Considérons, par exemple, une fonction entière

M — A, 2"* 4- A, 2"-'-+- ..4-A„; si l'on pose

on a

Uzzz ,

La fonction u devient infinie pour z' = o; mais si l'on pose

on a

la fonction u' est holomorphe dans le voisinage du point 0'; on dira donc que le point 0' sur la sphère est un pôle de la fonction u. Ainsi la fonction entière est holomorphe sur toute la sphère, excepté au point 0' qui est un pôle.

Considérons maintenant une fraction rationnelle

en posant

on a

BtZ"-h 8,2"- + . .

. + Aj^2"»

i8 , LIVRE I. — CHAPITRE I.

Si m est égal ou inférieur à n^ la fonction u est holomorphe dans le voisinage du point z' ±= o, qui est ainsi un point ordinaire. Si m est supérieur à Tiy la fonction u devient infinie pour js' — - o; mais la fonction -

reste holomorphe dans le voisinage de ce point, qui est un pôle de la fonction u.

Considérons enfin la fonction

que nous avons étudiée au n° 10. Si l'on pose

on a

Lorsque n est pair, le point 0' est un pôle de la fonction u. Lorsque n est impair, c'est un point critique; car autour de ce point se permutent les deux valeurs de u' et par conséquent celles de u qui sont trèsgrandes dans le voisinage.