JO Z
AI, 2 =1 —03 h a —7
On obtient les coefficients des deux dernières séries en différentiant plusieurs fois successivement les deux dernières des équations (7), faisant ensuite z = o et tenant compte des conditions initiales Alafo) = AI3 (o) = I, Ar2 (o) = Al'a (o) = o; ceci montre que les coefficients oa et 03 sont des polynômes entiers en k, pairs, et à coefficients entiers. La première des équations (7), mise sous la forme
et différentiée plusieurs fois successivement, donne les coefficients du développement de Al {z) à l'aide de ceux du développement de AI2 {z). De la relation A\,{z) =X(s)Al(z), on déduira enfin ceux du développement de Al,(z). Ces coefficients sont aussi des polynômes entiers en k, pairs, et à coefficients entiers. Les séries par lesquelles s'expriment les quatre fonctions Al {z) étant convergentes pour toutes les valeurs de z et de k, il en résulte que ces fonctions sont holomorphes, non-seulement par rapport à 2, mais encore par rapport à k, pour toutes les valeurs de ces variables.
288. Les fonctions Al n'admettent aucune période, mais elles rentrent dans la catégorie des fonctions intermédiaires dont nous avons parlé dans le Chapitre III du Livre IV; quand on remplace z par z + a ou par z + w.', elles sont multipliées par les quantités
0), et (à\ étant les périodes de l'intégrale elliptique de seconde espèce données par les formules (i4) du n° 273.
D'après les formules du n»* 201, lorsque le module k est nul, la première période « devient égale à 7:, la seconde w' infinie, et la quantité q est nulle; les deux fonctions A{{z) et Al3(z) se réduisent à l'unité, la fonction Al, {z) à sins, la fonction A\2{z) à cosz.
D'après leur définition (n"^73 et 173), les fonctions Ô et^ sont homogènes et du degré zéro par rapport aux trois quantités z, w, w' qu'elles renferment; elles ne changent. pas lorsqu'on multiplie ces trois quantités par une même quantité, et, par conséquent, les ïoni:{\onsô{z, g,k), ^[zyg.k) s'expriment à l'aide de fonctions dont le multiplicateur est
égal à l'unité; elles sont respeclivement égales aux fondions ô {gz, k), ^(gz, k). Nous avons trouvé (n*' 234) les relations qui existent entre les fonctions Q ou les fonctions ^ relatives à deux modules réciproques; des relations (35),
^3 [l(z, j^ B, (^kz, ^-j 5 ykz, -^- j 5, iyhz, J^
on déduit les relations
Al, Uz, j.) = Alafz, /r), AU Uz, j\ = \h{z, h).
entre les fonctions Al relatives à deux modules réciproques.
On conclut de là que les coefficients des séries satisfont aux relations
(lo)
Il en résulte que les polynômes a^"^ et o["^ sont réciproques par rapport à k, et que les polynômes a["^ et 03"^ se déduisent l'un de l'autre. Les polynômes a^"^ et a^"^ s'annulant pour ^ = o et les deux autres se réduisant à l'unité, a'"^ et a["^ sont du degré 2n — 2, a["^ et 03"^ du degré 2n. En éliminant ^{z) entre la première des équations (6) et l'équation
l'^z) = [i-lHz)][i~k'l^{*z)],
on arrive à l'équation différentielle du troisième ordre
(11) [D'logAl(z)p+4DMogAl(z)[n-DMogAl(2)][/f= + D'logAl(2)]=:o.
Quand on remplace s par l'une des quantités ^ -+- -5 z h- — , ^ h — ,
la fonction DMogAl(s) se change en DMogAl3(z), DMogAl,(z),
DÉVELOPPEÎkŒNT DES FONCTIONS ELLIPTIQUES EN SÉRIES ENTIÈRES. 469
D^ logAl2(z); il en résulte que les quatre fonctions logAl(z) satisfont à cette même équation différentielle.
289. On abrège le calcul des séries à l'aide d'équations aux différentielles partielles, auxquelles satisfont les fonctions holomorphes Al (2) des deux variables z et k. Considérons d'abord les fonctions 0, représentées parles formules (8) du n*' 74; le multiplicateur pétant supposé égal à l'unité, la période w, donnée par la formule (3i) du n° 205, est une fonction de q\ les fonctions ^ dépendent donc uniquement des deux quantités z et q. De l'expression
on déduit
Q{zY-
nnr.z
sm
^^ „V/ . \„ .-,„„..„. '"^^ , 47:2 c?log6) V / ,„ .„.2«7rz
3 log^ i^ w w f/log^ ^^ ' ^ eu
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