I.2...O I.2...2/tJ
En remplaçant z par z -\ ? on a l'expression de r^^y— ^ par une
fonction linéaire de X- (z + — ) et de ses dérivées. ^
Fonctions de M. Weierstrass .
287. D'après les relations établies au n° 169, lorsque le multiplicateur g est égal à l'unité, les fonctions Q satisfont aux équations différentielles
li'\o^Q{z) +kn}{z)^\\, D'log0.(2)+ ^ z=H, DMog0,(z)4- ^=H' DMog03(z) + /r'^|-H,
dans lesquelles H désigne la constante -qj-4' On simplifie ces équations
en substituant aux fonctions Q les fonctions Al (initiales du mot aile) de M. Weierstrass, fonctions définies par les formules
■ JAl(.)=e. ^, AI.(.) = . . ^j,
i AW.'^ ^:iif!0.(2) .... ^"£-'03(2) .
En désignant par H la nouvelle constante -— ^ égale à H H — ^^ on a aussi (n** 173)
(^''("^=" ^ -H^y Al3(.) = e •^. -^^.
Les trois fonctions k\[z), A la (2), Al3(z) sont paires et se réduisent à l'unité pour z = o; la fonction Al, (2) est impaire et sa dérivée est égale à l'unité pour z = o. Comme on a
-,, \ Al, (2) , . Al,(2) , . Al3(2)
Al{z) ' ""'^'^ k\{z)' ''~''~ K\[z) les quatre fonctions Al satisfont aux relations (5) k\\-i-k\\ = k\l-\-k'k\] = k\\
Les équations (i) deviennent
W\ogk\{z)+k'V{z)=o, DMogAl.{z)+ ^— — D'logAl.(z)+ ^ ==0, DMogA]3(2) + /.-^-^ = o;
on peut les mettre sous la forme d^k\
Al
dz'
f/»AK
