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LES FONCTIONS ELLIPT. DÉFINIE R DES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 35o

points OÙ la fonction \{z) devient égale à ± i ou infinie. Considérons l'un des premiers points, par exemple le point --; posons z = - -h z' ;

la fonction X I- + zM est paire, puisque 1 i- — z'\ =1 i~ -^ z

son développement ne contiendra donc que des puissances paires de z', et l'on aura

Cî-')

i/i-ll'^-h z'\=z'ia-hbz''-h. .), l/i + X (- -t- z'] = v/2 -i-a'z'»-i-..., (lo) ij,(^^z'\ = z'(\-hBz"--^...).

On en conclut que la fonction fx(z) reste holomorphe dans le voisinage

du point z = -'

Considérons maintenant l'un des seconds points, par exemple le point — ; posons z= \- z ; nous aurons

isl\-l'l^{z')

La fonction |x(s) reste aussi méromorphe dans le voisinage de ce point. On conclut de là que la fonction /x(z) est méromorphe dans toute l'étendue du plan.

Si la variable z, partant de l'origine, décrit deux lignes opposées, la fonction p. (z) := y'i — X- {z) prend des valeurs égales aux points symétriques par rapport à l'origine; ainsi la fonction est paire, et l'on a

De la relation (10), on déduit

pour les valeurs de z' inférieures à un certain module; et cette rela-

tion est eénérale; car si la fonction — ; est constante dans une

certaine étendue, elle est constante dans toute l'étendue du plan. On en conclut la relation

(i3) ii{z +(ù) = - ii{z).

De la relation ( 1 1 ), on déduit de même

d'où l'on conclut

Ainsi la fonction /x(z) admet les deux périodes 2w, w h- «'. Ses infinis

sont ceux de À (2); ses zéros les valeurs 2 = — h mw + m'w', pour

lesquelles X(z) = ihi. Le parallélogramme (2co, coh-w'), ne contenant que deux infinis, est bien un parallélogramme élémentaire.

La fonction /i(2), définie par l'équation (9), est la même que la fonction définie parla formule (n°76)

puisque ces deux fonctions méromorphes, doublement périodiques, aux mêmes périodes, ont les mêmes zéros et les mêmes infinis, et sont égales à l'unité pour z = o.

La fonction v .