Examinons maintenant le second mode. Nous avons posé
(i5) \} — cY=C{i-x){i — kx), \]-dY=.J){i + x){i + kx).
Pour que les polynômes U — cV, \} — d\ aient la forme voulue, il est nécessaire et il suffit qu'ils s'annulent, le premier pour x = i eix = -r,
le second pour or = — i et a? = — t» ou, ce qui est la même chose, que
les valeurs correspondantes de y soient j = c et y = d. W en résulte, d'après l'équation (i3), les quatre conditions
c — h Ji / w^ + n y B / ytVf 4-n y c — a A \m' -\- m ) A \m' k -f- m)
On en déduit
fn'k-\-ny / n'-^n V fn'k—nY I n'—ky \m' k + m ) \/n'+ m ) ' \ni' k — m) \m' — m)
et par suite
il faut prendre le signe — devant les deux seconds membres, sans quoi on aurait ^= i, U — cV et U— dN seraient carrés parfaits; mais déjà nous avons supposé que les deux polynômes U — a\, U — èV sont carrés parfaits; or il est facile de s'assurer que les quatre polynômes ne peuvent être à la fois carrés parfaits. On a donc
m' k -hm m' -\- ni^ m' k — m m' — m
d'où
Aucune des deux constantes m' et n' ne peut être nulle; on fera pour simplifier m' = /i' = i ; on a ainsi n = — m, ^ = mV, on prendra m ■= sjk^ /i = — y/Â. Si l'on remplace m et « par leurs valeurs, les relations (iZ) deviennent
On en déduit
,. ^y^ V(a-fi?)(c-6) Si l'on pose, comme au n"* 262,
li=\/{a—d){c—b), H'= ^{a — c){a~b), on a
^ ^'^ VH + v^H'
L'une des équations (24) donne le rapport
, rs B c—b fï-^ Jff
On obtient les deux rapports t ^t T' ^^ remarquant qu'aux valeurs
a? = — I , a; — I correspondent respectivement les valeurs y=d,y=c et comparant les expressions (12) et (i5) ; on trouve ainsi
C ^d- c (i-\/TfY B c-d {i-\-\jk)\ ^^'^' A ~ t/- a 2{i4-A-) ' A~ c — a 2{i-hk}'
La formule de transformation est
y- a c-a[(,^^)(i|-p^/f)J' et Ton a [Fundamenta de Jacobi)
^r^4v/^,/ÂB dx
Transformations réelles.
265. Lorsque le polynôme Y a ses coefficients réels, et que y varie entre des limites telles, que V— Y soit réelle, ce qui a lieu dans les applications, on cherche à opérer la transformation à l'aide d'une formule réelle, et de manière que le module k soit inférieur à l'unité et que x varie entre — i et 4- i. Il y a plusieurs cas à considérer, suivant que les quatre racines du polynôme Y sont réelles, deux réelles et deux imaginaires, ou les quatre imaginaires, et que le polynôme, sous le radical, est précédé du signe + ou du signe — .
Considérons d'abord le cas où les quatre racines sont réelles. Nous les supposerons rangées par ordre de grandeurs croissantes, savoir : a<ib<Cc<id. Nous opérerons la transformation par une formule du second degré, et nous adopterons de préférence le premier mode, qui est plus simple que le second (n° 263) :
1° Soit d'abord à transformer -—• Pour que le radical soit réel, il
faut que y varie de 6 à c, ou de û? à -h oo et de — oo à a.
Dans le premier cas, nous prendrons les formules telles qu'elles ont été établies
'^°) *=V{c^iW)' ''=vb=y^d=T)' s=-ji'-a)(d~K
le module k et le multiplicateur g sont réels, et le module inférieur à
l'unité. La formule inverse
déduite de l'équation (17), montre que, quand y croît de 6 à c, a: croît de o à ï.
Dans le second cas, nous prendrons les formules que l'on déduit des précédentes, en permutant a et c, è et d', le module et le multiplicateur ne changent pas; la formule de transformation devient
Ci, \ — ^^^ — a) — c{d—a)x^
La formule inverse
^2 ic—a){r—ff) <? — « / , . d — c\ {d — a)(x — c) d — a\ r — cj
montre que, quand y croît de c? à H- co , puis de — oo k a, x croît de o à t/ . 1 puis de cette quantité à i.
2*^ Soit maintenant à transformer — ■—-- Pour que le radical soit réel,
il faut que / varie de « à 6 ou de c à c?. Dans le premier cas, nous prendrons les formules que l'on déduit de (3o) et {3i) par une permutation circulaire des quatre lettres «, b, c, d en sens rétrograde, en ayant soin toutefois de multiplier g par y/— i ,
(33) '-V/NH^' ^' = \/[^^^' ^=î^/(^=^-^-
Quand y croît de « à 6, a; croît de o à i.
On obtient les formules relatives au second cas en permutant dans les formules précédentes a et c, b et d\ le module et le multiplicateur
ne changent pas; la formule de transformation devient
(35) c{d-b)-b{d-c)a:^ ^, llL Vi - ^^
Quand y croît de C2id,x croît de o à i .
266. On déduit facilement de ce qui précède les formules de transformation relatives au cas où le polynôme placé sous le radical est du troisième degré; car l'expression
se réduit à
V^=p(.r-a)(r-6}(j-c) = V=fY.
quand c? augmente indéfiniment. Il suffira d'introduire cette hypothèse dans les formules, en ayant soin de diviser g par y[d.
Supposons les trois racines réelles et rangées par ordre de grandeurs
croissantes, « < ô < c. i° Soit d'abord à transformer -^ ; pour que
le radical soit réel, il faut que y varie de 6 à c ou de — qo à a. Dans le premier cas, on emploiera les formules (3o) et (3i), qui se réduisent à
„ , bic — a) — aie— b)x^ , c — al b — a\
Quandy croît de è à c, a? croît de o à i . Dans le second cas, on emploiera les formules (3o) et (Sa) ; le module et le multiplicateur sont les mêmes que dans le cas précédent; la formule de transformation se réduit à
/oQ\ c — a , c — a (38) r = c —-5 x^ =
Quand y croît de — oo à a, a? croît de o à i . • • d'Y*
2** Soit maintenant à transformer -=• Pour que le radical soit réel,
il faut que y varie de « à è ou de c a + oo . Dans le premier cas, on prendra les formules (33) et (34), qui se réduisent à
Quand y croît de a à è, a? croît de o à i . Dans le second cas, on prendra les formules (33) et (35). Le module et le multiplicateur sont les mêmes que dans le cas précédent; la formule de transformation devient
o — bx'' n — h
(4i) r=- — ^ZT' ^ =
Quand y croît de c à + oo , a; croît de o à i .
267. Considérons actuellement le cas où le polynôme du quatrième degré Y a deux racines réelles et deux imaginaires. Soient a ei b les deux racines réelles, a étant plus grand que è, c = 0L + ^i, d=a — pi les deux racines imaginaires, /3 étant un nombre positif. Nous commencerons par opérer la transformation du premier degré la plus simple, celle qui consiste à faire disparaître les termes du premier
degré dans le polynôme X (n° 261). On a posé, pour cela, y= ;
on détermine les deux constantes /w et w à l'aide des formules (i) et (2), qui deviennent ici
Pour effectuer le calcul, nous emploierons deux angles auxiliaires ^, et 92. définis par les formules
,,o\ . a — ce ^ b — oc
(43) lang(p, = -^— , iang<p2 = — -— ,
et nous poserons
Des formules (43) on déduit
(a + 6 a — 6 sinacp' a= : j,t
1 „ (a — 6)cos<p, COS9, a — 6 cosay^ -1- ZQSiajf"
' ^ sinacp" ~ 2 sinaç*
Les équations (42) deviennent
I + CCS 2 9' ces 2 9"
m-+-nr=(a-i-6) — (a — 6)
sin2 9' sin2 9"
, ,, ces 2 9 H- CCS 2 9
m — n = \a—h) — . , . îh")
' sm2 9'sin2 9
d'où
, f^, a-\-b a — b , ,, a + ba — b
(46) m = lang9 tang9 , n = C0I9' C0I9 .
On en déduit
a — b COS9, a — b cos9î
2 cos9'cos9 2 sm9'sin9
, a — b COS91 , a — b cos9i
2 cos9'cos9 2 sin9 sin9
,. sin9'cos9,cos9j , , COS9' COS91 cos9j
m — a = {a—b) — ^ j^ ^, n — oc = —{a--b) H^ tt^ — r-'- »
51029' cos 9 ' 51029' 5109'
'a — b\^ C0S9, cos9j
îm' nnc'm"'
2 / cos'9 cos'9
/ \/ A\ (^—^\ cos9,co59,
^ '^ ' \ 7. J sin'9'5in^9"
N/ M , N, a, / IN, cos*9i cos*9,
'^ ' ^ / r V / 510^29" sin*9'
La formule de transformation y = ^ — ^ devient
, , s a-\-h a — h iang9' langtp" + x 0019' C0I9"
KM) ^~~~^ 2 i + a? '
et Ton a
(^S) ^^ — ^- coi9'cos9" dx
^zt\ a~b y/qrcos9, ces 92 v/(i — ^'cot»9' cot'9'')(i + ^^col'9')
On effectuera une seconde transformation en posant (49) a;=:lang9' tang9" COS9,
ce qui donne
,f. V g 4- 6 a — h iang9'iang9" + COS9
