CHAPITRE PREMIER
Transformation générale de Jacobi.
260. Etant donnée une expression différentielle y=> où Y désigne
un polynôme entier du quatrième degré en j, la question traitée par Jacobi [Fundamenta nova theoriœ fonctionum ellipticarum, 1829) consiste à déterminer deux polynômes U et V entiers en x, tous deux du degré /?, ou l'un du degré/?, l'autre du degré/? — i, de telle sorte que,
si l'on pose y — y-» l'expression différentielle proposée se transforme en
une autre de la même forme -^> X désignant un polynôme entier en x
yX
du quatrième degré.
Soit
\IY=^^, V^[ïr-aV)(U-6V)(U-cV)(U-c?V).
Le polynôme en x placé sous le radical est du degré [\p. Supposons-le décomposé en ses facteurs premiers; pour que la transformation s'opère,
il est nécessaire que tous ces facteurs soient doubles, excepté quatre; alors un polynôme du degré ip — i sortira du radical, et il restera sous le radical un polynôme du quatrième degré. Cette condition suffit. On a, en effet,
, dx dx , dy = — dx.
Le polynôme M = V^ U y- est du degré 2p — 2; car, si les deux
polynômes U et V sont du degré/?, les deux termes du degré 2p — i se détruisent. Les facteurs doubles sous le radical ne proviennent pas de deux facteurs distincts; car, si une valeur de a? annulait, par exemple, U — «V et U — b\, elle annulerait les deux polynômes U et V, que l'on peut supposer premiers entre eux. En mettant M sous la forme
on reconnaît que tout facteur double de U — «V divise M. Le polynôme du degré 2p — 2, que nous faisons sortir du radical, divise donc le polynôme M, qui est du même degré; le quotient est une constante, et, par conséquent, on a
dy dx
Vf " VS'
X étant un polynôme du quatrième degré en a).
Transformation du premier degré.
261. Lorsque les polynômes U et V sont du premier degré, la transformation réussit, quels que soient les coefficients de ces polynômes.
Si 1 on pose y = — ^5 on a, en eitet,
dy [n — m)dx
\JY sJ[{m--a)-\-{n—a)x]{{m—b)~\-{n — b)x\[m-—c)-{'{n—c)x\[[m—d)'\-{n—d)x]
LES INTÉGRALES ELLIPTIQUES. 4t9
On peut déterminer les coefficients m et./i de manière que le polynôme du quatrième degré en a?, placé sous le radical, ne contienne que des termes de degrés pairs; il suffit pour cela que, dans le produit des deux premiers facteurs et dans celui des deux derniers, les termes du premier degré soient nuls, ce qui donne les deux conditions
(m — a){n — h) -{- {n — a){m — 6) = o, { m — c ) (« — rf) -+- ( n — c ) ( m — fi?) — o ;
d'où l'on déduit
2 mn — {a-\-h){ni 4-/i)-t-2a6:=o, imn — [c -\-d){m + n) -f-2crf=: o.
et, par suite,
i(ah — cd)
a-^h — c — d dy {n — m)dx
Une transformation ultérieure très-simple ramènera le polynôme X, placé sous le radical, à la forme canonique (i — x^) (i — k^x'').
Autre transformation du premier degré.
262. En introduisant une constante de plus dans la formule de transformation, on peut effectuer d'un seul coup la transformation complète.
Si 1 on pose, en eiiet, y = y~-> on a
dy ( n — mn' ) dx
^ \/[{ni—a)-h{n — n'a)x] [{m—b]-\-{n—n'b)x] [{m—c) -h {n~nc)x] [{m—d) + {n—n'd)x]
Le polynôme du quatrième degré en x sera ramené à la forme canonique (i — 0?^) (i — k'^x^)y si l'on a
ïT — ~ * » T — — "y
ce qui fait quatre équations à quatre inconnues m, /i, n', k. On déduit de deux d'entre elles
,f,. , a+b — 2 m 7.ab — m{a->rb)
et, en remplaçant dans les deux autres,
lab — {a->r b)c + c(a~ b)k := m\^a -\- b ~ 2c + (« — 6)/r],
%ab — {a-\-b)d — d{a — b)k =^m[a-\~ b ~ id — {a — b)k]',
l'élimination de m conduit à une équation du second degré
(7) {a ~ b){c — d){k'' +\) — ^.{{a + b){c -h d) — -lab — 'i.cd']kr= o.
Remarquons que
[a -^ b){c + d) — 2.ab — 2cd = {a — d){c — b) -+-{0 — c)(d — b} = A -^ h, [a— b){c ~ d)=i[a — d){c — b) —{a — c){d—b) = k — H.
En résolvant l'équation du second degré, on trouve
k = A + B q= 2 y/ÂB (s/Az+zs/bY y/Âips/Ë A-B - A-B ~sJ±s/B
Si Ton pose
Jl = ^{a-d){c-b), B.' = s/{a-c)id-b),
LES INTÉGRALES ELLIPTIQUES. i21
on aura
De l'une des équations (6), on tire ensuite
m rr: - - - .
En divisant les deux termes par \/{a — c){c — b) et posant
G = sl[a-c)[a-d), (^' = sl[c-
-b)id-b).
on a
On en déduit
'^-«^--tr=17-' ^-^^- G-G- '
. {d~b)G + {a-d)G' rr-. — j^^ j^H + H'
, 2(a-6)GG'
,1 TT TTT r-, :^^ («-ft)GG'{H-f-H')
sj{m-a){m~b)[m-c)[m-d)=z'- j. ^^ -'•
La formule de transformation devient
a -h b a — b ni -\- x
(lo) y=.
H -4- H' et, si l'on pose g — > on a
, . dr dx
(II
V^Y g-^(i — ic2){i — Âr'^')
iià LIVRE VI. - CHAPITRE I.
Il résulte de là que l'intégration de l'équation différentielle
est ramenée à celle de l'équation
dx n ;
dont la fonction intégrale est a? = X (z — Zq, g, k).
Nous avons effectué la transformation en disposant dans un certain ordre les quatre facteurs du premier degré qui forment le polynôme Y. Examinons combien on obtient de transformations, en disposant ces facteurs dans différents ordres. Lorsqu'on permute les deux lettres a et b, ou les deux lettres c et d, les deux racines de l'équation (7) et, par conséquent, les deux valeurs de k changent de signe; mais on obtient la même expression transformée (11). Si l'on permute en même temps a et c, b et d^ l'équation (7) ne change pas. En ne distinguant pas les valeurs de k égales et de signes contraires, on n'a ainsi que trois équations différentes du second degré; elles correspondent aux trois dispositions («, è, c, c?), (a, c, ft, d), (a, c?, 6, c), et donnent six valeurs de k réciproques deux à deux.
Première transformation du second degré.
263. Lorsque les polynômes U et V sont du second degré, chacun des facteurs sous le radical étant du second degré, il est nécessaire que deux de ces facteurs soient carrés parfaits. Nous choisirons donc les deux polynômes U et V, de manière que l'on ait
(12) U— aV=A(m'+m^)% \} — b\ =^{n' -\- nxf;
la formule de transformation sera
,3^ j-6^ B [n' + nxY ^
et nous aurons
d __V^U-UrfV (U-6V)^(U-«V)-(U-aV)rf(U— 6V)
j 2AB(mn' — nm') {m' + mx){n' -^ nx)dx ^y= («-6)V^ '
dy i{mn' — nm')v/ÂB dx
^Y « — ^ v/(U — cV)(U — </V)
La transformation réussit, quelles que soient les valeurs attribuées aux constantes m, m', w, w', A, B, que l'on peut réduire à quatre, pourvu que la quantité mn' — nm! soit différente de zéro.
Proposons-nous maintenant de déterminer ces constantes, de manière que le polynôme du quatrième degré en x, placé sous le radical, ait la forme canonique (i — x^) (i — k'^x^). Il y a deux manières d'y arriver : c'est de poser, soit
(i4) U-cV=:C(i-a:'), U-c?V=D(i-/«-'^'),
soit
(i5) \} — c\=C{i-x){i — kx), \}-d\=D[i-hx){i + kx).
Examinons d'abord le premier mode. Des équations (i4). on déduit
y— d D I - A^'ar''
cette expression dey ne contenant pas la première puissance de a?, il est nécessaire que le second membre de l'équation (i3) ne la contienne pas non plus, ce qui exige que l'on ait, par exemple, m = o, 7i'=o. On peut, dans ce cas, faire m' = n = i, et réduire les équations (12) et (i 3) à la forme
-aV =
Bar%
m LIVRE VI. - CHAPITRE I.
Pour que les polynômes U - cV, U — dY, qui ne contiennent pas la première puissance de œ, aient la forme voulue, il est nécessaire et il
suffit qu'ils s'annulent, le premier pour a; = i, le second pour x = j-,
c'est-à-dire que les valeurs correspondantes de y soient c et d-, il en résulte, d'après l'équation (17), les deux relations
c — 6 B d — b B I ^•^^ 7=r^" a' TTiTa-xF^'
On en déduit le module complémentaire
On déterminera les coefficients C et D, en remarquant qu'à x = 0 correspond j = b; d'où
le coefficient A reste arbitraire.
La formule de transformation (17) devient
et si l'on pose
on a
dy dx
v/Y ~ g v/(i — x^)(i — yi"'^')
LES INTÉGRALES ELUPTIQUES. 425
Deuxième transformation du second degré.
