Si l'on pose u — X(2), on a
dz I
du ^i — (I-4-A-») lû -+- k* u'
Le second membre est développable suivant les puissances entières de M, pour les valeurs ayant un module inférieur à i ou au module de r* On obtient ce développement à l'aide d'une formule
établie au n° 97. En remplaçant, dans cette formule, z par ku^ et posant d = - ik -\- A i on en déduit
et, par suite, en intégrant,
Nous représenterons cette série par
Un coefficient quelconque
est un polynôme entier en ky pair, réciproque et du degré in. Les premiers coefficients sont
io5a* — Qoa' + Q ,.
945a' — io5oa'H- 2?.5a .^
1 1 rt& — * 1: — 7 — p h • ,
„ io395a* — i4i75a* + 4725a' — ^^^/s
En remplaçant kcn par » on a
i5 -h gA-* -h gA-* 4- i5A^**
io5 + eo/r^" -+- 54A^ H- 60 A-'' + 105^" î^""^ - ~~~ ""2747678 '
945 4-525/i» + 45oA'' -h 450 A" -f 525 A* 4- 945 A' '''''- " 2.4.6.8.10
Du développement précédent on déduit celui de s", suivant les puissances de u. Si l'on pose
(4) 2" = ?<"•+- at,"^a''+-+a^2")M"+^ + . . .,
DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ELLIPTIQUES EN SÉRIES ENTIÈRES. 453 on a, en effet,
(5) ar =
bm'L
- étant une fonction de u, donnée par la série (2).
Dévelçppement des fonctions elliptiques.
281. Les fonctions X(z), 1^(2), v(z), ayant les mêmes infinis, se développent en séries ordonnées suivant les puissances entières et croissantes de 2, et convergentes dans un même cercle, qui a pour rayon la distance de l'origine au pôle le plus voisin. Lorsque le multiplicateur g est égal à l'unité et le module k réel, positif et plus petit que i , si l'on choisit les périodes comme nous l'avons expliqué aux n"* 228
et 229, le rayon du cercle de convergence est — •
La fonction l{z) étant impaire, son développement est de la forme
De l'équation différentielle
on déduit
^^,,__(,^^^)X»^/,^XS
-f-r =— (i -H «•'- 6/r'Xn-j— -f- i2/i'X-7-, az* dz^ dz
En faisant X = o, on obtient les valeurs des dérivées pour z = o et, par conséquent, les coefficients de la série. Ces coefficients sont des polynômes entiers en k, pairs et à coefficients entiers. D'après sa définition par l'équation différentielle (n° 221), la fonction \(z) se réduit à sinz, lorsque le module k est nul et le multiplicateur ^égal à l'unité; il en résulte que les premiers termes de tous les polynômes, ordonnés par
rapport aux puissances croissantes de ^, sont égaux à l'unité, ce qui est d'ailleurs évident par le calcul lui-même. La relation
établie au n" 234, fait voir que le polynôme 3t« satisfait à la relation (7) 9t„(Â-) = yr-5t„(^.),
et, par conséquent, qu'il est de degré 2n et réciproque.
Nous remarquerons encore la propriété suivante ; si l'on pose
x = \/2.kl{z), Ç = z^2/r, la série prend la forme
aA 1.2.3 (a/))^ 1.2.3.4.5 '*"' et l'équation différentielle devient
dx\- ^ . I
d'où
d^x __ / 3 \ dx
( 3 \ d-'x ^ (dx\
les valeurs des dérivées successives, pour a? = o, étant des fonctions
entières de a, à coefficients entiers, on en conclut que 5l„ est égal au
produit de (2^)" par une fonction entière de a, a coefficients entiers.
Du développement précédent on déduit «elui de X"(z), suivant les
puissances de z. Soit
OD a
étant une fonction de 2, donnée par la série (6).
La formule de Lagrange établit des relations entre les coefficients des séries (6) et (8) et ceux des séries inverses (a) et (4). D'une part, si l'on regarde u comme une fonction implicite de 2, définie par l'équation
dans laquelle - désigne la fonction de m, donnée par la série (2), on a
L \"/ Je< = o
D'autre part, si l'on regarde z comme une fonction implicite de «, définie par l'équation
(i) dans laquelle - désigne la fonction de 2, donnée par la série (6), on a
{12) ttf^
.2. . .[^ip -(- \)
-»-« 1.2. . .2/> I * /uyp+" I
282. Le développement de la fonction paire ix{z) est de la forme
(4) ^(2) = i-gs.. — .-^^, ...
De l'équation différentielle ( n^ 159 ) on déduit
en faisant p. = i, on obtient les valeurs des dérivées successives pour 2 = o et, par conséquent, les coefficients de la série. Ces coefficients sont des polynômes entiers en k, pairs et à coefficients entiers. La fonction iJi{z) se réduisant à cos^, lorsque le module k est nul, les premiers termes de tous ces polynômes, ordonnés par rapport aux puissances croissantes de k, sont égaux à l'unité.
Remarquons que les valeurs des premières dérivées sont des fonctions entières de 2k, à coefficients entiers, et que la même propriété se continue, parce que la quantité i + {2ky — 6P(i — jut,'-*), qui entre dans l'expression de la seconde dérivée, se réduit à i -+- (2^)^ et sa dérivée à 3(2^:)'^, de sorte que, dans le calcul ultérieur, les coefficients de tous les termes, à partir du second, seront des fonctions entières de ik.
Le développement de la fonction paire v{z) est de la même forme
l'équation différentielle
montre, comme précédemment, que les coefficients sont des polynômes entiers en k, pairs et à coefficients entiers. La fonction v(z) se réduisant à une constante, lorsque le module k est nul, les coefficients 6,, Sa»-- s'annulent et, par conséquent, renferment F en facteur commun.
La relation
démontrée au n° 234, fait voir que les coefficients 93 et S satisfont à la relation
On en conclut que le polynôme 6„ [k) est du degré 271, et, comme il n'a pas de terme indépendant de k^ que le polynôme a3„(^) est du degré 2/1—2.
Méthode de M. Hermite.
283. Le calcul des coefficients par les dérivées successives est impraticable. M. Hermite a donné une méthode qui permet de trouver directement un coefficient quelconque 93,, du développement de il(z) et qui n'exige que la résolution d'équations du premier degré. Cette méthode repose sur une formule que l'on peut établir de la manière suivante : considérons la fonction
qui adniet les deux périodes w et «' et qui satisfait aux relations
La quantité joue, dans les propriétés de cette fonction, le même
rôle que la quantité o) dans celles de la fonction proposée l(z). Déterminons la constante A, de manière que la fonction 9 ait une valeur
égale à l'unité pour z = — -~. De la relation
^i^z + —-~jixiz) = --^ (n«>77), on déduit
d'où
on fera donc
A = k- ik'.
De cette manière, la fonction (p{z) est une fonction X, admettant les périodes elliptiques w -+- co', w', au lieu de 2«, w'. Si l'on désigne par gt et k^ le multiplicateur et le module de cette nouvelle fonction X, on a
et l'on obtient ainsi la formule
On en déduit
, Q. r, .,,, k-hik'l ,j .j,.ku?{z,k)-hik'
et, en changeant le signe de «,
, , r , .... k — ik'~\ ,j .j ,.ku}{z, k) — ik'
DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ELLIPTIQUES EN SÉRIES ENTIÈRES. 459 la combinaison de ces deux relations donne
I {h-i-ik')^.^{k-ik')z, l^j
Si l'on pose k = cosy, cette dernière équation prend la forme
(21) e'i'ij.{ze-!',e^') -+- e-ï'/x(zeï'", e-'ï') = 2cosy/:i(z, cosy).
En remplaçant les fonctions jui par leurs développements en séries, on reconnaît que le polynôme ©«(^j, pair et du degré 2/1 — 2, satisfait à la relation
(22) e(^'-')ï'g3n(e-»ï') -t- «-('"-'^T'aSaCe-T') ~ 2C0sy 33» (cosy).
Soit
(23) ^,{k) = b, + b,{2ky -h b,{2ky -\-. . . + b„.,{2kr-\
la relation précédente devient
(24) V 2^bgC0s{2n — 4^ — i)y = V 2V6^cos'/'+'y.
Si l'on remplace les puissances de cosy par leurs expressions en fonction des cosinus des multiples de l'arc 7, expressions données par la formule
2V cos'P-*-'y = cos(2/? + i)y h — cos{2p — i)y
u l z: L C cos(2D — 3 y-t-. . .-\-—i- '- ^-J- '- cosy,
et, si l'on ordonne le second membre par rapport à ces cosinus, on la transforme en la suivante :
(25) y 2Ȕ6,cos(2n - 4g- i)y =\ U^,+ ^^-p-^ 6/,+,
Cette égalité devant avoir lieu, quel que soit y, les coefficients des mêmes cosinus dans les deux membres doivent être égaux entre eux. A une valeur donnée de p correspond pour q l'une des deux valeurs
n — /? — ^ '^shJl^ suivant que le nombre :in — l\q — i tst positif ou
négatif; on a donc
(2.6) 2"-/'-' 6^,^ OU 1"+Pb,^=b,+ '^P'^ V,
En attribuant à /> les « valeurs décroissantes n — i, n— 2, /i — 3, « — 4,. . . , o, on obtient ainsi un système de n équations linéaires et homogènes
2«/>„ ( I 12 I .2.3. . .(rt — Ij
entre les n nombres entiers cherchés bo, è|, è2»--» ^«-i ; nfi^is ces
équations se réduisent l\ n ~ i équations distinctes; car, en les ajoutant membre à membre, on a la même identité qu'en faisant y=o dans l'équation (21). On connaît le premier coefficient ^o = i ; le système des n — i équations linéaires permettra de déterminer les autres. Remarquons que le dernier coefficient è„, est aussi égal à 1.
284. Appliquons cette méthode au cas où /î — 7; nous aurons à résoudre les cinq équations
II, l3. 12
8 , II. 10. q , i3. 12. I I . m
- , 7 . 0.8 . II. ÏO.Q .
2«6, = 6,4- ^ b, + ^— 64 ^ ^ bi-h
. , 5, 7-6, Q.8.7 . II. 10. Q. 8, i3. 12. II . lo.q
On en déduit
Voici les premiers coefficients du développement de /ut (2) :
ii(2A-)'4- (aA-y, io2(2A-)' + 57(2^)^4- (2*)% 922(2 A-)' -h i923(2/f)*H- 247(2/r)«H-{2X-)', 83o3(2/f)'-f-544i5(2/f)« H-24o4o(2/r)«-h ioi3{2A-)»4- (2^-)", 74733{2A-)»-f-i434o66(2A-)«r+- i67o672(2/f )«-h 25394i(2/f)» + 4o83(2A-)'» + (2/f)",
g3.= i+6726o4(2A-)^4-36644374{2/r)* + 99026oi8(2A-)'' + 385i7 533(2A;
On en déduit immédiatement, d'après la relation (i6), ceux du développement de v{z)
Une fois que l'on connaît les développements de ii(z) et de v(z), on obtient aisément celui de X(z); car la relation \'{z) — ij.{z)v{z) donne
a.=a.,+ ^"''"r"sB,.-,6, + ^"""-"'-"7?"^"~^'s.-e.+...+fc
en groupant les termes deux à deux, on a un polynôme en ^, réciproque et du degré 2 n. On trouve ainsi
Qtj — (i + /f") -f- i35A'(i -f- /.»),
i2t,= (i -f- /<") + i228/f'(i -f- k*) + 5478AS
01, = ( I 4- A-'* ) + 896 8o3yi-^( I -i-/»'") 4- 1 16 294673 /r< ( 1 + /t •}+ 834 687 1 79/f<'( I +/f '),
Ces coefficients, exprimés à l'aide de la quantité a, comme on l'a dit au n*' 281, prennent la forme plus simple
ai,={2yf)a,
%={:iky{oc'-h3o6ac'-^i8g),
Ea multipliant par lui-même le développement de X(z), on obtient celui deX^(z), que nous avons représenté par
On trouve
5jm 2»^4(2«a^4-486a'H- 189), 91'^" - 2'»A»(2*a* -t- 2016a» -+- 3429a), 5ll*'=2"A»(2«a'"-f- i3o464a* + 667 872a'H- 180977),
La fonction \^{z) se réduisant à sin-zou à 1 lorsque le module k devient nul et, par suite, ko. égal à |, le coefficient du premier terme de SlJ;^ est a'^-*^'.
Expression de X^"^' (z) en /onction de X (z) et de ses dérivées.
285. Nous avons vu (n° 166) qu'une puissance impaire de X(z) est égale à une fonction linéaire de X(z) et de ses dérivées d'ordres pairs, et que si l'on pose
le multiplicateur pétant supposé égal à l'unité, on a
[ A»"X'«+'(2)=A,x(z)-h Ar(z)-+-...
On peut exprimer les coefficients A,, A,,... au moyen des coef-
ficients aj;'^ considérés au n° 280. On a, en effet,
j-p- J =- 1 + A.,„, z^ + Aj„3 2' -1- . . 4- A, 2'" + . . . ; d'où
^"'-"' = 1.2.!. 2;, F' (>fz)) ].=;
Mais, si dans la formule (i3) on remplace îi par a/i — 2/>-f- i, on a
2/1 + 1 1.-2.. ..ip\ * \k{z)l J, = o'
(ï/i + i — jp) 2'*
on en déduit
et l'équation (28) devient
En remplaçant z par z H- — > on a l'expression de yj7,+iY'\ P^^ ""®
fonction linéaire de X (z + — j et de ses dérivées.
Expression de \^" [z) en fonction de X' (2) et de ses dérivées.
286. Nous avons vu (n° 167) qu'une puissance paire de X(js) est égale à une fonction linéaire de X^ (z) et de ses dérivées d'ordres pairs, et que, si l'on pose
• ' Ajn—j . A 2
on a
(3i) /f^''-^DX'«(2)= -DXM2) + ---^D'}.»(z)+ ..A ^ rW'-'Viz).
Les coefficients Ao, A4,... s'expriment aussi par les coefficients aj,"^; on a
et l'équation précédente devient
h UL [Z) ^ fl^. ^^ ^ -^^^ D'X'(Z)4-. . . 4- D^'-XM^).
Si l'on intègre de o à z, en observant que, d'après la série (27), la valeur de D^''X^(z), pour z = o, est égale à (— ij'^'QlJ,!!,, on a finalement
f^ iJii ^^izii X'(3) + ^"r,D'XMz)+.. . + "^ D--)iM2)
