z)= - 2 v'p<p(p)sin ^ n (' ~ ''^"" ^°^ ^ "^ Z' J

Dans les applications où la première période o est réelle, la seconde w' imaginaire et de la forme oi"i, et la variable z réelle, les formules (ao) renferment des sinus et cosinus ordinaires, les formules (26) des sinus et cosinus hyperboliques.

Expressions du module et du multiplicateur en produits.

205. Nous avons déterminé le module k et le module complémentaire k't ainsi que le multiplicateur g^ par des sommes, à l'aide de q ou

de/? (n°*77, 159 et 173); nous pouvons aussi les déterminer par des produits. On a d'abord, en vertu des formules (20) et (25),

777 = 1 777 = te

(27) I Ho)=9ip)Yli^-p'^-%

Les formules

(^^^ VA-- Mo) -^3(0)' ^^ M^-5^H

qui définissent les modules k et y^', donnent

q'"-'/ -Li \n-;>'

=9) ^-^^ïn(7:^)'=n(:

(30) vp=n fqr^H^^^n u

H-Ç"'""-'/ '^ XX yi+y^sm-t

En divisant par z les deux membres de la quatrième des équations (20) et de la quatrième des équations (25), et faisant tendre z

vers zéro, on a

Les formules

qui définissent le multiplicateur g^ deviennent

Ces formules peuvent être simplifiées. On remarque, en effet, que le facteur i — q^'"^ est de la forme i — q^'" — [i — q^"') (i + q"^'") ou de la forme i — q^^^"^-*^ = [j — q^"^-*) (i + q^'"-*), suivant que m est pair ou impair; il en résulte

Ces dernières formules, comparées aux formules (26) et (27), donnent

(33) Mo) = y^, s.(o) = y/^, «W^V/^'

Nous avons vu (n*' 173) que les fonctions Oi(z) et ^»{z) satisfont à la relation

Il est facile maintenant de déterminer la constante C; on a, en effet,

^ ^ ^-e,(o}-\/ coi

206. Remarque. — La méthode de Cauchy permet d'opérer directement la décomposition des fonctions elliptiques en produits d'une infinité de facteurs rationnels; en prenant un contour d'intégration convenable et groupant les facteurs d'une certaine façon, on arrive aux fonctions Ô, ou aux fonctions 3-, ou à d'autres analogues.

Nous avons besoin, pour cela, de connaître le développement de la fonction cos(z — z^). Si l'on forme un rectangle égal à celui qui nous a servi pour le développement de cos^ (n** 199), mais ayant son centre au point z^, on verra, comme précédemment, que l'intégrale relative au contour de ce rectangle tend vers zéro. Les zéros situés dans ce

rectangle sont a — Zq -h {2m ■+- 1)--, m variant de — m' à m' - 1, et l'on a

(36) cos(^-zo)^^.^

' COSZo

Pour développer les fonctions elliptiques, nous emploierons un rectangle, ayant pour sommets les points z= ±. (m'w— ^ jdzfw'w'— ^J,

de manière que le contour ne passe par aucun des zéros ou des infinis

f (z) de ces fonctions. La fonction •^.; / conservant une valeur finie sur ce

contour et étant impaire, d'après ce que nous avons dit au n*^ 198, l'intégrale définie relative à ce contour tend vers zéro, quand on augmente indéfiniment les deux nombres entiers m' et n', dont dépendent les dimensions du rectangle. Les zéros et les infinis des trois fonctions

elliptiques sont représentés par les formules

zéros de X(z), a= moi h- nw', zéros de /ut (z), a = (aw-i-i) — h »w',

zérosdev{z), a=:[7.m-\-\) — h(2n-M)— , infinis, a = mo -\- (an •+- 1) —

Pour avoir les zéros et les infinis compris dans le rectangle, il faudra faire varier m de — m' à m' — t, et /* de — n' à n' — i. Considérons la fonction v(z). La formule (9) donne

(37) v(z) = lim

I moi + (2/1 -L- 1) — I

Quelle que soit la manière dont on fasse augmenter m' et n' à l'infini, le quotient tend vers la même limite v{z); mais il n'en est pas de même du numérateur et du dénominateur. Supposons que l'on fasse augmenter à l'infini, d'abord m', n' restant fixe, puis n' \ le numérateur s'écrira

en groupant les zéros par files parallèles à la direction de la période «. Quand m' augmente à l'infini, n restant constant, le produit

m LIVRE IV. - CHAPITRE VI.

d'après la formule (36), tend vers une limite égale à

cos

- Z — (2W + i) — cos(2n + i) —

On a donc le produit

="'-' cos-Lz — (an + i) — "="' i + 2<7»"-'cos^^ 4- cr*('"-'J

TT ^1 ^ J TT (Si

11 ttm' "11

«=-„' cos(2n-Mj — • „=i V ï /

qui a pour limite la fonction -fr-. (ïi°202). Dans le dénominateur

le premier produit

(-;„' j mw +{2w H-ij— j

tend vers une limite égale à

sin

— sin(2/i H- i) —

et le second produit

n = n'-t sin- Z — (2n+ l)— "="' 1— 2(7="-' COS — ^^^ — h (7^{»«-')

«=-«' — sin(2/i + i) — „=i ^

vers la fonction -qt-t' On exprime ainsi la fonction v (^) parle quotient

de deux fonctions holomorphes. Si l'on avait fait augmenter à l'infini, d'abord m', puis /i', ce qui revient à grouper les facteurs par files parallèles à la direction de la période w', on aurait obtenu les deux

fonctions -i^t -rr-r-

53(0) 5(0) On a de même

(38) [x{z) = nm

I mw + (2/1 -h i) — I

Le dénominateur est le même que le précédent. Quant au numérateur,

on trouvera ~-{ par le premier mode, tt^— f par le second mode.

La fonction X (2) présente une difiiculté particulière, parce qu'elle s'annule pour z = o. Si l'on applique la formule (9) à la fonction

J > qui se réduit à l'unité pour z = o, on a

(39) :^. = Iim

•'■•^ L mcù -h noi'j

zr\o) ~

I moi 4- [in -+- 1)— I

en exceptant au numérateur la combinaison m—o,n—o. Dans le premier mode, le numérateur s'écrit

11 11 y moi -\- Il m' j

Le produit

n=: -n' ni= - m'