Revenons à l'équation trinôme
dont nous avons déjà dit quelques mots (n** 249), et cherchons les équations de cette forme qui admettent des intégrales monotropes et doublement périodiques; les formules (43) et (44) représentent les exposants de la première et de la seconde espèce. Nous avons traité le cas où l'équation est du troisième degré. Supposons maintenant que l'équation soit du quatrième degré; les exposants de la première espèce sont égaux à 2, ceux de la seconde espèce à a ou à 3. On a ainsi les
quatre combinaisons
U' -h A {u ~ a) {u — b)\]' -h C{u — a')^u ~ b' y{u - c'y{u - d'Y =z o, V* +Aiu-a){u~b)\]'-i-C{u— aY{u~b'Y{u- c'Y{u — d'Y = o, U' + k{u--a){u-b)\]'-hC{u~ ay{u— bY{u ~ c'Y{u — d'Y = 0, U^ + A(m- a)(M — 6)U'+C(M— aY{u— by{u-~c'y = o,
ou, plus simplement,
V* + A{u ~ a)iu ~ b)V' + Ql = o, V* + A{u~a){u-b)\]'-hiu-aYQl=o, V*-^A{H — a){u-b)V'-h{u~aY{u-bYQl = o, V' + A{u-a){u--b)\]'-h{u—aY{u—bYQ', = o,
Qi' Q2» Q3» Q4 désignant des polynômes du premier, second, troisième ou quatrième degré.
Dans le premier cas, le polynôme
cf> = Ql-~A*iu~.ay{u~bY devant être le carré d'un polynôme P^ du quatrième degré, on a
|]AHM-a)*(«-6V=(Q, + P0(Q,-P.).
Les deux facteurs du second membre, étant premiers entre eux, sont divisibles, l'un par (u — a)\ l'autre par (w — by-, d'où
Q,= B{u-ay-^^~-^iu-by,
B étant unes constante. On a, de même, dans le troisième et le quatrième cas,
La seconde combinaison est inadmissible, car on aurait
^ A^M- aY{u - by = (Qa 4- P,) (Q,- P3),
et l'un des facteurs du second membre, qui sont du troisième degré, devrait être divisible par [u — by. On conclut de là qu'il existe trois équations du quatrième degré
(80) U* + A(M-a)(«-6)U^+rB(M-û)' + |-'p(M-6)*l*^o, '
(81) \}*-+-\{u-a){u-b)V'-h[u-ay{u — b)'[B{u-aY-hj^^{u-by'y=o,
(82) U^ + A(a-û)(a-6)U»-4-(u-a)»(«-6)»rB(«-a)4-^p(M-6)T=o, admettant des intégrales monotropes et doublement périodiques,
256. Lorsque l'équation est du cinquième degré, les exposants de Ig première espèce sont égaux à a ou à 3, ceux de la seconde espèce à 4» ce qui donne les cinq combinaisons
V'-hk{u-a){u-b)V*-]-C{u — ay{u-b'Y{u-c'y{u-d'y{u~e'y = o, \]^ + \{u - a) {u - b)U* -\- C{u ~ a'y{u - b'Y [u - c'y {u - d'Y = o, U»+A(w-a)(a-ft)U*-f-C(M- ay{u — b'Y{u~c'Y{u~dy=zo, \5' -i- A{u- a){u— b)V' -h C{u — ay{u — b'Yiu - c'Y = o, U» + A(a-a)(a-6)U*-hC(a— aY{u— bY{u — c'Y = o,
ou, plus simplement,
U> + A(M-a)(a-6)U*-T-Q;=o, U»4-A(m- a)(«— 6)U*-f-Q^R,^ = o, \J'+X{u-a){u-b)V*-h{u-ayQl=o, U' + A(a - a) (m - 6) U« + (m - a)' Ql = o, \]'-hX{u-a){u — b)\]* -+- (m - a)M« - by Q] = o,
les lettres Q et R désignant des polynômes entiers dont les degrés sont marqués par les indices.
En raisonnant comme précédemment, on verra que l'on a, dans le premier et le dernier cas,
et que le troisième cas est inadmissible. Le second et le quatrième cas sont aussi inadmissibles. Considérons en effet la quatrième équation réduite à la forme dérivée
V' + k{u-h)V*-i-Ql=o; le polynôme du sixième degré
pour être carré parfait, devrait avoir un plus grand commun diviseur, du troisième degré au moins, avec sa dérivée
et, par conséquent, avec le polynôme
ce qui est impossible, puisque le polynôme Q2 est premier avec ç), et que le polynôme placé entre parentbèses est du second degré.
Considérons de même la seconde équation réduite à la forme dérivée
le polynôme du dixième degré
pour être carré parfait, devrait avoir un plus grand commun diviseur,
du cinquième degré au moins, avec sa dérivée
et, par conséquent, avec le polynôme
ce qui est impossible, puisque le polynôme placé entre parenthèses est du quatrième degré. Nous ne trouvons ainsi que deux équations du cinquième degré
(83) U»-HA(a-a)(«-6)U'-f-rB(M-a)»- ^ T^(^ "*)']'= »»
(84) l]^-^\{u-a){u-b)\J* ^-{u~ay{u-by{B{u-a)--^^^[n-b)X=o,
admettant des intégrales monotropes et doublement périodiques.
257. Au delà du cinquième degré, on ne trouve plus aucune combinaison favorable. Nous remarquerons d'abord que le polynôme /;», du degré 2m, est formé de trois facteurs au moins, puisque chacun des exposants est plus petit que m. Lorsque m est pair, le nombre p, diviseur de m — i dans la formule (43), est impair, et égal ou supérieur à 3, et, par conséquent, les exposants de la première espèce sont
égaux ou supérieurs a 5 — -] ceux de la seconde espèce sont égaux
ou supérieurs à —5 la première limite étant supérieure à la seconde,
quand m est plus grand que 4» la somme de quatre exposants, dont deux au moins de première espèce, serait plus grande que 2m; ainsi, dans ce cas, le nombre des facteurs est trois. Lorsque m est impair,
les exposants de la première espèce sont égaux ou supérieurs à »
ceux de la seconde à -^i la seconde limite étant plus grande que la
seconde, chacun des exposants est égal ou supérieur à 5 leur
5vt
nombre est donc égal ou inférieur à — — ? ou à A -\ — -, et, par
conséquent à 4> quand m est plus grand que 5; ainsi, dans ce cas, le polynôme/^ se compose de trois ou de quatre facteurs. Concevons l'équation réduite à la forme dérivée
U- + A(m - èjU-"-' +/„ = o.
Si tous les exposants sont de la première espèce, le polynôme
du degré am, pour être carré parfait, devrait avoir un plus grand commun diviseur, du degré m au moins, avec sa dérivée
ou avec le polynôme
mf„ — (u— h) fin (u — a' )"-' {u — b' y'-' . . . '
qui est du troisième ou du quatrième degré, suivant que/„ se compose de trois ou de quatre facteurs différents, ce qui est impossible, dès que m surpasse quatre. S'il y avait un facteur [u — a)" de la seconde espèce, disparaissant dans la forme dérivée, le polynôme 9, qui est du degré 2m — n, devrait avoir avec le polynôme
mf„, — {u— b)f^ {u — b'Y'-' ..
un plus grand commun diviseur d'un degré égal ou supérieur à 5
et, par conséquent, à ^5 puisque n est égal ou inférieur à m — i ;
ce dernier polynôme étant du second ou du troisième degré, il y a impossibilité, dès que m surpasse cinq. Avec deux facteurs {u — a)", {u — hy de la seconde espèce, on peut combiner un ou deux facteurs
de la première espèce; dans le premier cas, le polynôme
qui est du degré n", devrait avoir, avec sa dérivée ou avec le polynôme
du premier degré
un plus grand commun diviseur d'un degré égal ou supérieur à — ^
par suite à — -. — » ce qui est impossible'dès que m surpasse cinq. Dans
le second cas, le polynôme 9,, qui est du degré /i"-+- n", devrait avoir, avec un polynôme du second degré, un plus grand commun diviseur
d un degré égal ou supérieur a » et par suite a > ce qui est
impossible.
258. Nous avons recherché spécialement les intégrales monotropes et doublement périodiques; il est aisé de voir qu'au delà du troisième degré il n'existe pas d'équation admettant une intégrale monotrope et simplement périodique ou rationnelle. Au delà du troisième degré, on ne trouve ainsi que cinq équations trinômes de la forme considérée, qui admettent des intégrales monotropes, savoir : les trois équations du quatrième degré (80), (81), (82) et les deux équations du cinquième degré (83) et (84). Ces équations rentrent dans le type général
1Vr-^k{u — a){u — h)\^'^' +(M-a)— "(«-6)— " '^[u — aY-¥[—\Y-- — ~- 7^ ("-*)" =0'
qui renferme quatre constantes arbitraires. Si l'on pose
j- r=zu'y d OU U = 7- U',
cette équation se réduit à
(85) U'"+A(a-6)a'U'"-' + {a-6)"'«'™-'' BM'«4-(-i)'«i-^?^i-^--^ =0;
si l'on pose ensuite w'" = u", elle devient
(86) U'""+/iA(a-6)ïf"U'""-+/i'«(a-6)'»M'""-' Bi/"+(-i)"i — J^^j^J^ =0»
et se ramène ainsi au cas où ^ = i . Nous avons donc à intégrer une équation de la forme
(87) U'" + AmU'"-' 4-Ba'"-'(M -t-H)'=o,
dans laquelle H désigne la quantité constante (— i)"*^-^^ — ~ — -^. Posons pour cela \] = uv\ nous obtenons la relation
(88) Ml''"-' (c + A) +B(aH-H)'=o,
qui est du degré m par rapport à v, et du second degré par rapport à u\ puisque u est une fonction doublement périodique de l'ordre m, il en résulte que v est une fonction doublement périodique du second ordre. En appelant F (u) le premier membre de cette équation, et différenliant, on en déduit
mais on a
F (7^ ) = B M' + [ f "•-' ((^ + A) + 2BH]m + BH' = o,
v"" -\- kv^-' H- (— \Y ^ A-"
= ^"-'(^4- A) (c;+ —— AJ ((^'"-^+B,t'— '-+-... + B„-0;
on arrive ainsi à l'équation du second degré
(tZ fît
Lorsque m est égal à 4 ou à 5, la fonction v, définie par cette équation, est monotrope et doublement périodique.
Lorsque m = 4» d'après les résultats trouvés au n" 255, l'équation générale (IX) admet une intégrale monotrope, quand on attribue à n les valeurs i, 2, 4» ce qui donne les trois équations (82), (81), (80),
et nous avons ramené les deux derniers cas au premier, en posant soit m'— sIu!' , soit m' = v^w"; l'intégrale de l'équation (82) jouit donc de cette propriété que sa racine quatrième est monotrope. Si l'on attribuait à n la valeur 3, on aurait une équation du quatrième degré, dont l'intégrale s'exprimerait rationnellement à l'aide de la racine cubique d'une fonction monotrope et doublement périodique; ce serait donc une fonction doublement périodique, admettant trois valeurs pour chaque valeur de 2; on pourrait la regarder comme la racine d'une équation du troisième degré, ayant pour coefficients des fonctions monotropes et doublement périodiques. Lorsque m = 5, l'équation (IX) admet une intégrale monotrope, quand on attribue à n les valeurs i et 5, ce qui donne les deux équations (84) et (83), et celle-ci se ramène à la précédente, dont l'intégrale a sa racine cinquième monotrope. Si l'on attribuait à n les valeurs 2, 3, 4. les intégrales cesseraient d'être monotropes; mais elles s'exprimeraient rationnellement à l'aide de la racine carrée, cubique ou quatrième d'une fonction monotrope et doublement périodique; ce seraient des fonctions doublement périodiques, ayant 2, 3 ou 4 valeurs pour chaque valeur de z.
Méthode générale d'intégration.
259. Nous avons effectué jusqu'à présent l'intégration par des procédés appropriés à la forme même des équations. Une fois qu'on a reconnu qu'une équation différentielle donnée admet une intégrale monotrope, et qu'on en a déterminé l'espèce, à l'aide des caractères que nous avons indiqués, la méthode générale d'intégration consiste à chercher l'expression rationnelle de la fonction intégrale au moyen, soit de la
variable z, soit de la fonction e " , soit de la fonction elliptique 'k(z) et de sa dérivée, et à calculer les coefficients qui entrent dans cette expression. Supposons, par exemple, que l'intégrale soit doublement périodique et admette les deux périodes 2&), w'; si Ton appelle X {z, g, k) la fonction elliptique qui a les mêmes périodes, l'expression de la fonction cherchée sera de la forme
M-f-NV(2)
L, M, N étant des polynômes entiers en X, les deux premiers d'un degré égal ou inférieur au degré m de l'équation, le dernier du degré m— i au plus; ces trois polynômes renferment 3m coefficients, ce qui, avec le multiplicateur g et le module k de la fonction elliptique, fait 3m -h a constantes, que l'on déterminera en substituant l'expression de la fonction u dans l'équation différentielle proposée. Nous allons appliquer cette méthode à l'équation du troisième degré
qui rentre dans le type (V) étudié au n° 250, et qui admet une intégrale monotrope et doublement périodique. Afin de déterminer complètement la fonction, nous supposerons que, pour z = o, elle a la valeur initiale m = o, et sa dérivée la valeur U = 1. La fonction étant impaire et s' annulant pour z = o, son expression est de la forme
On peut choisir les périodes de manière que les trois zéros simples soient o, w, — L'équation transformée ayant pour v = o ses racines différentes de zéro, l'intégrale a aussi trois infinis simples, dont l'un est w -\ -, nous désignerons les deux autres par ± ce, en posant
h = Yr~\' ^^ s'agit de déterminer les six constantes A, B, G, h, g, k.
Pour u = o, l'équation différentielle se réduisant à U' — i = o, les trois racines sont ^yj,j^- La première correspond à z = o; en se bornant aux deux premiers termes, on a, pour les valeurs infiniment petites de z,
U = I — ^ M^ d'où M = z 2%*
on a d'ailleurs
en substituant ces valeurs dans l'équation (92) et égalant les coefficients
LNTÉGRATION PAR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 41 ë
des mêmes puissances de z, on obtient les deux relations
(93) B^ + Cg-' = i,
Si nous faisons correspondre à z = w la seconde racine U =/, et si nous posons z = co + z', nous aurons u =jz', d'où
(95) 'Rg-Cg'=-j.
La troisième racine U =y- correspond à z = — 5 en posant z = — + z\ on a w ~j^z', et Ton obtient les deux autres relations
(96) Cgk = A,
(97) Bgk-^Ag'-^=.~hY.
La transformée
V» — 3 V» -h 4 -+- fMi — f')» = o,
pour v = o, admet la racine simple — i et la racine double 2; la première se rapporte à l'infini z = w -\ » la seconde aux deux infinis H- a. Si l'on pose z ~ w -h — -f- 2', on a
et l'on obtient la sixième relation
(98) X-^Cgk = - gkh\
Des équations (gS), (gS), (96) et (98), on déduit • ...
(99) Bg-=^' ^S' = -'{^ A^ = -A-|, /i'^'=7\
En substituant ces valeurs dans les relations (94) et (97), et posant, pour abréger,
(100) k^z=ip, {i^k')g'=q,
on obtient deux équations du premier degré en p et q , d'où l'on déduit
3 — 2 / i/3 — 2 — 4 iV 3
(loi p — —i q = •
Les valeurs de p etq étant connues, les équations (loo) donnent g et ^, et les précédentes h, A, B, C.
Cette dernière méthode est celle dont nous nous sommes servis exclusivement dans nos premières recherches sur l'intégration des équations différentielles [Journal de l'École Polytechnique, i856); tous les exemples que nous avons traités rentrent dans la catégorie des équations trinômes que nous venons d'étudier. Dans son Cours d'Analyse à l'École Polytechnique, en 1873, M. Hermite a observé que, lorsque l'on a reconnu qu'une équation différentielle de la forme (i) admet une intégrale monotrope, on peut effectuer l'intégration en exprimant U et M rationnellement à l'aide d'une variable auxiliaire, si l'intégrale est algébrique ou simplement périodique, et par des formules qui ne renferment pas d'autres quantités irrationnelles que la racine carrée d'un polynôme du quatrième degré, lorsque l'intégrale est doublement périodique.
