VX

271. La fraction rationnelle -^~ peut être décomposée en termes de

la forme kx"^", n étant un nombre entier positif ou négatif, et en termes

de la forme —-, — ttt^- P étant un nombre entier positif. Considérons

d'abord les termes de la première sorte. Soit X = A -f- Ba?^ -\- Ca?\ On a

D, (a:"'+' VX j = ( 2 TU- i) J7^" VX H — T=

(a/i-f i)A^"'-f- (2/1 + 2)Bj;»''+'-f- (271 + 3)Cx"'-^*

et, en intégrant,

7^'^dx . r x*"-*-'^dx

■Jx

Quand n est positif ou nul, cette équation ramène l'intégrale

:r"'+' dx

aux deux précédentes

;="'+' dx r x^" dx

r x"'+' dx r ,

En opérant ainsi plusieurs fois successivement, on arrive aux deux intégrales

rx'dxrdx

Qaand n est négatif, cette même équation ramène l'intégrale

x^" dx

v/x aux deux autres

x^"-^'dx rx'"''^*dx

/x^"+'dx r.

et, après plusieurs opérations successives, on arrive encore aux deux intégrales (5).

272. Considérons maintenant les termes de la seconde sorte, on a

X y/X y/X 37(Bar-+-2C^») 2 (/? — i )a7^ y/X

(A -}-iilix'-h3Cx*)(x'— h')— :t{p — i)iAx'+'Bx*-{-Cx'>)

Posons

les deux constantes A, et B< ayant les valeurs

A, = Ah-2B/j=+ 3C/j% B, = B + 3CA^

Si l'on multiplie les deux membres de cette égalité par 2xdx, et si l'on intègre, on obtient

Aa7^4- Bij;^4- Ca^^z^E + A, {x'— h') + B,(^=— h')' + C{x'— h'Y,

en posant E=^ h^A-hBh'^-h Ch*). Il en résulte

j^ ary/X __ (2/?-2)E (?./?- 3) A.

et par suite

</jc

Ay-' v/x

Si la constante E n'est pas nulle, de cette équation on déduira la première intégrale en fonction des trois suivantes, et, comme l'opération peut être continuée jusqu'à ce que l'on ait p = 2, on arrivera à l'in-

tégrale

et à d'autres de la première sorte, se ramenant, par conséquent, aux deux intégrales (5).

Si l'on avait E = o, Téquation se réduirait à

J i^'- ày-' )/x ^ ^ ' J (x^-~ i^y-^ V ]

Nous remarquons que la constante A, ne peut être nulle en même temps que E; car on aurait alors B^ — 4AC = 0, et le polynôme X serait carré parfait. La relation précédente ramène l'intégrale cherchée aux deux intégrales (5).

En résumé, l'intégrale

J"f (r, m dy

est ainsi ramenée aux trois intégrales

A la place de la seconde, Legendre considérait l'intégrale

fv^X dx.

qui s'exprime aisément à l'aide des deux premières. h' intégrale de première espèce

^ . r^ dx

(lo) 2= I -

Jo sl{i — x^){i— k^x^)

est l'inverse de la fonction elliptique x ~\(z,k). A chaque valeur de X correspondent deux séries de valeurs de z de la forme