W XX

I — 2 g^" CCS 1- q*

Les deux constantes 9^ (o), ^2 (o) ne dépendent que de la quantité y, et, par conséquent, que du rapport des périodes (n° 77). On les ramène

l'une à l'autre en faisant z = — dans la première de ces équations, ce qui donne

Si donc on pose

in=«

in= I

on obtient les expressions suivantes des quatre fonctions B :

9{z) = (f{q) JJ II— 2^2"-'cos-— +^'('"-'Mï

0j(z) = 2 J^g (p(ç)COS JJ I + 2Ç*"C0S 1- ^<'" L

0,(z)=:2^g 9 (g) sin ~ Y\ I '"" 2^*" CCS y- q*" •

203. Voici comment Jacobi est parvenu à exprimer ç (y) par un produit. La comparaison de la seconde des équations précédentes et de la seconde des équations (8) du n*' 74 donne l'égalité

ij^ç" ces

amTTZ

OJ

I — 2 q^-* CCS

Le second membre doit être indépendant de z; si l'on y fait succes-

sivement z = o et 2 = -T, on a

JJ [i + qn^-^)]

on obtient le second numérateur en remarquant que les termes qui correspondent à des valeurs impaires de m sont nuls, de sorte qu'il suffit de donner à m des valeurs paires. Remplaçons q par ^*, il vient

d'où

Cette dernière expression peut être transformée; le facteur i— ^*'" étant de la forme i — ^**2'"' ou i — q*i^'^-*\ suivant que m est pair ou impair, et m' variant de i à oc , on a

d*où

TJ ii — q*'^)= JJ (i — ^'•='")[i— ç«(""-')],

JJ[i — «/»<""-'>] (i—^'-*") JJ (i — q"")

c^iq] (fiq*)

Ylii-q^-) JI('-^''

Ainsi le premier membre de cette dernière équation ne change pas quand on y remplace q par q^. En remplaçant plusieurs fois successivement q par ^*, on a

9iq) ?(?'")

Tn=:<'> m= 00

mais quand n augmente indéfiniment, le second membre se réduit à <f (o), c'est-à-dire à i. On a donc

Développement des fonctions ^ en produits.

204. Les formules que nous venons de trouver pour exprimer les fonctions 0 peuvent être appliquées immédiatement aux fonctions ^. Si l'on pose

on a