La fonction résolvante d'Abel se met sous la forme
Nous supposerons maintenant que Ton attribue k chacune des lettres
p et q les n valeurs consécutives ^^ > • • • > — i , o, -h i , . . . , "^ ■
Considérons le produit des dénominateurs; les nombres 2p donnant pour résidus par rapport à n les n nombres consécutifs —
— I, o, I,..., 5 et la fonction 9 ne changeant pas quand Targu-
ai
ment augmente ou diminue de co, ce produit est égal à
c'est la fonction 0{nz), multipliée par un facteur constant (n® 331). Nous pouvons représenter deux racines quelconques de Téquation
binôme x'' -- i par a — e "", ^ — e~ " , a et b étant deux nombres entiers. La fonction holomorphe
satisfait aux relations La fonction holomorpbe
^^(z)--e • * 2-l-/> va — ]
satisfaisant aux relations
est égale à la fonction 6t{nz), multipliée par un facteur constant (nM50). On en déduit
$(z) = Ac-^^'ô. (nz ~ 6 - - a~V
et, par suite,
Q[nz)
On connaît ainsi les zéros de la fonction doublement périodique R( 2). aux périodes !2gj, co'; ils sont donnés par la formule •
dans laquelle a et 6 sont deux nombres entiers constants, caractérisant les deux racines a et p de l'équation binôme oc" = i, p {^i q deux nombres entiers arbitraires. On déterminera la constante A en faisant
2 = — : on trouve
(6- H- rt — ) \ n n J
379. Considérons maintenant la résolvante R(2, a', /3*"'); d'après la formule (6), on a
les n'^'"" puissances des deux résolvantes R(2, a, |3), R(z, «-', p~*) sont donc des quantités conjuguées M -+- NX'(nz), M — NX'(nz). Pour avoir l'expression de la seconde résolvante, il suffit de changer les signes des nombres entiers a et 6 dans la formule (i4); 1^ constante A
588 LIVRE Vn. - CHAPITRE V.
ne change pas; on en déduit
dilnz — 6 a— )6, (/i«-f-6-4-a — )
R(.,«.P)R(z,«-..i3-)^V-^ 5 'LLA 5 W,
et, par suite, en vertu de la seconde des relations (7) du n^ 329|
(iG) R(z,«,(3)R(^,«-,p-) = /i»[x»(/»^)-X^(6^-+.a^')].
Les radicaux conjugues se ramènent ainsi Tun à l'autre.
En élevant les deux membres de l'équation (16) à la n'^'"^ puissance, on obtient la relation
Si l'on pose M = n"Mo N = n^Ni, p = Xf 6- -f- a — j » cette relation devient
(17) Mî-Nî(i-r)(ï-frr)=(r'-p*)-.
Elle peut faciliter le calcul des polynômes M| et N| en y: le premier, qui est impair et du degré n, renferme coefficients; le second,
qui est pair et du degré « — 3, en renferme 5 ce qui, avec p, fait
/i + i inconnues. L'identification des deux membres donne /i + i équations entre ces inconnues. Mais la constante p est l'une des racines œ^ autre que zéro, de l'équation (i), dans laquelle on fait y = o. Comme k chaque valeur de p^ correspond un couple de polynômes M, et N,, les coefficients pourront s'exprimer rationnellement à l'aide de p^, en tenant compte de l'équation qui détermine cette quantité. On retrouverait d'ailleurs cette équation en éliminant les n coefficients des polynômes M| etN< entre les 72 -f-i équations provenant de l'identification.
Multiplication de la première période par un nombre impair.
380. Dans le Chapitre précédent, nous avons trouvé les expressions de llz, -) wM et do Xlz, w,^) en fonction de X(s, w, w'). Il s'agit
maintenant, connaissant Xlz, -9 ci>M ou Xfz» c3, ^U de trouver
Proposons-nous d*abord, connaissant y = 'klz, -, w'U de trouver X = \{z, w, «'); on a l'équation du n^^'"*' degré (n^ 349)
(18) jr(S^.^x%^0.
Les /i valeurs de l'inconnue sont comprises dans la formule
(ig) x = 'k\^z-h2p''^y
dans laquelle /> reçoit n valeurs entières consécutives. On voit, comme au n^ 372, que Téquation a des racines égales lorsque
la quantité donnée 7 est égale à =b i ou à zL 77* Quand le nombre entier -— est pair, si y = i, l'équation admet la racine simple a; = i, et toutes les autres racines sont doubles; siy = tt» elle admet la racine
a:=i-T9 et toutes les autres racines sont encore doubles. On en conclut k
que les polynômes pairs $ et $« satisfont aux deux identités
(20) $ - & ^(P, = (i - x) G% $ - ^ k, :r (P, =^ (1 - kx) H%
G et H étant des polynômes entiers du degré — ^^j et à celles qu'on en
déduit en remplaçant x par — x. Quand le nombre est impair,
on a les deux identités
(20') (S-^x9, = {i-hx)G\ $ - ^ kiX(S!, = {i -h kx) U\
Pour résoudre l'équation (18), nous nous servirons de la fonction
(•11) A{z,x)= ^ ocPlfzH-p^y
qui» comme la fonction R(z, a» |B)» satisfait aux relations Cette fonction admet les deux périodes 20), co'; mais la fonction
f{z) rr. [^(Z;]",
qui satisfait aux relations
admet les périodes — ) co'; elle a d'ailleurs les mêmes infinis que la
fonction Xfz, -? <u'j9 aux mêmes périodes» chacun au degré n. On a donc
(22) f[z) -t: oïl -4- X)/ (z, ^r 0)'^ ,
OU/ et X étant des polynômes entiers en XU» ^\ (oM 9 le premier impair et du degré n^ le second pair et du degré /i — 3 au plus. On en déduit
(a3) ^(a, a)-- S «.niz -^ P^\ = \/3It + dX,ï.'(s, ^, m') •
A chaque racine a de Téquation binôme 00" — i correspond une équation analogue à la précédente. D'après la formule (18) du n® 354,
l'équation qui se rapporte à la racine a— i a pour second membre ^-X(2, -îw'i' Si l'on ajoute membre à membre ces n équations,
chacun des termes Xlz -hp — U dans le premier membre de l'équation résultante, aura son coelReient nul, excepté le terme X(2), dont le coefficient sera égal a /i, et l'on obtiendra la formule
(.4) M.,«.co')=.f^;>.(./^c.>') ■ ,;^v^'^i^ + 5ï.>/(^,^o/)>
qui renferme n - i radicaux.
La méthode suivie au n^ 376 permet de calculer les polynômes dit et X. Si Ton développe chaque terme, la fonction Si{z) se compose de deux parties, Tune égale à une fraction rationnelle en X(z), l'autre égale au produit de W{z) par une fraction rationnelle en ^{z). Il en sera de même de la fonction f{z)= [éi{z)Y. De la dérivée de
l'expression de Xlz, -^ co'j par une fraction rationnelle en X(j5), on
déduit X'(z) égale au produit de 'k'U, -] par une fraction rationnelle
en X(jzJ; la seconde partie deviendra ainsi égale au produit de \(z, - j par une fraction rationnelle en X(jz), et l'on aura
A, B, G étant des polynômes entiers en X(:;). La fonction /{z) ne changeant pas quand on remplace z par
z 4-/? — > les fractions rationnelles -tt? -p ne changent pas quand on
remplace \{z) par Tune quelconque des valeurs de x données par la formule (19). On prendra, pour chacune de ces fractions, la moyenne arithmétique de ses valeurs quand on y remplace \{z) successivement par lesn racines de Téquation (18); cette moyenne arithmétique, étant une fonction symétrique des racines, s'exprime rationnellement à l'aide des coefQcients de l'équation et, par conséquent, à l'aide de la
quantité donnée y — X (2, ~ j et des deux constantes P et X^ ( ~ ) • On
arrive ainsi à la forme {22).
381. On peut ramener h un seul les n — i radicaux que renferme la formule (24). Désignons par a une racine primitive de l'équation binôme a?" = i et par a'" une racine quelconque. La fonction
satisfaisant aux relations
892 UVRB Vn. - CHAPITRE V.
admet» dans tous les cas, les deux périodes -^\ 0'; cfle a les mêmes
infinis que la fonction Xlz, ^\ oa'jj aux mêmes périodes» chacun au degré n — r 4- i; on a donc
P et Q étant des polynômes entiers en X (z, - ] • Quand r est pair» le
premier polynôme est pair» le second impair; c'est le contraire qui a lieu quand r est impair. Il en résulte que le premier polynôme est du degré /i — r •+- 1 , le second du degré /i — r — 2 au plus. On les calculera comme on a calculé les polynômes 3\l el x. On déduit de là
P + QVUI)
('•7) A(z,an=-j^j^A[Si[z,a)Y.
Les n — I radicaux se ramènent ainsi au radical ^(z» a)» et la formule (24)» après la substitution» ne donne plus que les n valeurs de rinconnue.
