est

£^rfz = Dlog/{z)rfz.

Ainsi la partie relative au lacet (^o^i) se réduit à l'intégrale

\\o%f(z)dz

suivant la ligne tot^ décrite de /« à ^ ; mais cette intégrale est égale k

f{z) la valeur que prend la fonclion log'^^- au point t^, quand la variable z

décrit la ligne tç^t^, la fonction ayant en ^o 1^^ valeur initiale zéro; nous

désignerons cette valeur de la fonclion au point /, par log 4—'-: • D'après

cela, l'intégrale définie relative au contour entier de l'aire a pour expression

10g^C^J + ---r r Y{z)dz.

Pour avoir les résidus relatifs aux points a et a, qui sont des pôles simples de V[z), il faut multiplier les quantités

respectivement par les résidus de la fonction Dlog/(z), c'est-à-dire par n et — p (n*' 121). On obtient ainsi l'équation

ou

(4) log^^^--ynlog?— j'-5;/>log'^-"=4'^ T{z)dz.

On en déduit la formule

(5) /(M..llV«--^j ^-

11 \a — tj

qui a été trouvée par Cauchy.

198. Concevons maintenant que la courbe C s'étende à l'infini dans tous les sens, et qu'elle soit choisie de telle sorte que le module de la

f ( z) fonction yj-y J'este moindre qu'une quantité finie M sur cette courbe,

si cela est possible. Grâce à la restriction que nous avons imposée à la

variable z de ne pas franchir le lacet (z,,/,), la fonction log -'•

Z tu

comme nous Tavons dit, reste monotrope dans toute l'étendue du plan; mais on peut prendre, en un point choisi à volonté, l'une quelconque des déterminations du logarithme; une fois la valeur du logarithme assignée en un point, tous les logarithmes qui entrent dans le second membre de l'équation (4) ont des valeurs parfaitement déterminées. Parmi les déterminations du logarithme, nous prendrons celle qui se réduit à zéro, quand z devient infini. On a, dans ce cas,

z £ tendant vers zéro, quand z augmente indéfiniment. On en déduit

(6, ---!-. r Fuwz=^'= f £<i)^+'4=-^ r L

z) dz

'(C) ^TT' J(C) /(^) ^ 4îrï J(C) /(^)

La seconde partie tendant vers zéro (n°184), on peut réduire l'intégrale (6) à sa première partie

Lorsque la fonction /(z) est impaire, sa dérivée /'(z) est paire; lorsque la fonction est paire, sa dérivée est impaire; dans ces deux cas,

f'(z) le quotient yr-r est une fonction impaire. Si la courbe C a pour centre

l'origine, l'intégrale (7), ayant ses éléments égaux deux à deux et de signes contraires, est identiquement nulle, et la formule (5) se réduit à

-^— — lim ; 7TT'

ou, en remplaçant ^^ et t, par z^ et z,

(8) ^j^^ =: lim

/(z.) fac-zy

Lorsque la fonctiony'(z) n'est ni nulle ni infinie à l'origine, on peut faire 55,, -- o, et la formule précédente devient

-7. — T = lim ) ~

Développement de cos2.

199. La fonction cos^ admet les racines simples a = {2m -h i)-»

distribuées uniformément sur l'axe Oa?, et n'a pas de pôles. Portant sur l'axe Occ [fig. 75) des longueurs OA, OA' égales à m'ity et sur l'axe Oy

Fig. 75.

fl

des longueurs OB, OB' égales ày, , nous formerons le rectangle EFGH, suivant lequel nous effectuerons l'intégration. Pour avoir tous les zéros compris dans ce rectangle, on fera varier m de — m' à m'— i. Le mo-

dule de y = — tangz étant plus petit que i sur les côtés FG, HE,

et très-voisin de i sur les côtés EF, GH, on peut rédtiire l'intégrale (6) à sa première partie (7). D'ailleurs, la fonction proposée cos2 étant paire, cette première partie est identiquement nulle. On a donc, d'après

la formule (9),

(lo) cosz = lim

et, en groupant les facteurs deux à deux,

(II) COSZ=:TTr»-? ^^-l^T

Ai L (2/n — ij'îr'J

Développement de sinz.

200. On effectuera d'une manière analogue le développement de la

fonction paire 5 qui admet les racines «~ miZy à l'exception de

a = o. On formera le rectangle en portant sur l'axe Ox des longueurs OA, OA' égales à m'n + -i et l'on fera varier m de —m'

à 4- m', en exceptant 7w = o. Le module de la fonction ^t». , = cots

ayant une valeur voisine de i sur le contour du rectangle, on réduira l'intégrale (6) à sa première partie (7), qui est identiquement nulle. On a donc

jn = ni'

ni^:z — m'

(.3) sin.=.n('-;^.)-

Remarques. — Si l'on développe ce dernier produit suivant les puissances croissantes de z (n° 196), on a

sinz = z — StZ^ -]- 5j2* — SiZ'' -^ . . . , en désignant par s, la somme des quantités -7-7^ -^-^i ^r^' ' P^^ ^^

la somme des produits de ces quantités deux à deux, etc.; mais cette série doit être identique à la série

sinz = z r -\-

En égalant les coefficients des mêmes puissances de z, on obtient diverses relations, parmi lesquelles se trouve la suivante :