I -f- Cx "" C A

d'où Ton déduit C^ ^ X, B = — AC, et la fonction de transformation

devient

Supposons d'abord que les trois nombres ai, a\, H^ soient pairs; à

FORMULES DE TRÂNSFORBIATION. 6i3

cause de la relation ab'— hà =i^ le nombre h^ sera impair. Pour

z = -, on a

et par suite

Faisons maintenant

2 — '• — -j -^- ^\ ^' ayant une valeur trèspetite, et développons en séries suivant les puissances de z'\ en négligeant les puissances supérieures à la première, nous aurons (n^ 365)

et par suite

l'identification donne

On obtient ainsi la transformation

Les autres combinaisons de nombres entiers se ramènent à la précédente, à Taide des transformations du premier cas. Considérons les

fonctions 7i = ^i (^ + 7 -»- j-) > ^2 = ^2 (^ + ~ + x) ' ^^^ correspondent aux deux couples de périodes définies par les formules

($}\ =^ — 2rt' û) -h atù'f (ù\ = — 2a', û) -f- «, 0)',

dans lesquelles les nombres homologues a et a,, 6 et 6,, a' et a^,

614 LIVRE Vni. - CHAPITRE 1.

V et h^ sont en même temps pairs ou impairs. La quantité

Gt)t — 6)

est de la (ortne ptù -h y— » et par suite de la forme /'«u, -H ^i ^^ p»'Çi

/?!, y, étant des nombres entiers. Si Ton pose z = ^ "" T "^ ^'* ^°

aura donc

j^, = X,(z' ), j^, ~ hiz'-hpt w, -+- j, Y j •

L'expression de y^ en fonction de 7, rentre ainsi dans le premier cas de la transformation.

En faisant subir à la fonction (c) la transformation {b), on obtient la nouvelle fonction

1 4- ^Ar i-hx^k

dont le module est réciproque du précédent. Par la substitution -r-, on en déduit les transformations corrélatives

\jk i-hx\fk

— \]k i-^x\lk

sent des précédentes

On a, en outre, les quatre fonctions qui se dédui par la substitution —y.

a® b' impair. — Ce cas se ramène au précédent. Si, dans une solution du problème de la transformation, on remplace k par — k, il est clair que Ton obtient une autre solulion de la même équation différentielle. Ceci revient à remplacer X(z, w, w') par la fonction égale X(z, 0), 2CÙ -h w'), qui a un module égal à celui de la première et de signe contraire; mais, si les nombres b et b' sont impairs, dans les relations (4) mises sous la forme

2 0) = 2a&)i -f- éo)', , 2(i) -h «'= 2 (cl 4- a') û)i -f- (6 4- 6')ck)',,

le nouveau coefficient 6 + 6' est pair. Ainsi les solutions qui se rapportent au cas actuel se déduisent des précédentes par le changement de ^ en — ^; on obtient de la sorte les deux nouvelles transformations

\i-\'iylkj ^ ï — i^ki-hix^k

tr\ L. /ï-+-'V^\' j-'/' ' /T\i x — i^Jk i — ixsJTi (/) *t = ( r^ U g^.=±-(i-iv^/r), r= r^ ^. .t^

qui se rapportent k deux modules réciproques» et les deux corrélatives