Revenons à l'étude d'une équation différentielle

du ^

La variable z part d*un point fixe ^o» la fonction u ayant une valeur initiale «„. D'après ce que nous avons démontré, tant que le coefficient différentiel reste holomorphe par rapport à 2 et à m, l'intégrale u est elle-, même une fonction holomorphe de z. Supposons maintenant que, la variable z arrivant en un certain point 2<, la fonction u prenne une valeur M|, telle que le coefficient différentiel /(z, u) devienne infini, de

manière, toutefois, que son inverse -— reste holomorphe dans le

voisinage des valeurs z^ et u^. Dans ce cas, la fonction intégrale u cesse d'être monotrope, et acquiert autour du point z^ plusieurs valeurs différentes qui se permutent circulairement.

Théorème V. — Lorsque le coefficient différentiel devient infini, si Von

désigne par n V ordre de la première dérivée partielle de la fonction -y,

par rapport à u qui ne s'annule pas, la fonction intégrale acquiert n -h I valeurs différentes formant un système circulaire. Posons

Z=Zi+ z' , Uz=iU,-ï-u',

d'où

du' y, , ,.

Si l'on regarde z' comme une fonction de u', cette fonction devra satisfaire à l'équation différentielle

dz' I

du' /(m, + a',z, + z') et admettre la valeur initiale z' = o pour u' =^ o. La fonction

étant holomorphe, est développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de u' et de z', et l'on a

dz' (29) -j—,=au' + bz'-\-cu'z'-Jf-ez'^-\-...=:(f{u',z').

Le second membre renferme au moins un terme indépendant de z'-, car, si tous les termes contenaient z', l'équation admettrait la solution z'= o et aucune autre (n° 209). Soit n le degré du premier terme indépendant de z'\ les « — I premières dérivées partielles de 9 par rapport à u' s'annuleront pour a'= o, z'=o; de sorte que les équations successives

d^z' ^(p î)9 dz'

'dîir^~W^^'dû''

dûr^~ïïiF^'^^ ïûjjz' du' ^ -dz" \^) ^ Hz' dûT^'

donneront

(dz'\ (d'z'\ /d''z'\

Wj.=°' i^j.=**'--' [d^ir'''

mais la dérivée suivante l-r-j^] ne sera pas nulle. L'intégrale de l'équation (29) sera de la forme

Il s'agit maintenant de résoudre cette équation par rapport à u'. Pour cela, posons

z'=z"«+', u'=vz";

l'équation devient

Pour 2"= o, l'équation se réduit à l'équation binôme i — Ap"^'=o; on adoptera, pour valeur initiale de v, l'une quelconque des valeurs

i>^z= / 1 )" + '. La dérivée partielle du premier membre de l'équation (3i)

par rapport à v n'étant pas nulle pour z" = o et v = (^o> cette équation, en vertu du théorème III, est satisfaite par une fonction holomorphe v

de z\

d'où l'on déduit

(32) M=a,+ foZ'"^ + f, 2'" + ' -+-f,z'" + 'H-

Quand la variable z tourne autour du point z,, la fonction u acquiert n-\- I valeurs différentes formant un système circulaire.

La valeur de Vo est l'une des racines de l'équation binôme i^'^'^' = ^] quelle que soit celle des racines que l'on prenne, on aura toujours

pour M les mêmes valeurs; nous avons posé, en effet, u' = vz" -- vz""^'; si l'on remplace la variable z' par la valeur z'e'^'^'^\ qui se riapporte au

2nfKi I

même point du plan, la formule précédente devient u'=-ve"^' z'"-*"; ceci revient à remplacer Vo par une autre racine de l'équation binôme.