CHAPITRE PREMIER
EXISTENCE DE LA FONCTION INTÉGRXlE.
Les cas où l'on peut intégrer une équation différentielle sont extrêmement rares, et doivent être regardés comme des exceptions; mais on peut considérer une équation différentielle comme définissant une fonction, et se proposer d'étudier les propriétés de cette fonction sur l'équation différentielle elle-même.
Soit
une équation différentielle du premier ordre; u sera une fonction de 2, définie par la condition de satisfaire à l'équation différentielle et d'admettre une valeur initiale donnée «« pour z = Zq. Cauchy a démontré que, si le coefficient différentiel /(m, 2) est une fonction holomorphe pour les valeurs de m et de z voisines de «o et de ^o» la fonction intégrale u est elle-même holomorphe pour les valeurs de z voisines de z^. Nous donnons d'abord une démonstration plus simple de ce théorème fondamental.
207. Lemme I. — Soit/(ir) une fonction holomorphe de la variable imaginaire x^ dans le cercle décrit du point Xq comme centre avec un
rayon r, et continue sur la circonférence elle-même. Appelons M le maximum du module de la fonction /(a?) dans le cercle de rayon r. Si, dans la formule (n*' 87)
on remplace chaque élément de l'intégrale définie par la quantité M.dO \ plus grande que son module, on augmente évidemment le module de l'intégrale définie, qui se réduit alors à 27:M, et l'on a
(0 mod./«(a;o)<i.2...n-.
Lemme II. — Soit /(a?, j) une fonction holomorphe par rapport à chacune des variables imaginaires x, y, quand ces variables restent comprises respectivement dans des cercles de rayons r, r', décrits des points a?o, fo comme centres, et continue sur les circonférences ellesmêmes. Appelons de même M le maximum du module de la fonction dans l'étendue des valeurs considérées. Si, dans la formule (n° 100)
on remplace chaque élément de l'intégrale multiple par une quantité MdQdO' plus grande que son module, on augmente le module de l'intégrale, et l'on a
(2) mod.D:;.+"/(^o,ro)<i.2...«.i.2...n'
tn!
Lemme 111. — Il est facile de composer une fonction dont les dérivées partielles aient en ^o» Jo ^^s valeurs égales aux limites assignées pour les modules des dérivées correspondantes de la fonction proposée /(a?, j).
Considérons, en effet, la fonction
X — X{s \ / y jo
qui se développe en une série convergente tant que les différences X — {Vq, y —yo ont des modules respectivement moindres que r, r'. Le terme général de la série est de la forme
Si l'on prend une cférivée quelconque D"^"""' de la fonction 9(0?, j), et que l'on y fasse 00 = x^, y = yo, le terme écrit plus haut donne
et les résultats fournis par les autres termes s'évanouissent. On a donc
Ainsi, en 00^^ y^, les dérivées de la fonction 9 sont des limites supérieures des modules des dérivées de la fonction/.
admet une intégrale holomorphe^ tant que le coefficient différentiel est lui-même holomorphe par rapport à z et u.
Nous supposons que la variable z part du point z r= Zq, la fonction u ayant une certaine valeur initiale u = Uq. Pour simplifier, représentons les variables par z^-i- z et Mc -i- u; la variable z partira alors de ^ — o, la fonction u ayant la valeur initiale m = o. Le coefficient différentiel reste holomorphe pour toutes les valeurs de z et de w situées dans des cercles décrits des points z = o et m = o pris pour origines avec des rayons égaux à p et à r, et continu sur les circonférences elles-mêmes. Nous appellerons M le maximum du module de la fonction / dans cette étendue.
Si l'équation différentielle admet une intégrale jouissant des pro-
priétés énoncées, on obtiendra ses dérivées successives au moyen des équations
^ u'"=Dlf-h2u'Dluf+n''mf-^-u"J)uf,
que Ton déduit de la première par la différentiatiori (n° 101).
Imaginons que, dans les seconds membres, on remplace les valeurs de la fonction y* et de ses dérivées partielles pour js = o et m = o par leurs modules; la première donnera le module de u^; en portant cette valeur dans la seconde, on aura une limite supérieure du module de u"; en portant ces valeurs dans la troisième, on aura une limite supérieure du module de Uq ; et ainsi de suite.
En vertu du lemme III, les dérivées partielles de la fonction /(z, u) ont, pour z = o, M = o, des valeurs dont les modules sont moindres que les dérivées correspondantes de la fonction
pour z ^= o, u~ o. Considérons l'équation différentielle
dans laquelle nous donnons à la fonction v la valeur initiale v = o pour z = o. Si cette nouvelle équation admet une intégrale holomorphe, on obtiendra ses dérivées successives au moyen des équations
analogues aux équations (5). Quand on y fait z = o, etç'^o, la fonction (p et ses dérivées partielles prenant toutes des valeurs positives.
les seconds membres sont des sommes de termes positifs, et Ton en déduit successivement pour v'^, vl, v1,... des valeurs positives. Ainsi la fonction v a pour z = o toutes ses dérivées réelles et positives.
Comparons maintenant les équations (5) et (7). On voit d'abord que le module de u'^ est moindre que v'^. Les modules des termes de la seconde des équations (5) étant moindres que les termes correspondants de la seconde des équations (7), le module de «o est moindre que ç^é', et ainsi de suite. On conclut de là que les modules des quantités Mq, «0, M^,..., déduites des équations (5), sont respectivement moindres que les quantités v\, ç»", v^^. . ., déduites des équations (7).
Il est facile de reconnaître que la fonction v existe. Mettons l'équation différentielle (6) sous la forme
si la fonction v existe, les deux membres sont respectivement les dérivées des fonctions de z
fr' -Mpl»8(-^);
nous prendrons le logarithme qui s'annule pour 2 = o, et qui reste holomorphe dans le cercle p. Ces deux fonctions, ayant leurs dérivées égales et même valeur pour z = o, doivent être égales entre elles; on en conclut que la fonction cherchée v satisfait à l'équation finie
(9). (;£-=MplOg^I-^),
et que, par conséquent, elle est représentée par la formule
dans laquelle le radical a la valeur + i pour js = o. Les deux racines de l'équation (9) deviennent égales lorsque la quantité placée sous le
radical est nulle, c'est-à-dire lorsque
log(i-^j=-^, d'où z = p{i-e~^0 = p';
cette valeur z = p', inférieure à p, est un point critique; ainsi la formule (lo) définit une fonction holomorphe de z, tant que cette variable reste comprise dans le cercle décrit du point z = o comme centre avec un rayon égal à p'. Cette fonction satisfait à l'équation (9), et, par conséquent, à l'équation (8).
La fonction v se développe en une série
(il) =(/, --t-/
convergente dans le cercle p'; on peut en calculer les coefficients à l'aide des équations (7); comme nous l'avons remarqué, ils sont tous réels et positifs. Si l'on attribue à z une valeur ayant un module p" inférieur à p', le module de v sera plus petit que la somme des modules des termes de la série, c'est-à-dire que la valeur de ç' pour z = p"; cette valeur de v, réelle et positive, augmente avec p"; mais, pour z = p', le radical étant nul, l'équation (10) donne v = r. On en conclut que, dans le cercle de convergence p', le module de la fonction v reste plus petit que r.
Considérons maintenant la série
(12) U — U,--V-lt^-—- + U,
dont les coefficients sont les quantités que nous avons calculées de proche en proche à l'aide des équations (5). Nous avons vu que les modules de ces coefficients sont moindres que les coefficients correspondants de la série (11); ainsi la série (12) est aussi convergente dans le cercle p', et elle définit une fonction holomorphe dans ce cercle. Nous remarquons que, si l'on attribue à z une valeur ayant un module p" inférieur à p', le module de u est plus petit que la somme des modules des termes de la série (12), et, à plus forte raison, plus petit que la
somme des termes de la série (i i) pour z = p", c'est-à-dire que la valeur de i^ pour z = p"; mais cette valeur de v est plus petite que r; on en conclut que, dans le cercle p', la fonction holomorphe u, définie par la série (12), a un module plus petit que r.
Il reste à démontrer que cette fonction satisfait bien à l'équation différentielle proposée (4). Si l'on y remplace u par sa valeur (12), le premier membre devient
du . . z „ 2' (i3) '^=u\-\-u\- + u':—+....
az I 1.2
Le second membre/(z, u), qui est une fonction holomorphe des deux variables z et u, pour toutes les valeurs de ces deux variables dont les modules sont respectivement inférieurs 2i p et à r, devient une fonction holomorphe de z, dans le cercle p' (101). Cette fonction, que nous désignerons par F(z), se développe en une série
convergente dans le cercle, et l'on pourra calculer les coefficients de la série à l'aide des équations
F' (2) = Di /H- îm'DL /-f- «"D V-+- ""D-/,
dans lesquelles u' u", . . . désignent les dérivées successives de la fonction u définie par la série (12). Pour s = o, ces dérivées de u se réduisent aux coefficients mêmes mJ, , w^ » • • • ^^ ^* série, c'est-à-dire aux quantités déduites des équations (5). On voit alors que, pour z = o, M =z o, les seconds membres des équations (i5) sont identiquement les mêmes que ceux des équations (5), et que par conséquent
ainsi les deux séries (i3) et (i4) sont les mêmes, et l'équation différentielle est vérifiée.
209. Remarque. — Nous avons démontré que l'équation différentielle --T- —f{u, z) admet une intégrale holomorphe dans une certaine
étendue. Il n'existe pas d'autre fonction satisfaisant à l'équation différentielle proposée et devenant égale à zéro pour z = o. Soit u l'intégrale holomorphe, et supposons qu'il existe une seconde intégrale, que nous représenterons par u -{- v, la fonction v s'évanouissant pour z = o; nous aurons
d*où
Puisque le second memhre s'annule p"t)ur v = o, quelle que soit z, il contient une puissance de v en facteur (n° 115), et l'on a
en supposant que, dans le quotient, on ait remplacé u et v par leurs valeurs en fonction de z. L'intégration le long d'une courhe quelconque donne
[~:r,-^)=l\i^)dz.
L'intégrale définie ayant une valeur finie et v^ devant être nulle, cette égalité est impossible. Quand m^=\, l'équation différentielle devient
-~=^[z)dz.
d'où
JT{a)dz , o
Puisque v^ = o, la fonction v est identiquement nulle.
Ainsi l'équation différentielle proposée n'admet pas d'intégrale prenant la valeur zéro pour z = o, autre que l'intégrale holomorphe
210. Théorème II. — Un système d'équations différentielles simultanées admet des intégrales holomorphes, tant que les coefficients différentiels sont eux-mêmes holomorphes.
Soient les équations différeutielles simultanées
nous supposons que la variable z parte àt z — Oy les fonctions m,, Ma,..., u„ ayant les valeurs initiales zéro. Les coefficients différentiels/,,/2,.. .,/, sont des fonctions holomorphes des variables z, m,, Ma,--.» w», tant que les modules de ces variables restent inférieurs ou égaux à p, r,, To.- • - . ''/t. et, pour simplifier, nous remplacerons chacun des rayons r,, rg, . . . , r„ par le plus petit d'entre eux r. Appelons M le maximum du module des fonctions/,,/,, - - • ,/ dans cette étendue, et posons
(jp(z, M,,a„.. ,«„)
Tz'
Mi,
du-, dz
du„
dz
En vertu du lemme III, les dérivées partielles des fonctions/,/,...,/, ont, pour z ~ Oy m, — o, Ma = o, . . . , M„ = o, des valeurs dont les modules sont respectivement moindres que les dérivées correspondantes de la fonction 9.
Si l'on compare les équations différentielles proposées (16) aux équations différentielles simultanées
dVi
dz
dv-,
Tz
Vj,..
dz
Vx,
fi,..
et si l'on admet que les fonctions intégrales existent de part et d'autre, on verra, comme précédemment, que les dérivées {u[)o, (Mj)o,..., (w'i)o,. . ., déduites des premières par un calcul de proche en proche, ont des modules respectivement moindres que les quantités réelles et positives ((^i)o» (^î)o»---» (KOof-. déduites des secondes par un calcul analogue. Remarquons que les quantités ((^Do, (t^î)o'- • •' (^n)o sont égales entre elles, de même les quantités (K')o' (^Do»- • •» (<^n)o» et ainsi de suite.
Il est facile d'intégrer les équations (17). Si les fonctions v^ t'2»--» <^« existent, comme elles ont leurs dérivées égales et même valeur pour 2 = 6, elles sont égales entre elles; on doit donc avoir
et chacune des équations (17) se réduit à
ri8) "^^ -
^'^' dz-
'H)Hr
on la mettra sous la forme
rldz z
La fonction v doit donc satisfaire à l'équation
d'où l'on déduit
Nous prenons le logarithme qui s'annule pour 2 = 0, et qui est holomorphe dans le cercle p. Les n -{- i racines de l'équation (20) deviennent égales, lorsque la quantité placée sous le radical s'annule,
ce qui a lieu au point critique
z = p\i — e'c^+OMfj p'.
Ainsi la formule (21) définit une fonction holomorphe de z, tant que cette variable reste comprise dans un cercle décrit du point z= o comme centre avec un rayon égal à p'. Cette fonction satisfait à l'équation (20) et, par conséquent, à l'équation (19); n fonctions égales a celle-là satisfont aux équations (17).
La fonction v se développe en une série
convergente dans le cercle p', et dont on peut calculer les coefficients à l'aide de l'équation (18) de proche en proche. On verra, comme précédemment, que le module de cette fonction reste plus petit que r dans le cercle p'.
Considérons maintenant les séries
i «.=(";)oY + ("''.)o-^-i-(«:).7y^ + ---.
dont les coefficients sont les quantités déduites des équations (16) par un calcul de proche en proche. Ces coefficients ayant des modules respectivement moindres que les coefficients de la série (22), les séries (23) sont convergentes dans le cercle p'; elles définissent des fonctions de z holomorphes dans ce cercle et ayant leurs modules plus petits que r. On vérifiera que ces fonctions satisfont bien aux équations différentielles proposées (16).
Une équation différentielle d'un ordre supérieur au premier se ramène à un système d'équations simultanées du premier ordre.
Existence des fonctions implicites.
2il. Thêobème III. — Étant donnée une équation Y{z, u) = o dont le premier membre est une Jonction holomorphe des deux variables z et u dans le voisinage des valeurs initiales, si la dérivée partielle par rapport à u n'est pas nulle pour les valeurs initiales assignées , l'équation est vérifiée par une fonction u de z holomorphe dans une certaine étendue.
Ce ihéorëme, que nous avons démontré directement pour les équations algébriques (n° 31) et étendu ensuite aux équations transcendantes (n° 130), peut être regardé comme une conséquence du théorème I, relatif à l'existence de l'intégrale d'une équation différentielle.
Si l'équation est vérifiée par une fonction u de z, admettant la valeur Mo pour z -- Zo et holomorphe dans le voisinage du point z^, cette fonction satisfera à l'équation différentielle
dz
d'où l'on déduit
du I).F
dz " D„F"^*^
La fonction Y{z,u) étant holomorphe par rapport à ;s et à m, les deux dérivées partielles D^F, D„F jouissent de la même propriété; si, pour 2=-So 6t u~Uq, la dérivée partielle D„F n'est pas nulle, le quotient f[z, u) sera lui-même holomorphe en z et u. La question est ainsi ramenée à la précédente : l'équation différentielle {iS) admet une intégrale holomorphe m = ^ [z), ayant la valeur initiale M(, pour
z = Zf^.
Il est aisé de voir que cette fonction m = <p (z) satisfait à l'équation
proposée; car l'expression D^F -+- D„F -r- est la dérivée de la fonction
composée ¥{z,u); cette dérivée étant nulle pour toutes les valeurs de z comprises dans une certaine partie du plan, la fonction F(^, u) est constante, et comme elle est nulle pour z = o, elle est nulle dans toute cette partie du plan.
212. Théorème IV. — Étant donné un système d' équations simultanées dont les premiers membres sont des fonctions holomorphes de toutes les variables, dans le voisinage des valeurs initiales, si le déterminant fonctionnel n est pas nul pour les valeurs initiales , les équations sont vérifiées par un système de fonctions d'une seule variable^ hok)m,orphes dans une certaine étendue.
Considérons un système d'équations simultanées
dont les premiers membres sont des fonctions holomorphes des variables z, M,, «2, . . ., Un dans une certaine étendue. Si des fonctions m,, U2,. ..f u„ de z vérifient ces équations, elles satisferont aux équations différentielles
