I -i-lang9' tang9" COS

,w . </)^ ^ ^=p COS9, COS9, c?9

v/it Y P v^i — sin'9''sin*^

Si l'on pose enfin ,

(52) k = sinc^", g= -— ^ — -.i /t = tang9'iang9",

Vq=C0S9i COS9,

on a

a — b h -\- cos<

2 2 I + A CCS 9

dy ^ rt: ^9

v/±Y g'v'i — /f'sin'

et l'expression différentielle est ramenée à la forme simple des intégrales elliptiques (n° 230).

1° Proposons-nous d'abord de transformer l'expression • Le radical n'est réel que si y varie de b k a. Appelons ^, et ^2 les angles

définis par les formules (43), et compris entre et H- -•, dans le cas

actuel, nous prendrons ^i = <]^o 92 = ^2; de cette manière, cos(p, et

cos^a sont positifs, et le multiplicateur g réel; /3 étant positif et a

plus grand que b, l'angle f ==^i^ est positif; puisque ^^==^^^%

la constante h est comprise entre — i et + i. La formule de transformation (53) pouvant être mise sous la forme

(55) y=ib-\ 7 = 6 4-

\ + h ^,9 coso, , 9

I H r col' - 1 4 COt=' -

I — a 1 COS91 2

on voit que, quand ^ croît de o à -> j croît de 6 à a. On mettra donc le signe + devant le second membre de l'équation (54).

2° Soit maintenant à transformer -y=- Le radical est réel quand j

varie de a à -h qo et de — qo h è. Nous prendrons ici ipa = 4*2 et 9, = <|^, -f-7r; de celte manière, cosço étant positif, cos(p, négatif, le multiplicateur g est réel ; la constante h est plus grande que i en valeur

absolue. L'angle 9" — - + '^'~~^' est compris entre - et n. La for-

mule (55) montre que, quand 9 croît de o à l'angle dont le cosinus

est — T-> y décroît de 6 à — qo , et que, quand 9 croît de cet angle à tt,

y décroît de + co à a. Il faudra mettre le signe — devant le second membre de l'équation (54).

268. Le cas où le polynôme est du troisième degré et n'a qu'une racine réelle se déduit du précédent; car l'expression

se réduit à

s'^[r-b){y-c){y-d) = sj^Y,,

quand a augmente indéfiniment. Il faudra diviser^ par \Ja : on a alori (];,=-, h = \ , et, en prenant 9, = ^2*

COSÇj

43i LIVRE VI. - CHAPITRE I.

La formule de transformation (5o) peut être mise sous la forme

a cos 9i sm* - + o cos 92 ces' - ^2 ^2

coscp, sm* - + cosçj cos' - ^2 ^2

si l'on remarque que a cosip, tend vers la limite =p p, elle se réduit à (57) r=bqz ^ lang' ^ -

269. Il nous reste à examiner le cas où le polynôme du quatrième degré Y a ses quatre racines imaginaires a = ce. -h ^i, b = a. — ]3«, c = y + c?ï, <^ = Y — ai, /3 et ^ étant supposés positifs et a — 7 positif. Nous commencerons encore par effectuer la transformation du premier

degré en posant j = — > de manière à faire disparaître les termes

du premier degré (n" 261). On a

oc-y

cc-y Posons

58) lang9, — i^ > lang9j='^ , <? =- -^ 9" = -^ l-j

nous aurons

a cos 2 9" 4- y cos 2