CHAPITRE V

DIVISION DE L*ARGnMENT DANS LES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

372. C*est la question inverse de celle qui a été traitée dans Tavantdernier Chapitre. Nous avons trouvé les expressions deX{nz)^ /^(^')> v{nz) en fonction de X(z), /x(z), v{z). Proposons-nous maintenant, connaissant Tune des quantités X(/iz), /x(nz), v(nz), de trouver X(2), /x(z), v{z). Quand on donne /x(nz) ou v{nz) et que Ton cherche fA(z) ou v{z)f Téquation est du degré n^; si n est pair, elle s'abaisse au degré moitié; mais, quand on donne X(nz) et que Ton cherche X(z), Téquation est du degré n^ si n est impair, du degré 2n^ si n est pair; dans ce dernier cas, l'équation, ne contenant que des puissances paires de l'inconnue, s'abaisse au degré n^.

Lorsque la quantité donnée est prise arbitrairement, les racines de l'équation sont toutes différentes. Supposons que, n étant impair, od donne j = X (nz) et que l'on cherche a? ~ X (z) ; l'inconnue est donnée par une équation du degré n^

(i) rP — ^Pi r^ o,

dans laquelle P et P| désignent des polynômes entiers pairs en x du degré /i*^ — i , et que l'on sait former, par un calcul de proche en proche, d'après la méthode d'Abel (n^ 338), ou, directement, par celle de Jacobi (n® 342). A une valeur de y correspondent les valeurs de nz,

nz +- 2/?û) i- qa'y ntù- -nz -f- ^.pw -4- qtù'y

et, par conséquent, les valeurs de x,

p et q étant deux nombres entiers quelconques; mais les valeurs de x données par cette dernière formule sont égales à celles que fournit la première; on en conclut que les n^ racines de l'équation sont représentées par la formule

dans laquelle chacun des deux nombres p et q reçoit n valeurs entières consécutives. Nous leur attribuerons les valeurs ^^j--)

Pour que deux valeurs de x soient égales» il faut que la somme de leurs arguments 2z -h 2{p -h p*)- 4- (y 4- y')~ soit de la forme

{2m-h i) w -+-/wV, ce qui exige que nz soit de la forme (2/W| -f- 1 ) - 4-m'j —

et, par conséquent, que y soit égal à ±: i ou à ±17:*

Pour voir ce que deviennent les racines, nous distinguerons deux cas, suivant que le nombre entier • ■""' est pair ou impair. Dans le premier cas, lorsque j = i , l'une des valeurs de nz est

0) n — I /lû) ., , 0)

— I 0)=: — j a ou 2 = ->

et, par suite,

\2 ^ /i nj

la combinaison/? = 0, q = o donne la racine simple x .= 1; deux va-

leurs égales et de signes contraires de la quantité a/> — H y — donnant

la même valeur de x^ toutes les autres racines sont doubles : on en conclut que le polynôme P — a?P| est égal au produit de i — a? par un

polynôme carré parfait. Lorsque 7 = ji Tune des valeurs de nz est de la forme

1 (û) -t- w')— -î^ -y dou z=

578 UVRB VU. - CHAPITRE V.

et, par suite,

la combinaison/? = o, y == o donne la racine simple ^ = jiS toutes les

autres racines sont doubles : on en conclut que le pol^^nôme P — kxV^ est égal au produit de \ — kx par un polynôme carré parfait.Nous remarquons que si, dans l'équation (i), on remplace^ par —y, les racines de la seconde équation sont égales à celles de la première et de signes contraires. Les cas où la quantité donnée y est égale à — i ou

à — V se ramènent ainsi aux précédents. Il en résulte que les deux

polynômes pairs P et P, satisfont aux deux identités

(3) p:pP,=:(,^)g;, P-A-xP, = (i-A-;tr)Hî,

G| et H| étant des polynômes entiers en x du degré > et à celles

qu'on en déduit en remplaçant x par — x. Lorsque le nombre "^ est impair, on a les deux identités

(3') P-:rP.rrz(i -^^)G^ P- A-jtP, = (i -t- A-^)H;.

La considération des équations qui donnent ii{z) ou v(x;), quand on connaît [L[nz) ou v{nz)y conduit à des résultats analogues. La première admet des racines égales, lorsque la quantité donnée i^[nz) est

égale à Lî:: I ou à lii -4-> la seconde, lorsque la quantité donnée v{nz]

est égale à ±: i ou à ±:k' . On en déduit les identités

(4 ) P - ^aP, r ( , - |^)G;. , //P ~ //r/xP, = (/.-'- i/*>)Hî ,

(5) p vP,-z.(i-v)G3, A-'P-vP,---=(A-'-v)Hî,

quel que soit le nombre impair /i. D'après une remarque faite au n^ 338, les secondes des relations (3) et ('3') se déduisent des premières, et les

relations (5) des relations (/|), en remplaçant k par r et :; par kz.

Division par deux.

373. Connaissant X ^ \[k\[oLz), cherchons :r ~ v'ÂX(s). La formule

conduit à Téqualion du huitième degré c'est une équation réciproque

que Ton peut résoudre par des racines carrées. On en tire

^ ! __ 2(1 H- v/r^^^^^'"-4ÔC^) 2(14- AX) ^ '^ x^"' X' "■" X' " '

Av r / v7- "Avx (' -^ v/i-/rX») { I -h i/ I - 7 XM

, i-l-AX-h v/2{i — aX'H- AX) ^ \ V k )

les trois radicaux étant indépendants les uns des autres, cette formule donne huit valeurs différentes.

Il est facile de reconnaître a/>nbn que les racines sont réciproques deux à deux; car elles sont représentées par les deux formules

-- V^A (z -i-pw -4- g— j 9 a: — ^Xf z 4-/?(k)-f- q — \

dont la première donne les quatre valeurs ±- \Jk\ [z), ±1 \[k\ (^ -*- -- \

580 LIVRE Vn. - CHAPITRE V.

réciproques deux à deux, la seconde les quatre valeurs ± v^X ( - — s j ^ ± yJkXy- — 5 -f — U qui sont aussi réciproques deux à deux.

Résolution de l'équation d'oà dépend la division de V argument

par un nombre impair.

374. On effectuera la division de Targument par un nombre impair quelconque, en le divisant successivement par les facteurs premiers de ce nombre. Nous venons d'effectuer la division par deux; il nous reste à voir comment s'opère la division par un nombre premier plus grand que deux. Nous supposerons plus généralement que le diviseur n est un nombre impair quelconque. Abel a démontré que l'on peut exprimer algébriquement les racines de l'équation (i), qui est du degré n', au moyen des quantités k et j, qui entrent dans cette équation, des racines

de l'équation binôme a/' = i , et des deux quantités ^(--)» ^{"")*

Nous ferons d'abord remarquer que, quand n est impair, les quantités Xf/?- j5 jx (/>-)» ^\Pi peuvent s'exprimer rationnellement à

l'aide de Xf-] et du module ^, quel que soit le nombre entier/^. Il

résulte, en effet, des formules (i4) du n^ 332 et du calcul des polynômes P par la méthode d'Al)el (n° 338), que ces quantités sont

des fonctions rationnelles de P et de Xf-j» f^(~r ^(~r ^'^'^ '^ deuxième de ces formules (i/j) indique que la quantité /xf/i-V c'est-àdire — [, est égale au produit de /xf -| par une fraction rationnelle en

)} (-- j 5 on en déduit l'expression de /xf - ) par une fraction rationnelle

en XM - j • La troisième donne pareillement l'expression de v( -) par

une fraction rationnelle en X-( - j • Ainsi les (juantités |j.f /> - U v (/>-)

sont des fonctions rationnelles de k^ et de X^ ( - ) -, la quantité ^ (/^ - )

DIVISION DE L'ARGUMENT. tSSi

est égale au produit de X( - j par une fonction rationnelle de k^ et de

Ht)- , ° ^, ^, ■

On verrait, delà même manière, que les quantités Xfy-- J? /^(y — )»

vf^^ — j s'expriment rationnellement à l'aide de ^^ et de Xf — j > quel

que soit le nombre entier q.

Les formules (i) du n'^ 318, relatives à l'addition des arguments, montrent ensuite que les trois quantités X(/>- 4 y —)» l^ip- -^- ^ ~-)'

y(p- -^ Ç^j s'expriment rationnellement à l'aide de k^ et des deux quantités X(-j> X( — J-

375. Soient a et ^ deux racines, différentes ou non, de l'équation binôme af = 1. Considérons l'expression

\(z) -+-a>(zH j-h . . .-ha"-'> j z+ (/2~i) — I

que nous représenterons par

(6) R(z,a,P)= ^ ^ «Pj3»x(z + ;,^ + gH.'j

qz=o p = o

Remarquons d'abord que cette expression conserve la même valeur, quand p et g désignent n nombres entiers consécutifs quelconques; car, lorsqu'on augmente p d'une unité, les termes d'une même ligne horizontale se permutent circulairement; de même, lorsqu'on augmente q d'une unité, les termes d'une même colonne verticale se permutent circulairement.

Remplacer s par js -f — et multiplier tous les termes par a revient

à augmenter/? d'une unité; de même, remplacer z par z -\ — et multiplier tous les termes par /3 revient à augmenter q d'une unité; on a donc

Gomme on a d'ailleurs R(2 -f- w) =. - R(^)f on en déduit

et par suite

Les valeurs de :; qui rendent infinie la fonction R (:;) sont celles qui rendent infini l'un de ses termes et qui, par conséquent, satisfont h la relation

d'où

-ir-{np' 2/;)m :(//(/'- ^ -h jo/.

On peut déterminer les deux nombres entiers/? et q plus petits que n et les deux nombres entiers /?' et q\ de manière que les deux coeffîcienls

/?//— 9.p, nq' — q ! soient égaux a des nombres entiers quelconques. Il est d'ailleurs facile de reconnaître que deux termes ne peuvent devenir infinis a la fois. On en conclut que la fonction R(s) admet les mêmes infinis que la fonction X(7is), chacun au premier degré.

La fonction R(-) admet les périodes 2w, 'ù\ mais la fonction

qui satisfait aux relations

admet les deux périodes — , ^; elle a d'ailleurs les mêmes infinis que

la fonction 'k{nz)f aux mêmes périodes, chacun au degré n. En vertu du théorème de M. Liouville (n^ 161), elle s'exprime rationnellement à Taide de la fonction X(/iz) et de sa dérivée; comme elle ne devient infinie pour aucune valeur finie de X(n2), le dénominateur est constant, et l'on a

(8) /(2)=:M-»-NX'(/lZ),

M et N étant des polynômes entiers en\{nz); à cause de la relation /Iz H- - j = — /(^)> le polynôme M est impair et du degré n, le polynôme N pair et du degré n — 3 au plus. On en déduit

(9). R(z,a,P)= ^ ^ »f^il{z+p^-i-q^\:=;^M + m'(nz).

q=o p=zo

A chaque combinaison de deux racines a et ]3, différentes ou non, de l'équation binôme af = \, correspond une équation analogue à la précédente. Remarquons que, d'après la formule (19) du n^ 355, l'équation qui se rapporte à la combinaison a = ^ = 1 a son second membre égal à n\[nz). Si l'on ajoute ces n^ équations membre à membre,

chacun des termes X (z -+-/>— -f-y — j du premier membre, dans l'équation résultante, aura son coefficient nul, à l'exception du terme X(z), dont le coefficient sera égal à /i^, et l'on obtiendra la formule

. (10) x(2)==lx(/i2) + i^5^MTM>^l,

qui renferme n^ — i radicaux.

376. Voici comment on peut calculer ces deux polynômes M et N.

584 LIVRE Vn. - CHAPITRE V.

Si l'on développe chacun des termes de la fonction R(z) par la formule

le multiplicateur^ étant supposé égal à l'unité» la fonction R(2) se composera de deux parties, l'une égale à une fraction rationnelle en X{z), l'autre égale au produit de V(2) par une fraciion rationnelle en X(z). Il en sera de même de la fonction /(z) ou [^(-5)]". Si Ton prend la dérivée de l'expression de'k{nz) par une fraction rationnelle enX(z) (n° 332), la valeur de V{nz) sera égale au produit deX'(j5) par une fraction rationnelle en X(2); on en déduit la valeur de X'(z) égale au produit de X'(nz) par une fraction rationnelle en X(z); la seconde partie deviendra ainsi égale au produit de \'{nz) par une fraction rationnelle en X(z), et Ton aura

A, B, C étant des polynômes entiers en X(z). La fonction /{z) ne changeant pas quand on remplace z par

r'ï rV A 11

5 -h 2/> - 4- 5^ — > les fractions rationnelles p» ^r ne changent pas quand

on y remplace \[z) par Tune quelconque des valeurs de x données par la formule (2), c'est-a-dire par Tune quelconque des racines de l'équation (i). On prendra, pour chacune de ces fractions, la moyenne arithmétique de ses valeurs, lorsqu'on y remplace X(s) successivement par les rî^ racines de l'équaiion (i); cette moyenne arithmétique, étant une fonction symétrique des racines, s'exprimera rationnellement à l'aide des coelRcients de l'équation (i) et, par conséquent, à l'aide de k^ de la quantité donnée 7 = \[nz). On arrivera ainsi à la forme (8).

L'expression trouvée de la sorte renferme, en outre, rationnellement les constantes X(a), fi. (a), v(a), a désignant les diverses quantités

ip- -\- q*—\ mais ces constantes, d'après la remarque faite au n® 374,

s'expriment rationnellement à l'aide de h} et des deux quantités X( - j» X( — j- On en conclut que les deux polynômes 31 et N, entiers par

rapport à X(/iz), renferment» en outre» rationnellement les trois constantes P, x(^V x(^).

377. La formule (lo), qui donne les valeurs de l'inconnue» renferme n^ — 1 radicaux; mais on peut les ramener à deux d'entre eux. Si Ton suppose que a et ]3 soient deux racines primitives de l'équation binôme x" = i» deux racines quelconques de cette équation pourront être représentées par a'' et j3', r et 5 étant deux nombres entiers variant de o à n — I . La fonction

(II). F(2) = [R(3,a,i)]«-[R(2, i,p]— R(^,aSp'),

qui satisfait aux relations

admet» dans tous les cas» les deux périodes — \ ^^ elle a les mêmes

infinis que la fonction X(nz)» aux mêmes périodes» chacun au degré an — r— 5 -h i; on a donc

(12) F(z)^P^QX'(/iz),

P et Q étant des polynômes entiers en \{nz). Quand le nombre r+ y est pair» le premier polynôme est impair» le second pair. Quand r -{- s est impair» le premier est pair, le second impair. Le premier polynôme est donc du degré 2/1 — r — ^ + i» le second du degré an — r— ^ — a au plus. On les calculera comme on a calculé les polynômes M et N dans le numéro précédent.

Des équations (11) et (12) on déduit

Le premier facteur du second membre est une fraction rationnelle en X(/iz) etX'(nz); de cette manière» tous les radicaux se ramènent aux

586 LIVRE Vn. - CHAPITRE V.

deux seuls radicaux R(z, a, i), R(2, i» j3), et la formule (lo), après la substitution, ne donne plus que les n^ valeurs de rinconnue.