COS 9, COS

[m-o^Y 4- (3^ = [oc --^yY f "''^^ ~, ' '^ ^ ' ' cos'9, cos='92

ros^o'

(r, nf\2 1 ft2 ( -f v^2 T

^ ^ r V // COS'9, C0S=9,

m-y)M-^==:(a- y)' ^°^''''' , ' cos'9i cos'92

(n y)'4-ô^ = (a y Y f"'"^", ' ^ ' cos^9, cos'qj

dy __ cos 9'

y/Y ^cos9" y^(i + ^2coi=9')(i4-a?Hang'9"]

Pour achever la transformation, on posera a; = — tangip' tang^, d'où

d}^ sin<p' d(f

sjY~ ^ CCS 9" / COS9, coso, . ,

i/ I 7-^, r-77Sin»9

V cos*cp cos*<p ^

Si l'on pose ensuite

/A^\ l7 . , /. , '/ CCS©, COS<Pj (3C0S9"

(bo) A'=i — tang'9'tang»9"= — -^, -S, g=-^ — h^

°^ °^ cos^9 cos'9 ° S1119'

on a finalement

dy ^9

y/Y g^Ji — k^sin'(f

On prendra pour 9, et (p^ des angles compris entre et + -? de

manière que cosç», et cosç>2 soient positifs. Le module k est moindre que I . La formule de transformation est

./, . m — n aâ I

sin2 9' I — iang9'lang9

Quand 9 croît de à 9', j croît de /i à -h 00 ; 9 croissant ensuite

de - — 9' à -5 y croît de — 00 à ti.

Remarquons que, dans les deux cas traités aux n°' 267 et 269, si l'on pose sin9 = t pour ramener l'intégrale elliptique à la forme canonique, les formules de transformation (5o) et (61) sont irrationnelles par rapport à t.

Les trois intégrales elliptiques.

270. Après l'intégration des expressions rationnelles, les géomètres se sont occupés des expressions irrationnelles, et d'abord de celles qui renferment un radical carré. Lorsque le polynôme placé sous le radical est du premier ou du second degré, l'intégrale s'exprime par des quantités algébriques ou logarithmiques; mais il n'en est plus de même lorsque le polynôme est d'un degré plus élevé. Le cas où le polynôme est du troisième ou du quatrième degré donne naissance à une classe d'intégrales définies, que l'on a appelées intégrales elliptiques, parce qu'elles servent à l'évaluation des arcs des sections coniques. Le célèbre

théorème d'Euler, dont nous parlerons plus tard, a été le point de départ des recherches sur ce sujet. Legendre a découvert ensuite un grand nombre de propriétés de ces nouvelles transcendantes [Mémoire sur les transcendantes elliptiques, 1794); son Traité des fonctions elliptiques contient l'exposé de ses propres découvertes et de celles de ses devanciers.

Considérons l'intégrale définie

(i) jF{r,s/Y)dr,

où Y désigne un polynôme entier du troisième ou du quatrième degré, et F (y, \/Y) une fonction rationnelle eu j et \JY, Cette fonction peut être mise sous la forme

M + M^ s/ Y (M + MWyj(N -NVy) P + P V Y

M, M', N, N', P, P', Q désignant des polynômes entiers en y; on en déduit

Jf (jr, v^Y) dr - Jl df +f^ dr.

La première intégrale du second membre, portant sur une fraction

rationnelle, s'exprime par une fraction rationnelle et des termes de la

forme \og(y — a). Il reste à considérer la seconde intégrale, que Ton

écrit

FT dy

Nous avons vu comment, par une substitution du premier ou du

second degré, on transforme l'expression -^ en une autre — =;> où X

est un polynôme du quatrième degré en x de la forme canonique (r — ^^)(i — k^x^). L'intégrale précédente se ramène ainsi à l'intégrale

f{x) désignant une fraction rationnelle en x. Cette fraction rationnelle peut se mettre sous la forme

Ml, M'i, N,, N'^, P<, P', , Q, désignant des polynômes entiers en x-. On a ainsi

On obtient la seconde intégrale en posant x^ — x'\ car alors le radical ne porte plus que sur un polynôme du second degré. Il reste à étudier l'intégrale

P, dx^