L'intégrale elliptique de seconde espèce est

(il) a= I :•

Jo sj{i~-x^){i — k'x^)

Le radical admet les quatre points critiques «z=: i, ^ ~ y-, c — — i ,

d= — r (y?^. 77, n** 221), qui sont aussi des points critiques algébriques

pour la fonction u. Cette fonction devient infinie avec x, et le point 0' sur la sphère est un pôle du second degré pour chacune des branches de la fonction; mais, comme il n'entre dans l'expression que des puissances paires, l'intégrale définie relative au lacet 0', ou au circuit qui dans le plan embrasse les quatre points critiques, est nulle, et les périodes se réduisent à deux (n° 113). A chaque, système de cycles

LES INTÉGRALES ELLIPTTQDES. 441

donnant un couple de périodes elliptiques aw, w' de l'intégrale de première espèce correspond un couple de périodes sw,, w\ de l'intégrale de seconde espèce. 11 en résulte qu'à chaque valeur de x correspondent deux séries de valeurs de u de la forme

M -h amw, + w'to', , &), — M -4- amo, -+- m'oj' .

Si l'on change de variable en posant x=^\[z, k)^ d'où

dx j

= dz.

l'intégrale de seconde espèce prend la forme (12) u = ii{z)= j V[z)dz.

Elle devient infinie avec X(2), c'est-à-dire aux points

a = — + mw H- m w ;

si l'on pose z = a h- z', on a, dans le voisinage de l'un des points a,

" = -^ + C-f-py+|3'' + ....

On en conclut que u est une fonction méromorphe de s, admettant comme pôles simples ceux de X(z).

Il est facile d'exprimer cette fonction à l'aide de l'une des fonctions Q ou &, formées avec. les deux constantes cù et w'. De l'équation

trouvée au n° 169, on déduit en effet

Quand z augmente de w ou de w', le second membre éprouve des accroissements constants

on en déduit la relation

(i5) wû), — w'w, = -t:j->

entre les périodes des intégrales de première et de seconde espèce.

Lorsque le module h est réel et inférieur à l'unité, si z est réelle, la formule (i3) ne contient que des quantités réelles; si z est imaginaire et de la forme jï, y étant réelle, le second membre est de la forme Yt, Y étant réelle.

274. Considérons maintenant la fonction inverse x de la variable m, fonction définie par l'équation différentielle

dx v/(i— ^^)(i — /f^a;') du x^

à laquelle on joint la condition initiale a? = o pour m = o. En répétant le raisonnement du n° 219, on voit que, lorsque la variable u se meut dans le voisinage d'un point où la fonction x acquiert l'une des valeurs

± I, ± T» la fonction reste monotrope. L'étude de l'intégrale définie montre que, quand x partant de l'origine y revient par différents chemins, u acquiert les valeurs m, =mw,-hw'œî; réciproquement, si u va de l'origine à l'un de ces points u^ par un chemin convenable, la fonction x s'annule. L'équation différentielle

x"^ du = — dx,

sl[i — x^){i — k''x^)

dont le second membre se développe en une série convergente, pour les

valeurs de x dont le module est inférieur h i et au module de r» est de

la forme

on en déduit

, fx* ax^ \

ainsi, quand la variable u tourne autour du point m,, la branche considérée de la fonction x acquiert trois valeurs différentes; ce point est donc un point critique algébrique pour cette branche de la fonction. La fonction x conserve une valeur finie pour toutes les valeurs finies de u\ on en conclut qu'elle admet une infinité de valeurs pour chaque valeur de u ; car si elle n'en admettait qu'un nombre limité, une fonction symétrique et entière de ces valeurs serait une fonction holomorphe et doublement périodique de m, ce qui est impossible (n° 146).

Intégrale elliptique de troisième espèce. 275. L'intégrale de troisième espèce est

Jo (x'— h') ^{i — x'){i— k'x')

Outre les quatre points critiques du radical a = i, b = j^ c = — i,

d = — jj qui sont aussi des points critiques algébriques pour la fonction M, la fonction placée sous le signe d'intégration a deux pôles X = ±: hf qui sont des points critiques logarithmiques de la fonction u {n° 60), et qui fournissent une période polaire

-Kl

h\j{i— h^){i — k'li')

Le point 0' sur la sphère étant un point ordinaire, l'intégrale définie relative au circuit qui embrasse tous les points critiques est nulle; il en résulte que, si l'on fait abstraction de la période polaire, toutes les autres périodes se rédu-isent à deux; à chaque couple de périodes

elliptiques 20, w' de l'intégrale de première espèce correspond un couple de périodes 2^2, Wj de l'intégrale de troisième espèce. Cette intégrale admet donc trois périodes distinctes, de sorte qu'à chaque valeur de a? correspondent deux séries de valeurs de u de la forme

u -f- T-nidii -+■ m'Mj -H m" (à", «2 — u -h 2mw, + m'w', + m" (n" .

Si l'on change de variable en posant a? = X (a, ^), et si l'on remplace la constante h par X(a), l'intégrale de troisième espèce prend la forme

^''^ "=Jo XM.)-XMa)-

Elle devient infinie aux points critiques logarithmiques

et admet une infinité de valeurs pour chaque va^leur de z. On peut aussi l'exprimer à l'aide de la fonction Q.

La fonction doublement périodique ^r—— — ttt-t' aux périodes w, w', a

deux infinis simples z — ±:a\ les résidus correspondants sont

~'il{a)l'{a) On a donc, d'après le théorème de M. Hermite (n" 168),

ÏUmPÎÛTÂ — " + n1(n\V (n\ ' ^^ fi7

et, en remplaçant z par ^ H — 5

''■'^■(.) -H+ ,, ■„, n.iog^'----"'

\ — kn'[a)'k'{z) ' ' i'k{a)'K[a) "" B {z + a) Si l'on fait z — o dans cette dernière équation, on obtient la constante

Les deux équations précédentes deviennent ainsi

On en déduit

les logarithmes s'annulant pour z = o.

C'est à Jacobi que l'on doit l'expression des intégrales elliptiques de seconde et de troisième espèce par la fonction Q { Fundamenta) ; l'intégrale (21) est celle que Jacobi appelait spécialement intégrale de troisième espèce, et il l'a désignée par le symbole n(z, a, k), ou, plus simplement W [z, «), en sous-entendant le module k. La variable z est Vargument, la constante a \c paramètre de l'intégrale. On a ainsi

(22) îl{z,a)= Z.-^rj-^^ 4- -lOgT-^ { = z -— '— ^ + -lOg-r-^ r-

' ^ ' 6{a) 2 °e{a-hz) â{a) 2 *'â{a-hz)

Quand z augmente de w ou de w', le second membre éprouve des accroissenT^nts constants

, ,. 6' (a) , Q'{a) , ^ ^nai

D'ailleurs le logarithme donne la période polaire oi" = ni. On en déduit la relation

( 24 ) oow'j — w'mj = 27r«l,

entre les périodes des intégrales de première et de troisième espèce.

276. Examinons maintenant la fonction inverse x de u, fonction définie par l'équation différentielle

à laquelle on joint la condition initiale a; = o pourM = o. On verra, comme précédemment, que, lorsque la variable u se meut dans le voisinage d'un point où la fonction acquiert Tune des valeurs ±: i, ±7»

la fonction reste monotrope. L'étude de l'intégrale définie (16) montre que, quand x s'éloigne à l'infini par un chemin déterminé, u tend vers une valeur finie m, ; réciproquement, quand u va de l'origine au point m,

par un chemin convenable, x devient infinie; en posant x= —,, on a

x"" dx'

( I — li'x") ^{i — x"){k'—x")

du = ' ^ zn ( -7 — h ax" -I- . . . ) dx'

''x")J(i — x")(k'—x") ^\fc

x' = ±i\JTlt {u — U,f -¥ . . .

Ainsi, quand la variable u tourne autour du point m,, la branche considérée de la fonction x acquiert trois valeurs différentes; ce point est donc un point critique algébrique pour cette branche de la fonction. La fonction x admet une infinité de valeurs pour chaque valeur de w; car si elle n'admettait qu'un nombre limité, une fonction symétrique de ces valeurs serait une fonction monotrope triplement périodique, ce qui est impossible (n^ 143). L'étude de l'intégrale définie (16) montre aussi que u ne devient infinie que quand x tend vers l'une des valeurs ±L h; on en conclut que, réciproquement, toutes les branches de la fonction x tendent vers l'une des deux valeurs ± A, quand la variable u s'éloigne à l'infini ; sur la sphère, le point m = co est un point d'indétermination, et la fonction x se comporte comme une exponentielle (n« 59).