I -4- ^ki I — U ^îi I — ^Ttl I ■+- u ^kt
Mais les relations (4) deviennent
616 LIVRE Vm. - CHAPITRE I.
le premier coefficient étant actuellement impair, le second pair, Texpression de u par une fraction rationnelle en x rentre dans le premier cas de la transformalion.
Ce premier casse subdivise en deux, suivant que b est de la forme 4^i ou 4^1 + a- On ramène le second cas au premier par une autre transformation du premier degré. Considérons, en effet, la fonction u = X{z^ Os, 0)',), relative au couple des périodes 2a>2 = aco, + auj, (ù\ = <ù\ équivalent au couple 2a>i, <a\^ et désignons par k^ et g^ son module et son multiplicateur; on a, d*aprës la formule (fr), -
Les relations (4) deviennent
aG) = aaa)s -f-(6 — 2a) Gj',, &)'= 2a'û), 4- (A'— 2a')ea',:
le second coefficient est maintenant de la forme 4^i* Ainsi les transformations fournies par les valeurs de b de la forme 4^i + a présentent des modules réciproques de ceux qui se rapportent aux transformations fournies par les valeurs de b de la forme 4^i-
396. Étudions d*abord les transformations d'un degré impair n. Le quatrième cas ne se présentant pas, il sufBt, d'après ce que nous venons de dire, de supposer a = aa, +i, 6 = 4^i» ^ = o, ce qui réduit les relations (4) ^
(8) wi= (aa, H- i)6i), -4- ?.6, Cl)', , ck)'^:^ ao'a), H- 6'w',;
les quatre nombres entiers qu'elles renferment ne sont assujettis qu'à la condition
Considérons tous les systèmes de nombres entiers dans lesquels les deux nombres aa, + i et i| admettent un même plus grand commun diviseur /i', qui sera nécessairement un diviseur de n\ posons n — /iV, 2a,-f-i = n'(2a2-f 1), bt^n'b^; la première des relations (8) devient
— - — (2a, -4- |)gj, -h 26,01)'
et la couditioD (9) se réduit à
(ni) (2rt, 4 1)6'— 4^3û' - /i'.
Les nombres 203 h- i et 4^2 étant premiers entre eux, on peut déterminer deux nombres d* et ih" -\- i satisfaisant à la relation
(11) ['la^ -f- \)[ih" -v- i) -- 4*i«''- - I-
Si Ton pose
û)'' =17.0!* (ùx -f- { 2 6'' -f- I ) ûj', ,
on voit que le couple des périodes (ci>f,c«)'J est équivalent au couple
y—.'i w"U que les fonctions X(z, wi, a)'J,XU, ^,î w'Vqui ont mêmes
zéros et mêmes infinis, sont égales, ou égales et de signes contraires, et que leurs modules sont égaux, ou égaux et de signes contraires. Des relations (10) et (11) on déduit
/ étant un nombre entier. En remplaçant d' et ih"-s- 1 par leurs valeurs tirées de ces dernières relations, on trouve
II" n n"
et l'on arrive à la formule
pareille à celle du n^ 361 . Mais, ici, la lettre i désigne un nombre entier quelconque; car, quel que soit /, en prenant arbitrairement les deux nombres ia^ -h i et 62 premiers entre eux, on déterminera les deux nombres 26" -1-1 et d' par l'équation (11), puis les deux nombres al et V par les équations (12); Téquation (10) en résulte, et par suite Téquation (9). Ainsi, lorsque n est impair, les fonctions représentées
018 LIVRE Vm. - CHAPITRE I.
par la formule (i3)^ et celles qu'on en déduit par des transformations du premier degré, donnent toutes les transformations rationnelles du degré n.
397. Nous avons vu, au n"" 363, que les fonctions données par la formule (i3) pour /i'' valeurs consécutives de /sont, non-seulement différentes, mais encore que deux d'entre elles ne peuvent être dans un rapport constant; nous avons vu aussi qu'il en est de même pour celles qui sont fournies par deux modes de division différents du nombre n. On en conclut que le nombre des transformations du degré n, du genre de celles que nous cherchons maintenant, est égal à la somme des diviseurs de n.
Nous les partagerons en deux classes : celles qui sont données par les valeurs de t qui n'ont pas de diviseur commun avec n' et /i", et celles qui correspondent aux combinaisons dans lesquelles les trois nombres n\ n'\ t admettent un plus grand commun diviseur. D'après ce que nous ayons dit au n'^ 362, les premières sont égales à
±\ fz, —, 0)', ) ou à =bX (z, a)|,— j -, elles proviennent de la division
par n de l'une des périodes des couples (30)1, co'J définis par les formules (40 du n^360. Considérons maintenant les combinaisons dans lesquelles le plus grand commun diviseur des trois nombres n\ n!\ t est égal à A, et soient n'^hn\ , n":= hn\ , n = h^rii^ / = A/,; on obtiendra les fonctions correspondantes
\ fin, hn, / \ n, /i,
en divisant par /i, Tune des périodes des couples (20.),, w'J et multipliant ensuite l'argument par h. Cette deuxième classe ne se présente pas lorsque les exposants des facteurs premiers du nombre n sont tous égaux à l'unité.
Lorsque le module donné k est fini et différent de zéro, les deux périodes particulières 2w, w', déterminées par des intégrales définies (n°22l), ont des valeurs finies différentes de zéro, et leur rapport est imaginaire; il en est de même des deux périodes de chacune des
fonctions représentées par la formule (i3), et, par conséquent, ces fonctions ont toutes des modules et des multiplicateurs finis et différents de zéro.
398. Nous ferons encore remarquer que les carrés des modules de deux des fonctions représentées par la formule (i3) ne peuvent être égaux ou réciproques, quel que soit le module donné k. Cherchons d'abord la condition pour que deux fonctions elliptiques
aient leurs modules égaux, ou égaux et de signes contraires. Si Ton avait kt = ± k, les deux fonctions
(i4) Mz,(ù,(ù')z='k{gz,k], Xz, ^w,,^ cù\)=z'k(gz,k,),
seraient égales, et leurs périodes satisferaient à des relations de la forme
avec la condition (4 a -m) (4i'-i-i) — l\ba' ^\, En désignant par /? et p, les rapports — ? — » on aurait
*^^ fit) (ùx
. Av 2a'-4 f46'H-i)p
Cette condition est suffisante; car, lorsqu'elle est remplie, on peut déterminer la quantité^'? de manière que les équations (i5) soient
vérifiées; les deux fonctions (i4) sont égales, et l'on a Xi| = + ^.
Si Ton avait ^i = dz t» puisque la fonction X(z, w, — w', , w'J est
égale à X f ^1 *i 5j, 4- ] > la fonction
serait égale a la première des fonctions (i4). et l'on arriverait à la condition
/ , Pi ?.«' -f- (4^'-^ OP
' I — Pi (4« -+- ij-^ 2^p
Considérons maintenant deux des fonctions (i3), savoir
/ (ù' -h lt -\ ( ft)' -4- 2/, -,-
Pour que leurs modules fussent égaux, ou égaux et de signes contraires, quel que soit le module donné k, il faudrait que la condition
a/.V/i', p 2 [a' w'' -4- (46' -I- i)/] -i-f46'-f-i)/i'p n*. ~" [(4«-riK'Hr4/>/J'4-26/i'p
fût vérifiée, quel que soit j9, ce qui ne peut avoir lieu que si 6 = o, el, par suite, a~ h' ~ o, n\ ~ n, n\ = n'\ tf z= t -\- a! n!* \, et alors les deux fonctions seraient égales. Pour que les carrés des modules fussent réciproques, il faudrait que la condition
2 '.l^y. P i{dn!' -\-[ 4 6;H i>/]-f- (46^H-i)n^p
( w* —2 /7) —ri.f^'" [4« -^- ï)'*" 4- 4 6/] -f- aén'p
fût vérifiée, quel que soit p, ce qui est impossible, puisqu'on ne peut avoir l\l) -\- \ - - 2/>.
399. Il est facile de vérifier que les fonctions dont nous venons de parler satisfont bien aux conditions qui servent de base à la méthode (le Jacobi (n^ 260). Considérons, par exemple, la fonction (n*^ 349)
on a ici
Y s\[\ r;:(i-hr)(i --/r.r)(' + /'".r).
el, après la substitution,
V V ^ J^ v^(U^"- ^'-i ^^Jt\)'(a^ H- g;^ ^a\)(i' -- ^. /r. ^<Jt\){a' -f- .if. /r."x¥;).
D*aprës les identités (20) ou (20)' du 11° 380, chacun des quatre binômes placés sous le radical est égal au produit d*un facteur du premier degré en x par un polynôme carré parfait; on a donc
M étant un polynôme entier en x du degré 2n — 2.
Il en est de même des transformations relatives à la multiplication
de l'argument. So\t y = 'k{nz)= ^^ {n'' 332); on a
Y =rn»(i~r)('-^r)(' -*•/)(> -^*-r)»
après la substitution
et, en vertu des identités (3) ou (3)' du n® 372,
M étant un polynôme entier en x du degré 2/2- — 2.
Transformations d'un degré pair.
400. Étudions maintenant les transformations d'un degré pair. Soit n = 2^/1,, /2| étant impair. Les trois premiers cas de la transformation se ramènent, comme nous l'avons dit au n^395, à celui où a =2^1-1-1, 6 = 4^1» « = o. Considérons les systèmes de nombres entiers satisfaisant à la relation (9) , et dans lesquels les deux nombres entiers 2a^ + I et 64 admettent un même plus grand commun diviseur n\ qui sera nécessairement impair et diviseur de /i,; en posant /i, = n'n" et raisonnant comme précédemment, on arrivera à la formule
(18) ;frz='k\z,-^
622 UTRB Vm. - CHAPITRE I.
dans laquelle t désigne un nombre entier quelconque. A chaque diviseur nf de /i| correspondent ainsi ^^n" fonctions^, et, par conséquent, le nombre des transformations rationnelles de cette sorte est égal à la somme des diviseurs de /i| multipliée par 2^.
Il nous reste à examiner le quatrième cas de la transformation, celui
où les deux nombres aei b sont pairs et a = — • Considérons les systèmes de nombres entiers vérifiant la relation ab'— ba!= n, et dans lesquels les deux nombres a et fr admettent un même plus grand commun diviseur ^''n'; l'exposant r sera égal ou inférieur k A, et le nombre impair n' un diviseur de n^. Posons a = 2'*a,, b=^orb^^ Tun des nombres a^ et b^ au moins étant impair. Nous commencerons par diviser la première période r fois successivement par n. La première des formules (19) du n® 77 donne
d'après les formules du n^ 366, on en déduit
a:, =rA(z -f- Y' T' " ) = ? u\ 1 > **' = — T-T/» ff •=>-+-** t
\ 4 * / I — (i — /f')j?* i-f-Ar' ®
^f et g^ étant le module et le multiplicateur de la fonction x^. Si Ton pose z, = z -4- ^, on aura de même
^3 et g2 étant le module et le multiplicateur de la fonction ^2- On posera ensuite z. ^ z^ -\ — - » 23 = Zo -f- ^ ? - • » et Ton continuera de
cette manière jusqu'à la fonction
Xr-^l [Zr-. + ;^» ^' ^>') -^^(Ç, 7.' '->').
FORMULES DE TRANSFORUÂTION. 623
Mais on a
et» si l'on pose
on aura à chercher la relation entre les deux fonctions Les relations (4) deviennent
a — = afli Wi 4- fti w', , w' = aa'wi -4- fc'o)', ,
avec la condition q^ b'— b^ a'= 2^'^/!,. La nouvelle constante a' a la forme voulue pour que y soit égal à une fraction rationnelle en Xri Tun des nombres a^ et b^ étant impair, on est ramené à Tun des trois premiers cas de la transformation. On obtient ainsi les fonctions représentées par la formule
et celles que Ton en déduit par des transformations du premier degré.
an LIVRE VUI. — CHAnTRE U.
