CHAPITRE II
Exemple 1.
à laquelle nous joignons la condition initiale m = i pour 5 = 0. La dérivée étant une fonction holomorphe de u pour toutes les valeurs finies de w, il existe une fonction m de z satisfaisant à l'équation différentielle proposée et à la condition initiale donnée, et cette fonction est holomorphe tant qu'elle conserve une valeur finie; mais, à l'inspection de l'intégrale définie
{1) z= I -du.
on voit que z devient infini avec m : on en conclut que u conserve une valeur finie pour toutes les valeurs finies de z, et, par conséquent, que la fonction m, définie par l'équation différentielle, est holomorphe pour toutes les valeurs finies de z.
La fonction inverse z de m est donnée par l'intégrale définie (2); le
point M = o étant pôle de la fonction - » cette intégrale définie z admet
la période polaire w = lui-, il en résulte qu'à chaque valeur de u cor- A. /7S' ^ respond une série de valeurs de z de la forme z + mtù. On en conclut que u est une fonction de z simplement périodique.
Cette fonction, étant holomorphe pour toutes les valeurs finies de 2, est développable en une série ordonnée suivant les puissances entières de Zt et convergente dans toute l'étendue du plan. On obtiendra les
coefficients de la série en suivant la méthode générale indiquée au n° 208. De l'équation proposée on déduit, par des différentiations successives,
d'^u du d*u du
toutes les dérivées se réduisant à l'unité pour z = o, on a la série
ce qui fait voir que la fonction intégrale n'est autre que e''.
Exemple II.
/ / , du ^
à laquelle on joint la condition initiale u = o pour z = o, définit de même une fonction u de z, holomorphe tant qu'elle reste finie. L'intégrale définie
du
montre que, quand a va à l'infini par un chemin quelconque, z tend vers une valeur finie correspondante a, en décrivant un certain chemin Oa. Réciproquement, quand la variable z décrit ce chemin Oa, la fonction u devient infinie. Examinons ce qui se passe dans le voisinage de ce point a,, où la fonction u devient infinie. Posons, pour cela,
5 = aH-s', u= --'y l'équation différentielle proposée devient
et il faut y joindre la condition initiale m' = o pour z' = o. Cette dernière équation fait voir que u' est une fonction holomorphe de z' dans
le voisinage du point z'= o; il en résulte que le point z = a est un pôle de la fonction u. On conclut de là que la fonction m, définie par l'équation différentielle (4), est une fonction méromorphe de z dans toute l'étendue du plan.
La fonction inverse est donnée par l'intégrale définie (5). Si la variable u décrit deux lignes symétriques par rapport à l'origine, z acquiert des valeurs égales et de signes contraires; il en résulte que
u est une fonction impaire de z. La fonction — — ^ admet les deux pôles u = dzi; puisque
21 u — i ai u + i
les lacets correspondants {a) et {b), décrits dans le sens positif, donnent la même période polaire w = ±7r. Il en résulte qu'à chaque valeur de u correspond une série de valeurs de z de la forme z + mn. On en conclut que u est une fonction de z simplement périodique.
Il est facile de trouver les pôles de cette fonction. Remarquons d'abord que, dans l'étude de l'intégrale définie (5), le point m = oo ou u'z= o, sur la sphère, est un point ordinaire. L'intégrale définie, relative au contour d'un demi-cercle l'ih [fig^ 76) d'un très-grand rayon,
est égale à l'intégrale relative au lacet («), c'est-à-dire à t:; la partie de l'intégrale relative à la demi-circonférence étant infiniment petite, et les parties relatives aux deux rayons /'O, 0/ étant égales, si l'on appelle a l'intégrale relative au rayon infini 0/, on a 2a = ;r, d'où
a = -• Les pôles de la fonction sont donc "^ -\-mr,.
216. On peut exprimer la fonction méromorphe u par le quotient de deux fonctions holomorphes. Si l'on pose, en effet, u— —i l'équation différentielle devient
/dw \dz
cette équation sera satisfaite si l'on choisit les deux fonctions v et w de manière à vérifier les deux équations simultanées
, , dv dw
auxquelles on joindra les conditions initiales (> — o, w^ = i pour z=:o. D'après le théorème général démontré au n° 210, ces deux fonctions restent holomorphes tant qu'elles conservent des valeurs finies; elles sont développables en des séries dont on obtiendra les coefficients en différentiant plusieurs fois successivement les équations précédentes, ce qui donne
d'v dw
di^ ~~ d^~~ "'
d'w dv
dz' - dz " ""'
d*v dv
d^w dw
dz' ~ dz ~^'
d*v dw
dz* ~~ dz ~''*
d* w dv dz* dz
Pour z ----- o, ces dérivées se réduisent à
dv
di=''
dw
dz =°'
rf.V=°'
dz'
dz^ - ''
dUv
dz^ =°'.
d*v dz*^""'
d*w dz*=''
et l'on a les deux séries
Ce sont précisément celles qui définissent sinz et cosz (n° 55); elles sont convergentes pour toutes les valeurs de z, et l'on vérifie aisément qu'elles satisfont aux deux équations différentielles simultanées. On a donc
,0. sin«
(o) u= —iansz.
cosz °
Exemple III.
(9) ^ = ^G{u-a)iu-b),
dans laquelle le polynôme placé sous le radical est du second degré, et à laquelle on joint la condition initiale u = o pour z = o, le radical ayant une valeur initiale déterminée. La dérivée cesse d'être une fonction holomorplie de u, lorsque la fonction intégrale u arrive dans le voisinage des points critiques a et 6 du radical, ou lorsqu'elle devient infinie. Nous savons (n° 111) que l'intégrale définie
.du
conserve une valeur finie sur toute la sphère, excepté au point m = oo où elle devient infinie. Ainsi la fonction u ne devient infinie pour aucune valeur finie de z; il suffit donc d'examiner ce qui se passe quand la variable z arrive dans le voisinage d'un point z, où la fonction u acquiert l'une des valeurs a ou b. Nous poserons, pour cela,
55 = z, 4- z', M = a 4- m'^ ; Téquation différentielle devient .
et il faut y joindre la condition initiale m'= o pour z' ~ o. La dé-
du' rivée -r-j étant une fonction holomorphe de u' pour les valeurs de u'
voisines de zéro, la fonction intégrale u' est elle-même fonction holomorphe de z' dans le voisinage de 2'= o. On en conclut que la fonction u, définie par l'équation différentielle (9), est une fonction holomorphe de z dans toute l'étendue du plan.
Si l'on désigne par A et par B les intégrales définies relatives aux droites Oa et Oè, nous avons vu (n° 113) que l'intégrale définie (10)
admet une période w =^ 2A — 2B — -^5 et qu'à chaque valeur de u
correspondent deux séries de valeurs de z de la forme s + mw, A — ^-t- mw. On en conclut que u est une fonction de z simplement périodique.
218. On peut ramener l'équation différentielle proposée à une forme plus simple. Si l'on pose
rt -+- 6 a — h , z'
u—. ! u, z = Zt-\ >
Zo étant l'une des valeurs de z qui correspondent à m = ? l'équation différentielle devient
du'
avec la condition initiale u' ~o pour z' = o. Les deux points critiques sont m' = ± I , et l'on a y'G = t, w = 2^:.
La fonction m', étant holomorphe dans toute l'étendue du plan, est développable en une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de z\ et convergente dans tout le plan. De l'équation
dz'
on déduit, par la différentiation,
d^u' , d'il' du' d*u' ,
d7^~~^' 'd^~^~dû'' "5?^-""'-"' pour 5' = o, ces dérivées ont les valeurs
du' d-'u! d^u! d*u'
et l'on obtient la série
1 1.2.3 1.2.3.4.5 On a donc (la) M'=sin2'.
Exemple IV.
(i3) '^ = ^/FÏ^) = >/G{u-a)lu-b)iu-c){u-d),
dans laquelle le polynôme placé sous le radical est du quatrième degré, et à laquelle on joint la condition initiale u= o pour 2 = o, le radical ayant une valeur déterminée. La dérivée cesse d'être une fonction holomorphe de m, lorsque la fonction intégrale u arrive dans le voisinage de l'un des points critiques a, b, c, d du radical, ou lorsqu'elle devient infinie. Les deux circonstances se présentent ici; car nous savons (n^ 113) que, lorsque le polynôme placé sous le radical est d'un degré supérieur à deux, l'intégrale définie
t i\ .du
conserve une valeur finie sur toute la sphère. On verra, comme dans
l'exemple précédent, que, lorsque la variable z arrive dans le voisinage de l'un des points où u acquiert l'une des valeurs a, è, c, </, la fonction u reste une fonction holomorphe de z. Pourvoir ce qui se passe lorsque la variable z arrive dans le voisinage de l'un des points a où m devient
infinie, nous poserons z = a.-^-z\ u=^—\ l'équation différentielle
devient
{i5) ^=:-v^G(i-aw')(i-6M')(i-6-a'){i~</w');
il faut y joindre la condition initiale m' = o pour z' = o. La fonction u' étant holomorphe dans le voisinage du point z' = o, qui est un zéro simple de cette fonction, le point 2 = a est un pôle simple de la fonction u. On conclut de là que la fonction u, définie par l'équation différentielle (i3), est une fonction méromorphe de z dans toute l'étendue du plan.
L'intégrale définie (i4) a deux périodes w = 2A— 2B, co'=:2A — 2C, A, B, G étant les intégrales suivant les droites Oa, Ob, Oc, avec la valeur initiale du radical (n" 113); à chaque valeur de u correspondent deux valeurs de z, savoir z et 2A— z, augmentées de multiples quelconques des périodes. Ainsi u est une fonction de z doublement périodique et du second ordre.
Considérons maintenant l'équation différentielle
dans laquelle le polynôme placé sous le radical est du troisième degré; la fonction intégrale jouit des mêmes propriétés ; elle est méromorphe dans toute l'étendue du plan, doublement périodique et du second ordre; seulement, au lieu de deux infinis simples, elle admet un infini double. En effet, si a est un point où u devient infinie et si l'on pose
z = a. + z\ w = — ) l'équation différentielle devient
-— =— v/Gm'(i — au' ) [i — bu' ){i -^ çu' );
HZ
si Ton pose ensuite u' = u"-, elle se réduit à
^ = - - \l(i{i-au'")[i-bu"^) ( I - cu"^ ),
ilZ 2
avec la condition initiale m"=o pour z'=o. La fonction u" étant holomorphe dans le voisinage du point z' — o, qui est un zéro simple de cette fonction, le point z = a est un infini double de la fonction u. Il est facile de réduire les équations différentielles (i3) et (i6) à la forme particulière qui convient aux fonctions elliptiques. Nous remarquons d'abord que, si l'on pose u = d ^ — 7? l'équation (i3) se ramène
à la forme (16); si l'on pose u~ c-\ — 7^ j celle-ci devient
du!
dz
= — -VG[i — (a-c) a" j [i — ( 6 — c) m'»];
en faisant ensuite u' = > on arrive à l'équation
\ja — c
qui a la forme de l'équation différentielle
du
(17) __ = g,v/(,^.-)(,Ar'«»).
à laquelle satisfait la fonction elliptique X [z) (n® 159). ^|
220. Nous avons vu (n° 113) que, lorsque le degré du polynôme F(m) surpasse quatre, le nombre des cycles et, par conséquent, le nombre des périodes sont en général plus grands que deux; on reconnaît que, dans ce cas, la fonction intégrale n'est plus monotrope, et qu'elle acquiert plusieurs valeurs autour de cbacun des points a où elle devient infinie. Supposons d'abord que le polynôme soit d'un degré
pair 2/i; si l'on pose 2 = a H- z', w = —> l'équation devient
du' — y'G ( I — au' )[i — bu').
dz' ~~ "T
En vertu du théorème du n° 213, la fonction u' et, par conséquent, la branche correspondante de la fonction u acquièrent n — i valeurs différentes autour du point 5 = a, qui est un point critique algébrique pour cette branche de la fonction. Supposons maintenant que le polynôme soit d'un degré impair 2w — i; on a l'équation transformée
que l'on réduit à
du:
-\/Gu'ii'~au'){î—bu')...
dz' -
du"
~ \ s/G (i~au")(i- bu'')...
dz'
en posant u' ~u"^; la fonction u" et, par conséquent, la branche correspondante de la fonction u acquièrent 2/1—3 valeurs différentes autour du point z = a, qui est un point critique algébrique par rapport à cette branche de la fonction.
La fonction X.
221. Nous avons défini la fonction X (z) à l'aide de la fonction 0, et nous avons démontré (n° 159) que cette fonction satisfait à une équation différentielle de la forme
(I) ^=gsj{x-u^)[i-k^i^).
On peut, au contraire, définir la fonction X par l'équation différentielle,
à laquelle on joint les conditions initiales m = o, -t- = g, pour 5 = 0.
Cette équation rentre dans celle que nous avons étudiée au n°219. Nous avons vu que la fonction intégrale est méromorphe pour toutes les valeurs finies de z, qu'elle est doublement périodique et du second ordre. Représentons par ùm le radical. Quand u se meut dans deux directions opposées, à partir de l'origine m = o, l'intégrale définie
du
gi\u
acquiert des valeurs égales et de signes contraires; réciproquement, à des valeurs de z égales et de signes contraires correspondent des valeurs de u égales et de signes contraires; u est donc une fonction impaire de z, et Ton a
Les racines du polynôme placé sous le radical sont ±1, ±^5 aux
deux premières correspondent les deux points critiques a et c [fig. 77), aux deux autres les deux points critiques h et d\ un rayon vecteur,
Fig. 77.
tournant autour de l'origine dans le sens positif, les rencontre dans l'ordre a, h, c, d. Nous prendrons comme première période 20) = 2 A — 2C = 4A; d'où
o) r' du
2~Jo ê^'
l'intégrale rectiligne relative à la droite Oa étant évaluée avec la valeur initiale Aa ~ -h i du radical. On en déduit
'4) Kf)
Nous prendrons comme seconde période, soit co'-=2B— 2A, soit 0)' = 2 A — 2B, de manière que, dans le rapport — > le coefficient de i soit positif. On a ainsi
On en déduit, dans les deux cas,
Puisqu'à chaque valeur de u correspondent seulement deux valeurs
LES FONCTIONS ELLIPT. DÉFINIES PAR DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 353 de Zy savoir z et ik — Zy c'est-à-dire s et w — s, augmentées de multiples quelconques des périodes 2w, «', le parallélogramme construit sur ces périodes est bien un parallélogramme élémentaire. On a les relations
222. Les deux zéros de la fonction sont r = o et ^ = w. Pour trouver les infinis, faisons décrire à la variable u un contour formé d'un rayon 0/, d'une demi-circonférence d'un très-grand rayon et du rayon opposé /'O, et, pour fixer les idées, supposons que le rayon 0/ passe entre les points h et c, et que le demi -cercle comprenne les deux points a et h. Ce contour, parcouru avec la valeur initiale Am = + i, ramène la même racine et constitue, par conséquent, un cycle; la partie de l'intégrale définie relative à la demi-circonférence est infiniment petite; les parties relatives aux droites 0/ et /'O sont égales; en désignant par a l'une d'elles, on a donc
2a=:2A — 2B; d'où a-^qp — •
Si le rayon 0/ passait entre les points a et 6, le demi-cercle comprenant les deux points critiques h et c, on aurait
2a = 2B— 26=^28 + 2A; d'où arrroidl— •
Les infinis sont donc les quantités — et — h «, augmentées de multiples quelconques des périodes 200, «'.
Si l'on pose s = — hz', u =^-7» l'équation différentielle devient ^=±^v/(i-a")(.-A-'a-), avec la condition initiale m' = o pour z' = o. On a donc
Xl^ + z' =±: '
/fX(2')
En faisant 2' = -5 on reconnaît qu'il faut prendre le signe -1- ; on
obtient ainsi la relation
kl[z)
La fonction 'k(z), définie par l'équation différentielle (1), dépend des deux constantes k et g, c'est-à-dire du module et du multiplicateur. Les formules (2) et (3) donnent les périodes 2w, w' par des intégrales définies. Nous avons choisi ces deux périodes de manière que, dans le
rapport —■> le coefficient de i soit positif. Nous pouvons donc, avec les
deux constantes w et w', composer une fonction G (^) à l'aide d'une série convergente, et, au moyen des fonctions Q qui s'en déduisent (n''74), former une fonction méromorphe doublement périodique
Ces deux fonctions méromorphes, doublement périodiques, aux mêmes périodes, ayant les mêmes zéros et les mêmes infinis, sont dans un rapport constant (n° 152); comme elles sont toutes deux égales à
l'unité pour 2 ^ -» elles sont égales entre elles. On en conclut que la
fonction définie par l'équation différentielle est la même que la fonction définie par les fonctions Q.
La fonction p,.
223. Dans cet ordre d'idées, nous définirons la fonction /ul par l'équation
(.9). . ,a(z) = s/'i-T'(Tj,
à laquelle on joint la condition |j.(o) — i.
Cette fonction pourrait cesser d'être monotrope dans le voisinage des
