TT^ I J T

6 ~ 7» "^^ 2^ "^' F "•" • • • La formule (11) donne lieu à des relations analogues; ainsi l'on a

Développement des fonctions 0 en produits. 201. Nous avons obtenu (n° 192) l'expression

Dlog03(^) = iim \ lans - \ z~(7.tn-'r i)~

?n = — III

La série n'est pas convergente dans les deux sens; mais si l'on groupe les termes deux à deux, on obtient une série convergente

Dlog03(2)^-^2] jl»ng^[^-(2'^~0^^J H lang^|^2-i- (2m-i)^Jj.

Supposons qu'après avoir multiplié les deux membres par dz, on intègre, en faisant marcher la variable z sur une courbe allant de l'origine à un point quelconque z du plan, et ne passant par aucune des racines de la fonction 63(2). Comme on peut prendre m assez grand pour que le module de la somme des termes de la série, à partir du terme de rang m, soit moindre qu'une quantité donnée sur toute

la courbe, on aura, d'après le théorème du n° 81,

^[z-(:.m-i)^]cos^[z + (.m-i)^]

cos*(2/n — i) — -

m^x I cos'(2m — i) — I

chacun des logarithmes se réduisant a zéro pour z = o. On en déduit

sin' — I

cosMam — i) I

2wJ

et, en remplaçant z par ^ + -»

ces' — I

cos' 2/n — i) — I

L'équation (63) du n" 192 donne de même DlogÔ, {2) = — -| lang^ -4- \ lang J^ (z — ma)') + tang- (z-l-mw') [•,

en intégrant suivant une courbe partant de l'origine et ne passant par aucune des racines de la fonction B^ [z), on a

- , , "1=" ces - (z — mw') CCS - (z -f- mw')

•Og "Z-T-J = log CCS 1- > log -, ,

' m = , cos'/n

co

TTO)

cos'm —

gl4 UVRE IV. - CHAPITRE VI.

chaque logarithme s'annulant pour z = o. On en déduit

5, (z ) = 0j (o) ces — JJ I I —

sin^

TTZ

CCS' m

TTW

et, en remplaçant z par z + -»