CHAPITRE PREMIER
FORMULES DE TR A NSFORM ATJ OI«.
390. Dans le Chapitre I du Livre VI, nous nous sommes proposé, étant donné un polynôme Y du quatrième degré eny^ de trouver une
fonction rationnelle j^ de x^ telle que Texpression différentielle - ir se
transforme en une autre —-9 X étant un polynôme du quatrième degré
en Xf et nous avons examiné spécialement les transformations qui donnent au nouveau polynôme X la forme canonique (i — x-) (i — k^x^). Supposons maintenant que les polynômes X et Y aient tous deux la forme canonique, et considérons Téquation différentielle
Si Ton y joint la condition initiale y = yo pour x =^ 09 cette équation définit une fonction y de x. On donne le module k; lorsque les deux quantités g^ et k^ sont prises arbitrairement, la fonction/ de x est, en général, transcendante. Âbel s'est proposé de rechercher dans quels cas j^ est une fonction algébrique de x, et de la déterminer {Œuvres complètes) .
606 LIVRE VUI. - CHAPITRB I.
Désignons, pour abréger, par à^ le second radical, par A,^ le premier, et posons
d'où
nous aurons
(2) x—llzyiyk), r—Mz-]-a,gi,kt),
Soit {2cùf cù') un couple de périodes elliptiques de la fonction x, dont le module est k et le multiplicateur égal à Tunité, (26^1, o'J un couple de périodes elliptiques de la fonction y, dont le module est i^ et le multiplicateur ^f. A une valeur de x correspondent les deux séries de valeurs de z représentées par les formules z -4- 2m « -h /n'o)', cù — z-^ 2/n&) 4- m'cù\ où m et m! sont des nombres entiers quelconques; pour qu*à ces valeurs correspondent un nombre fini de valeurs dey, ii est nécessaire que certains multiples de 2^1; et de a>' soient respectivement égaux à des sommes de multiples de 2^1 et de a)'|, et, par conséquent, que les réseaux construits sur les deux couples de périodes aient un réseau de sommets communs (n^ 175). On doit donc avoir entre ces deux couples de périodes des relations de la forme
au -j 2rta) -1- b(ô' --- 2a, ck)i -i- 6i w', , H' :-- 2 a' a) -f- b'oV -- 2a\ o), H- //,a/, ,
a, by, . , étant des nombres entiers, et :^lî, Q' les périodes d'un réseau formé de tous les sommets communs. Nous avons vu (n** 177) que, réciproquement, lorsque ces conditions sont remplies, les variables j? ai y sont liées par une équation algébrique du degré p^N, par rapport à X et du degré 2N par rapport à y, N et N, étant les déterminants - [ab' — ba')^ ± (a, b\ — i, aj. Les coefficients de i dans les deux
rapports —5 ~- étant positifs, les deux déterminants ont le même
signe; on peut les supposer positifs.
Nous avons démontré (n^ 176) que, lorsque deux réseaux (2co, w'^\
(a(k)|, r»i\) admetteni un réseau de 'sommets communs, il existe un réseau (26, £') auquel appartiennent tous les sommets des deux réseaux proposés, de sorte que Ton a
i(ù - 7,pz \-qe', 2w, -r 2|>, e -f- Çiê', w' ■—. 'kp't -H q'z y (ù\ =^ 2/>', € -f q\ e',
PfÇ,... étant des nombres entiers, et, quand la maille de ce réseau (2s, $') est la plus grande possible, les déterminants pq' — qp\ p^q^ ~ q^p^ sont égaux respectivement à N| et à N. En vertu du théorème du n" 179,
la relation qui existe entre les deux fonctions paires X f - 4- 2, e, £') >
Xf- -I- z, 0), w'j est du premier degré par rapport à la première et du
degré N| par rapport à la seconde; il en résulte que la fonction
u = Xr "" " 4-5,6, é'j est égale à une fraction rationnelle du degré N,
par rapport à la fonction œ = 'k{z, «, «'). De même, la fonction
V = \(ill^ |- 5; u a, 6, e'j est égale à une fraction rationnelle du
degré N par rapport a la fonction y= X{z 4- a, w,, w'J. Désignons par ki et g^ le module et le multiplicateur de la fonction X(z, £, e") ; si
1 on pose Ç = '4- z, a :r:= h a, on a
M -nX(Ç, £,€'), C:^X(Ç H- «',£,£'),
d'où
,-, i/A,/i4-/iA,w
en appelant Ma constante X(a', £, £'). Telle est la forme sous laquelle on peut mettre la relation algébrique qui existe entre x et y; le premier membre est une fonction rationnelle dey, le second membre une fonction rationnelle de x et d'un radical carré^ portant sur un polynôme entier en x. Le problème d'Abel revient ainsi a la recherche des fonctions rationnelles u de a: et (^ de y, satisfaisant aux équations différentielles
du dx dv __ dy
^aAiM Aar 8\^^^ ffi^'jr
608 LIVRE Vni. ~ CHAPITRE I.
Dans la première équation, on donne k^ et il faut déterminer ^9, k^ et la fonction u de a? ; dans la seconde, g^ et k^ étant connus, il faut déterminer ^,, ^1 et la fonction v de 7.
391. Ordinairement, on donne le nom de transformation à la résoTution de cette question particulière : trouver une fonction rationnelle jk de œ qui satisfasse ^ Téquation différentielle
dans laquelle le module k est connu, et les deux constantes g^ et k^ inconnues. Jacobi a donné, en même temps qu*Abel, la solution de ce problème ( Fundamenta nova) .
En désignant par a une constante, nous avons vu que œ ei y sont des fonctions elliptiques d'une même variable auxiliaire z,
(2) x.-X(-ï, i,/i), r=^(«-+-«»ff«>*'t),
et nous avons appelé (20^, a>') un couple de périodes elliptiques de la première, (aa>i, iù\) un couple de périodes elliptiques de la seconde. Pour que Téquation entre xety soit du premier degré par rapport à y, il est nécessaire, d*abord, que le nombre N soit égal k i et, p;ir conséquent, que les deux réseaux (ao, a>'), (2Û, Ù') coïncident; on doit donc avoir
A une valeur de x correspondent deux valeurs z et w — z de la variable :;; il faut que les deux valeurs correspondantes de y^ savoir :
X(-8 -f- a, 0),, &)',), A [w -f- 2a — (2 -4- a), Wi, &/,],
soient égales, ce qui exige que la constante a soit de la forme
(5) a--- - (rt -- i) 6-/ 4-Pw, -+- flf -»
;? et 9 étant des nombres entiers.. Quand ces conditions sont remplies,
y est égal ^ une fonction rationnelle de x\ le déterminant positif n = ah' ^ ha' indique le degré des polynômes entiers qui composent la fraction, ou du moins le degré de celui des deux polynômes qui est du degré le plus élevé; c'est ce qu'on appelle le degré de la transformation.
392. Nous ferons d'abord quelques remarques qui abrégeront la discussion :
i^ L'équation différentielle renferme les modules k et k^ seulement au carré; par conséquent, si, dans une solution du problème de la transformation, on remplace^ par — k ou k^ par — ^i, on obtient une autre solution de la même équation différentielle.
2^ L'équation différentielle ne change pas quand on y remplace x par — a? ou ^ par — j, et en même temps g^ par — gn le module A-, restant le même. Elle ne change pas non plus lorsqu'on remplace x
par 77- ou y par t— » et g^ par ±5^1, le module k^ restant encore le
même. Si donc on opère l'une de ces substitutions dans une des solutions du problème de la transformation, on aura une autre solution de la même équation différentielle.
3^ Les diverses valeurs du module cherché k^, qui, dans les transformations du même degré, correspondent à une même valeur de k, sont réciproques deux à deux; car, si une fonction rationnelle j^ de x satisfait à l'équation (1), la fonction j'= ^,7 du même degré satisfait à l'équation différentielle de même forme
dans laquelle le nouveau module est r- et le nouveau multiplicateur g^k^\ c'est une autre solution du problème de la transformation. De même, si Ton pose x = -r^ l'équation (1) devient
dy dx'
f s/c--.t')ï«-À-îr'") y/(,-x'.)^, i.^'.)
610 LIVRE Vm. - CHÀPITRB I.
D*aprës cela, si Ton considère les transformations relatives aux équations (r) et (7), dans lesquelles le module donné a des valeurs réciproques, les valeurs du module cherché ^, seront les mêmes; mais il est clair que, si, dans les solutions de la première équation, on remplace
simplement k par -p on obtient celles de la seconde; comme on revient
de celle-ci à la première en remplaçant x' par kx^ il en résulte que,
si, dans une solution de l'équation (1), on remplace i( par 7 et j? par ilj:,
on obtient une autre solution de la même équation.
393. Nous distinguerons plusieurs cas dans le problème de la transformation, suivant que les nombres entiers a et i^ sont pairs ou impairs.
Premier cas : a impair, b pair. — Les valeurs de a sont de la forme
/î'co, -^ ^ — -, elles se réduisent aux quatre valeurs o, w,, — > «, -h — ;
les deux premières donnent des fonctions y égales et de signes con-
traires, et de même les deux dernières; aux deux valeurs a = o, a= -^
correspondent des fonctions qui se déduisent l'une de Tautre par la
substitution tt-' le module k^ restant le même; on pourra donc se
borner à l'hypothèse a = o. Quand on aura trouvé les transformations qui s'y rapportent, on en déduira les autres par les substitutions —y
et d
Deuxième g^s : a pair, b impair. — Les valeurs de a sont de la
forme [ip'-^i]— h ['iq' -^ O't^» ®''^^ s® réduisent aux quatre va-
leurs =h ~ zh -^; il suffira de chercher les transformations fournies
par l'hypothèse a = — -f- V? les autres s'en déduiront par les substitutions ~7, -^• Troisième c\s : a et 6 impairs. ^ Les valeurs de a sont de la forme
/?'«, -h (^^r'-f- 1) '^j il suffira de considérer l'hypothèse a==-j-' Mais
nous remarquons que ce troisième cas donue les mêmes transformations que le précédent; car, si Ton met les relations (4) sous la forme 2(ù = 2{a — 6)a), -*- 6(201 -h o'j), «'= î2(a'— i')0| -h 6'(2a), -f- w'J, le nouvau. coefficient a— b devient pair; les fonctions de transformation X(z, w,, w'j), X(j5, (V)|, 2w, -h (ù\) sont égales et ont des modules é^aux et de signes contraires.
Quatrième cas : a et b pairs. — Les valeurs de a sont de la forme i^p'-h ï)-^ -h q' — \ elles se réduisent aux quatre valeurs lL ~>
± ~ H — !•• 11 suffira de considérer Thypothëse a = —
Transformations du premier degré.
394. Nous nous occuperons d*abord des transformations du premier degré, ce qui revient à supposer ab'— ba'= i. Le quatrième cas ne se présentant pas et le troisième rentrant dans le deuxième, il suffit d'examiner les deux premiers.
Premier cas : a impair, b pair, a = o. — Le nombre b' est impair. Soient a = 2a, -hi, 6 = 26,, b'= ^b\ ^ i; les relations (4) deviennent
(ù = {2at -h i)wi ■+■ 6i «',, «'= ?a'wi +(26', ■+■ i)w',.
Les deux fonctions j = X(5j, w,, w'J, a? = X(z, w, w'), ayant les mêmes zéros et les mêmes infinis, sont dans un rapport constant.
i® 6, = 262- — En faisant jz — -> on trouve que ce rapport est égal
k liz 1; en faisant z = ^^—^ on trouve A, = dz A; on a ainsi la première transformation
{a) kx^k, gv — i, r — x,
k laquelle nous joindrons celle que Ton en déduit par la substitution
— /, savoir : A, = ^, ^, = — i , j= — a?. La substitution -, — donne la transformation corrélative
612 UVRE Vm. - CHAPITRE I.
à laquelle nous joindrons de même celle qui s'en déduit par la substitution — j, savoir: A, = A, ^, = db i, y = — tt--
2"* 6, = 262 -h 1 . — En faisant z = , on trouve que le rapport-
est égal à iti A; en faisant ensuite z = -^ on trouve it, = di ri on a
ainsi la seconde transformation
et la corrélative
et celles que l'on en déduit par la substitution —y.
Deuxième cas : a pair, h impair, a = — ^ T* i~ Soit j^ = ç-\
en faisant s — o, on a a? = o, 7= X(~ -^ ^-î S^m *•) = -^ (n®365), et par suite A = -;=• Le nombre à est impair, mais V est pair ou
impair.
I® h' pair. — Soient a = 2a,, i = 26, -h i, a'= 20^ -h i, 6'= 26',.
Si Ton remplace z par a 4- — > a? se change en 77-' J en —7, et Ton a ridentité
