La résolvante peut être mise sous la forme
Concevons que Ton réduise les fractions au même dénominateur, et
prenons pour dénominateur commun ôlz, a>, — j*, le numérateur, ou la fonction holomorphe
satisfaisant aux relations
si l'on pose /3 = e" ^ , est égal à la fonction GAz — b-'» w, — ) multipliée par un facteur constant. On a donc
0,(2 — 6-1 0), — ) ,Ar-,'^'('2 — 6-» M, — )
(39) ^(z,P) = ift,-^— -^^'-.-e.e .' —L- 7;rv— -•
ri) 0)
On connaît les zéros z zz= b - \- pci) -\- q - de la fonction Si{z, ^3). En
faisant z = — 9 on trouve
La résolvante c'Jl(z, |3~*) étant égale a — c^( - :;, /3), les n"^"""^ puissances des deux résolvantes êi{z, ^), âi{z, /5 ') sont des quantités
conjuguées OîL'-r — in^'X'fz, ~ J» art' — — x'XMz, — j- On a d'ailleurs
et les radicaux conjugués se ramënenl Tun à Tautre. Si Ton pose
DtL'= (^y^'i* -^'= v^j^'^' P^"^v7i^^'l[)' ^i^ obtient la relation
analogue à la relation (3i), et qui pourra servir dans le calcul des coefficients des polynômes oïl' et X' à Taide de la constante p^f que Ton regardera comme connue. A chs^que valeur de p2 correspond un couple de polynômes.
Les trois relations (17), (3i) et (4^) ont la même forme; chacune d'elles renferme le module de la fonction donnée; elles difiërent par la signification de la constante p.
385. Remarque. — Nous avons traité le problème de la division de Targument par un nombre impair /i, en résolvant une équation du degré n'. On peut traiter la même question en résolvant successivement
deux équations du degré n. On donne j' = X(njz, w, (ù') = llz, -^^);
cherchons d'abord / = X f z, -? gjM ; c'est la multiplication de la seconde période par n (n^ 383). On a à résoudre l'équation du n*^'^^ degré
ng
F'n['-.Tç;fc)]-n[.-^-(.ï-I-»-)]=«-
La formule (37) devient
(43) l:^l!L{y+2 yOK,', -4- Jt'. A/). .
598 UVRB Vn. - ŒÂPITRE Y.
Les polynômes dtC^ et s((i>\ en y satisfont à la relation
(44) ^7- 7t-(i ~jr>)(i - k^r') -^(r-pî)%
Connaissant / = X( z, -^ eoM 9 on cherchera ensuite j? = X (z, o), a»') ;
c'est la multiplication de la première période (n® 380). On a k résoudre une seconde équation du nf""^ degré
La formule (a4) devient
(45) :r -^ 1^ (/ -f- 2 v^Ort. -4-^,.A0.
Les polynômes aiti et ^4 en / satisfont à la relation
(46) nlLî-x;(I-0(l-A•î/') = (/»-pî^
où /9, = X (a— 9 -1 wM 5 cette dernière constante est une fraction rationnelle de \(a-'> «, w'J • D'après les formules du n® 349, les deux constantes A| et ^ sont des fonctions rationnelles de X( ~) • Ainsi toutes les constantes qui entrent dans ces calculs s'expriment rationnellement au moyen du module donnée- et des deux constantes X(-)ïX(~):
ceci est bien d'accord avec ce que nous avons dit au n** 376.
Appliquons cette méthode au cas où n =3 3. Les deux formules (43) et (45) renferment chacune deux radicaux conjugués, qui se ramènent immédiatement l'un à l'autre, en vertu des relations (3o) et (4i); on a donc
Le calcul des polynômes n'offre aucune difficulté. L^îdenlification des deux membres de l'équation (44) ou (46) donne
JT,'. ^ PU D\L\ --^r^ -+- ipiiky, - 3)/,
On peut supposer a =1-- 6 = 1, d'où p^ = ^(|)» Pi ==^(y' |)'
Calcul de X
386. Les formules précédentes renferment rationnellement le module k et les constatâtes X' |~ ji X- (^) -, ces dernières quantités sont
deux des racines de l'équation P, ==0, à laquelle se réduit l'équation (i), quand on y faity = o, et qu'après avoir supprimé la solution a? = o on regarde x^ comme l'inconnue. Nous savons former le
polynôme pair P| du degré — ^^^ par rapport à x- ; les coefficients sont
des polynômes entiers en P, qui ont eux-mêmes pour coefficients des nombres entiers. Nous nous bornerons, dans l'élude de cette équation, au cas où le nombre impair n est premier et nous poserons n = a/n + i . Nous supposerons en outre le multiplicateur g égal à l'unité.
Les racines de l'équation F, = o, qui est du degré m{n 4- i), sont
représentées par la formule x- = \^[p--\- q^h dans laquelle/? et q
désignent deux nombres entiers quelconques. On peut remplacer les nombres p et q par leurs résidus relatifs au diviseur n, et prendre ces résidus positifs ou négatifs, de manière que leurs valeurs absolues soient inférieures ou égales km; d'ailleurs on peut supposer l'un d'eux positif. Nous obtiendrons donc toutes les racines en combinant avec ^ = 0 les m valeurs positives 1, 2,..., m de p, et avec les m valeurs positives if 2,..,, mde q les n valeurs consécutives o, db i ±2,.. . , ±m
de p. Les m premières racines sont comprises dans la formule X^f/?—) • Les mn suivantes peuvent être représentées par la formule X- ( q ^L±^^\ ,
tiOO UVRE Vn. - CHAPITRE V.
clans laquelle t reçoit n valeurs entières consécutives; car les n multiples consécutifs du nombre 2q premier avec n donnent pour résidus par rapport à n les n nombres o, d= i, dz a,..., dbm; de cette manière, nous disposerons les m(n 4- 1) racines en n + 1 suites, comprenant chacune m racines. Les racines de la première suite sont données
par la formule X' (/'")> ^^^^ laquelle p varie de i km; celles d'une
autre suite par la formule X^ Ip - — ^-- ) t dans laquelle l est un nombre constant et p varie de i à /n. Désignons, en général, par f Tune des /i-h I quantités -> ^5 les m racines d'une suite quelconque seront
(47) ^'(0. X>(2e), XH3e),..., l'{mt).
Remarquons que, si Ton remplace £ par a£, a étant un nombre entier premier avec n, ces m racines se reproduisent dans un autre ordre.
387. Cela posé, appelons Ç une fonction symétrique et rationnelle des m quantités de la suite (47)f <^t concevons que dans cette fonction on remplace les quantités X'( a e), X'(3e), ..., X' (me) parleurs expressions rationnelles à l'aide de k^ et de X^(e], d'après les formules relatives à la multiplication de l'argument, § sera une fonction rationnelle de i^ et de X^(s), que nous désignerons par F[X^(£)]. Supposons que, dans l'expression de la fonction §, on remplace e par ac, a étant un nombre entier, positif, inférieur ou égal h m; comme nous venons de le remarquer, les m quantités de la suite (47) se permutent, et, par conséquent, la fonction symétrique Ç de ces/71 quantités conserve la même valeur; on aura donc
Ainsi, la fonction F (a;') jouit de celte propriété de conserver la même valeur, quand on y remplace x^ par Tune quelconque des m racines d'une même suite. La fonction ^ est donc égale à la moyenne arithmétique des valeurs de la fonction F, portant successivement sur les m racines de la suite, et l'on a
La quantité £ ayant n + i valeurs diflerentes» la fonction \ a ellemême n + I valeurs différentes, une pour chaque suite. La somme de
ces n -h I valeurs de |, savoir — 22F(a7^), est une fonction symétrique
et rationnelle des Tn{n h- i) racines de l'équation P, = o; elle s'exprimera donc rationnellement au moyen des coefficients de cette équation, c'est-k-dire au moyen de A^.
Toute autre fonction symétrique et rationnelle des m quantités de la suite (47) jouira des mêmes propriétés; elle aura n + 1 valeurs, dont la somme s'exprimera rationnellement au moyen de A:^ Telles sont les
fonctions ^^,^\ On en conclut que les coefficients A,,Ao....,
A„+, de l'équation
(48) g"^' -+- A.Ç" -4- A.^" - -h ,. . . , -h A„^. rrr O,
du degré n + i, qui admet pour racines les n + i valeurs de |, sont des fonctions rationnelles de K^.
Une autre fonction symétrique et rationnelle 19 des quantités de la suite (47) satisfera k une équation analogue à la précédente ; mais, comme a chaque système de valeurs de k^ et de Ç correspond une seule valeur de ifj, on conclut, d'après un raisonnement parçil a celui du n^ 182, que )} s'exprimera rationnellement au moyen de k^ et de ^.
388. Considérons maintenant l'équation (49) w" - B, le- ' 4- B,tt'" ' — ,..., zt B« — o
du degré m, dont les racines sont les m quantités de la suite (47)- D'après ce que nous venons de dire, les coefficients B*, Bo,..., B,„ de l'équation, étant des fonctions symétriques et rationnelles de ces quantités, s'expriment rationnellement au moyen de k^ et de ^.
Cette dernière équation peut être résolue par la méthode d'Abel. Appelons, en effet, a une racine de l'équation binôme a?'" = i,etr un nombre entier, inférieur a n, et qui soit racine primitive de ce nombre premier n. Puisque i"'^ ou r^"' donne le résidu 1 par rapport au diviseur n, r"* donnera le résidu — i ; il en résulte que les puissances /^, r*, r-,..., r"'-' donnent pour résidus les m premiers nombres
CM IJVRB Vn, - CHAPITRE V.
ly 2,..., m, affectés chacun de Tun des signes + ou — ; d*aprës cela» les m quantités de la suite (47) seront représentées par la formule x^ =:X'(r'£), dans laquelle on attribue à Texposant s les m valeurs
O, I, SfM ^ — ï-
La fonction
(5o) ^ ^(£,a)= y a'V{iH)
satisfaisant a la relation
la fonction /(e) = [^(s)]"" satisfait à la relation
/(re)=/(e).
Si Ton remplace les quantités X^(r'6) par leurs expressions rationnelles au moyen de k^ et de X^(€), comme nous avons fait précédemment, la fonction ^(s) deviendra une fonction rationnelle de iP et de X'(e}: il en sera de même de la fonction /(e); nous désignerons cette dernière fonction, ainsi transformée, par i|;[X'{6)]. A cause de la relation/(r' s) =/(£), la fonction ^ conserve la même valeur quand on y remplace la racine X^(e) par une autre racine quelconque X^(r'6) de la suite (47)- La fonction/(e) est donc égale à la moyenne arithmétique des valeurs de la fonction ^ portant successivement sur les m racines de la suite, et Ton a
Le second membre, étant une fonction symétrique des racines de Téquation (49)» s'exprimera rationnellement au moyen des coefficients de cette équation : ce sera donc une fonction rationnelle M de P et de ^. On en déduit
.Ç:=ii
A chaque racine de Téqualion binôme x^" = i correspond une équa-
tion analogue à la précédente. Le second membre de l'équation qui se rapporte à la racine ol^i est égal à la somme des racines de Téquation (49)» c'est-à-dire à B,. En ajoutant membre à membre les m équations ainsi obtenues» on arrive à la formule
(52) ii:.a:'^XMe):^~(B, -hi^M),
qui renferme m — i radicaux.
On ramène ces radicaux à un seul en observant que, si a est une racine primitive de Téquation binôme af^ = 1, l'expression
est une fonction symétrique des racines de l'équation (49) et, par conséquent, une fonction rationnelle de k^ et de Ç.
Ainsi, la résolution de l'équation P, = o du degré /7î(/i -f- 1), par rapport a l'inconnue o?^, est ramenée a la résolution d'une équation (48) du degré n + i par rapport à une inconnue auxiliaire Ç, de telle sorte que les valeurs de x^ s'expriment par des radicaux à l'aide des n -h I valeurs de ^.
389. Etant donnée une fonction elliptique X(z, k)^ dont le multiplicateur est égal à l'unité, nous avons vu (n'' 363) que la division par un nombre impair et premier n de l'une quelconque des périodes définies par les relations (40 du n^ 360 donne n + i fonctions différentes, savoir: la fonction Xfz, ~> u j et les n fonctions X(z, w, - — ^-^j» t recevant n valeurs entières consécutives. Si l'on désigne, comme précédemment, par £ l'une des /i-hi quantités -> — ~- > on déterminera le module ^1 et le multiplicateur g^ de ces diverses fonctions par les formules
établies aux n°' 349 et 351. Le carré k\ du module ^,, étant une foncée.
604 UVRE Vil. - CHAPITRE V.
tion symétrique et rationnelle des m quantités de la suite {^'j) ei ayant n -^ I valeurs, satisfait a une équation du degré n -h i» dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de k^. On pourra s'en servir comme d'une inconnue auxiliaire pour résoudre l'équation (49)- I^e multiplicateur g^ , qui est aussi égal à une fonction symétrique et rationnelle des quantités de la suite (47)* s'exprimera rationnellement au moyen de k- et AJ. Les polynômes ï et $<, (P'etî^j, entiers par rapport à la fonction donnée \{z, k)^ et à l'aide desquels on obtient les
fonctions X(jz, -"-? «'j? X(z, o), - — ^-^j» ont pour coefGcients des
fonctions symétriques et rationnelles des mêmes quantités; ces coeffi* rients s'exprimeront rationnellement an moyen de k^ et k'j.
