De la formule (22) on déduit les suivantes
(25) < n z, a+- =2-^^ + -Iog '
2/ 0, (tzj 2 ^0, (a-f-2)
n z, a H = z J") ! + - log -rri >
et celles-ci donnent
(.6) { n^.,<z+-)-n(z,a)=.j^'+jlogj^i^,
n (., a + îLt^) n (z, «) = . t^ + i log fiii^.
\ 2 / V ' / jtjL(a) 2 ° fj^a + z)
Si, dans la formule (22], on permute les lettres z et a, il vient
d'où
(27) n(z,a)n(«,2) = z^^-a|i^^=Ar'[aÇ(z)-zÇ(«)].
Cette dernière relation effectue la permutation du paramètre et de l'argument.
De la formule (22) on déduit encore la relation
^. X -rwlo.-^^ a -\- z\ „(a — z a ~ z\
(28) I ^{?-^\ ffi"-^
que l'on met sous la forme
j ja-\-z^(a-^z\ ,a — z^la—z\ ,, ^, ,
L'intégrale de troisième espèce II (2, a), qui dépend des trois quantités ^, a, z, s'exprime ainsi par une somme de fonctions dont chacune ne dépend que de deux quantités.
278. Dans l'intégrale (21), représentons le dénominateur par I 4- n\'^[z), c'est-à-dire posons n^= — k^X^ {a). Si la quantité donnée n est réelle, le module k réel, positif, et moindre que l'unité, et qu'on veuille calculer «, plusieurs cas se présentent : 1° si /i est positive,
on posera X^ [ai) =z ~ -, a étant réelle et positive (n*^ 236), et l'intégrale sera représentée par Tl(z,ai)\ 2° si n est comprise entre o et - P, on posera X^ (a) =. — ^^^ a étant réelle et positive, et l'intégrale sera n [z, a); 3*^ si n est comprise entre — ^'^ et — r, on posera X^ (ai -t- - j= — ^, a étant encore réelle et positive (n° 225), et
l'intégrale sera n iz, ai -\- -\\ 4** si n est comprise entre — i et — 30 ,
on posera X^ (a + — j = — p? a étant toujours réelle et positive, ce
qui donne l'intégrale Ilfz, a+ — ]• D'après les formules (25), le troisième cas se ramène au premier, et le quatrième au second ; et, par conséquent, dans l'intégrale de troisième espèce, lorsque la quantité n est réelle, on peut supposer le paramètre a réel ou de la forme aiy a étant réelle.
Considérons le cas où la variable z est réelle. Si le paramètre a est réel, le second membre de l'équation (22) ne contient que des quantités réelles. Si le paramètre a est imaginaire et de la forme a'i, d'après la définition, la fonction II est imaginaire et de la forme Ai; les termes du second membre présentent la même forme, mais chacune des deux
LES INTEGRALES ELLIPTIQUES. 449
fonctions 6 {a — z) , 0 {a -h z) dépend de trois quantités réelles distinctes k, z et a'.
Considérons maintenant le cas où z est imaginaire et de la forme jt. Lorsque le paramètre a est réel, ce cas se ramène au précédent par la permutation du paramètre et de l'argument. Lorsque le paramètre a est imaginaire et de la forme a'i, les deux fonctions ô {a — z), 0 [a -h z) sont de la forme 0 (bi), b étant réel, et on les obtient sans difficulté.
Remarques sur les périodes.
279. Considérons deux périodes correspondantes quelconques Q. et fl, des intégrales elliptiques de première et de seconde espèces; ces périodes sont les intégrales définies
relatives à un même cycle partant de l'origine et y revenant; ce sont des fonctions du module k qui ont pour dérivées
ç(û , r x'dx ^- 7 r ^*dx
dif '~ *J ( I - h'x')Ax' d/c ^ J {i — /f'x-')Ax'
De l'égalité
Ax àx {i—/t'x')Ax
on déduit par l'intégration
On a d'ailleurs
d'où
dk
da .^dil, ...
Des deux équations différentielles simultanées (3o) et (3i) on déduit les équations différentielles du second ordre
auxquelles satisfont séparément les périodes 0 et û,.
Si l'on considère en particulier les cycles qui se rapportent à un couple de périodes elliptiques 2w, w' de l'intégrale de première espèce, il résulte de ce qui précède que les premières périodes 20}, 2w, satisfont aux équations différentielles simultanées (3o) et (3i), ainsi qu'aux équations du second ordre (Sa), et que les secondes périodes w', w^ satisfont aussi à ces mêmes équations. En remplaçant dans les équations
d(à k , . ûfw' ff , , , ,
w, et w'j par leurs valeurs données par les formules (i4)> on obtient les deux équations différentielles du premier ordre
^^^ dk- kk'^Y Ho) «c/J '
auxquelles satisfont o>, w'; on en déduit
,,-. ddi' , do) tiiii
^ dk dk kk'^
