CHAPITRE II
EQUATION MODULAIRE
Existence de V équation modulaire.
401. Nous nous occuperons spécialenient du cas ou n est impair et premier. Dans ce cas, la formule (i3) du n® 396 donne n -fri fonctions de transformation, savoir : \{z^ -? eoM et les n fonctions représentées par la formule Xfs, w, ^-^ ji dans laquelle / reçoit n valeurs entières consécutives ; mais nous mettrons ces dernières sous la forme X ( z, w, ^ — -\ • Si Ton désigne par € Tune des n -h i quantités — » — 1 les modules de ces /i 4- 1 fonctions sont donnés par
la formule
Nous poserons \k - w-, V^-, - r-, et nous définirons les n -f- i valeurs de {^ par la formule
I V— U" TT '-/ z:z U TT ---" -
^ ' 11 v{pe) 11 &3{/>£j
d'où Ton déduit
*■•' - ,r - 11 v{pr,
ÉQUATION MODULAIRE. 025
Si dans l'expression de^. ^ déduite des formules (i4) du n** 332,
relatives à la multiplication de Targument, on remplace z par^£, et si Ton remarque que cette quantité devient égale à i» on obtient Texpres-
sion de~^ par une fraction rationnelle en k^ et X* {pî) ; chaque valeur de Ç est donc une fonction symétrique et rationnelle des ~^— quantités
2&) « Ot)
Grâce h la substitution de — à - dans l'expression du premier module, cette fonction ne change pas quand on remplace s par aï, a étant un nombre entier premier avec n. On en conclut, d'après le raisonnement du n** 387, que les /i 4- i valeurs de Ç sont les racines d'une équas tion algébrique du degré n H- i en Ç, ayant pour coefficients des fractions rationnelles de k^ ou de u^. En remplaçant Ç par — » on obtient
une équation algébrique entre u et ç, du degré n -h i par rapport k v; on lui donne le nom Adéquation modulaire. Quand on remplace u par
aAici
ue ^ , les valeurs de Ç ne changent pas et, par conséquent, celles de v
>hnrti
sont multipliées par le facteur constant e " . Nous remarquons encore que l'équation ne change pas quand on y remplace uetv par — u et — V,
Expression des racines de Véquation modulaire.
402. Nous avons démontré au n® 365 que les quantités sic et vit', données par les formules (29) et (3o) du n** 205, sont des fonctions holomorphes de la variable p t= r-h si, pour toutes les valeurs de cette variable dans lesquelles le coefficient s est positif et différent de zéro, c'est-à-dire pour la moitié du plan située au-dessus de l'axe des x. Nous poserons
(?) 9(p)::v/i«- JJ^
I g(2m-l)rfi
(4) "l'(P)--Il7Tic==^'^ = v'^^-
rr ' ~
7mT.i
6^ LIVRE YIU. - CHAPITRE U.
Les deux formes sous lesquelles nous avons écrit chacune de ces fonctions s'accordent; car les deux premières quantités» par exemple» donl les huitièmes puissances sont égales à P, ayant des valeurs réelles et positives pour les valeurs p = si, sont nécessairement égales pour ces valeurs de p» c'est-à-dire quand cette variable décrit Taxe des y; elles sont donc égales dans tout le demi-plan (n^ 114 et 366). A Tinspection des formules précédentes» on reconnaît que les deux fonctions qu'elles définissent» et qui ont été étudiées par M. Hermite {Comptes rendus, i858)» jouissent des propriétés suivantes :
9(p) ^ + ("" ;^) ' +(pJ =^ ? (- ^)'
+(p "^ '^ ^ '^y +(p -^ ^^ = *fp)'
(p(p^-i)~c-»?^i ?(p4-:x) = e" 9(p), (p{pH-aA)=re • 9(0).
Elles sont réelles et positives pour les valeurs p = si.
403. Dans ce qui suit» nous prendrons u = (p(p)» et» pour distinguer les n 4- 1 valeurs de v, nous désignerons par Y celle qui se rapporte à
la fonction \{z, -* a)M et par ^, celle qui se rapporte à la fonction
X(z, w, — -— î — -)• Nous allons démontrer que ces quantités» telles <|irellcs sont définies par la formule (i)» ont pour expressions
O'nprès la remarque faite au commencement du n"* 365, les quantités
,f^]-> et, par conséquent» les valeurs de y sont des fonctions liolo-
morphes de p. Considérons d'abord V et donnons à p la valeur 51; dans
les développements deîof-^) (iideôJ^^j en produits d'après les
formules (20) du n*^ 202, les facteurs placés sous le signe produit étant tous réels et positifs, le quotient de ces deux quantités est réel et a le
signe de cos (^'~\ -, la valeur de V est donc réelle et a le signe du pro-
ÉQUATION MODULAIRE. 6i7
(luit (les ^-^ facteurs cos(^--)> quand/? varie de i a^^ — ^« Lorsque est pair et égal à !2n', les n' premiers facteurs étant positifs, les
n' suivants négatifs, leur produit a le signe de (— i)"'. Lorsque est
impair et égal à 2/1'— i, les /i'— i premiers facteurs étant positifs, les n' suivants négatifs, leur produit a le signe de (— 1)"'. Ainsi V a le signe
de (— i) * , et, comme (p{np) a une valeur réelle et positive, il y a accord entre les deux formules. Pour abréger, nous désignons par u le
nombre entier I" »
On obtient i^c ^n attribuant à £, dans la formule (i), la valeur
e = » dou - = -
Si l'on pose p h- r6/= p\ on déduit des formules (6) du n** 74
on a d'ailleurs m = ^(p' — 16/) = ç)(p'); pour p' = a'/, ces quantités et, par suite» Vt ont des valeurs réelles et positives. Il en est de même
de la quantité ?(^] donnée par la seconde des formules (5). Ainsi il
y a accord entre les formules.
Supposonsque dans l'équation modulaire on remplacer par(— i)^\; pour avoir les racines de la nouvelle équation, il sulHra de remplacer p par /2j9 dans les formules (5); la racine (^^ ^st égale à f(p), c'està-dire à u. De même, supposons que l'on remplace u par v^ ce qui re-
vient à remplacer p par ^ -, la racine V de la nouvelle équation
sera égale à (— i)*?(p -+- 16^), c'est-à-dire à (— i)*a. 11 en résulte qu'à toute solution {u,v) de l'équation modulaire correspond une autre solution [v, (— 0*"] d® '^ même équation.
404. De la troisième des formules (63) du n** 367, relatives à la divi-
628 LIVRE Vin. — CHAPITRE II.
sion par 2 de la seconde période» oq déduit
mais, d*aprës les formules (55) du n^ 365, on a il en résulte l'expression
. v(-rî w, 0)')
qui nous permettra de trouver toutes les valeurs de p pour lesquelles la foDCtioD ^{p) a une valeur donnée.
Nous avons vu, au n^ 398, que, pour que les carrés des modules de deux fonctions elliptiques
X(z, w, w') ---- l{gz, /f), Iz, w„ 0/,) = X(gr,z, *-,)
ùi
soient égaux, il est nécessaire et il suffit que les rapports p= -
rj^ = -- satisfassent à la relation (16); on a nlors ^'(/'i) = ?'(p)- Cher-
rlions maintenant la condition pour que les deux fonctions ^fp), ff{ps) soient égales, ou égales et de signes contraires.
Comme on a X, == (— \Y'k, il faut d'abord que a' soit pair; posons
a' -- 1(1 ^ ; comme on a yX^ = (— ^Y' v^» d'après la première des formules (55) du n"" 365, il faut que le nombre a, soit lui-même pair; posons a\ -■ 2a.^. Comme nous l'avons dit au n"" 398, il résulte des
formules (i5) que les fonctions X(s,^w<,^ wj» X(jc, &),w') sont éijjales, et, par suite, les fonctions v (z,^-co,, ^ w, )» v(2,tk), w'); lorsque a' est pair, il en résulte aussi que les fonctions XI:;, — co,,— — V
ÉQUATION MODULAIRE. 629
Xlz, 0), — ] sont égales. On a donc
et, par suite, en vertu de la formule (6),
9(p.) = (-0-'^^*>(p)-=(~iK«?(p)- Ainsi, pour que f(|9|) = ±(p{p)/\l est nécessaire et il suffit que l'on ait
avec la condition (4« h- t){^b' -h i)— • lôfea^ = i.
Points critiques.
405. Les périodes eo et &>', déterminées par des intégrales définies, comme nous Tavons expliqué aux n^' 221 et 231, sont des fonctions continues de k^; il n'y a exception que pour ^* = o et A* = i; ces deux quantités, et par suite leur rapport /9, sont donc des fonctions holomorphes de la variable k^, dans toute portion du plan, à contour simple, ne comprenant aucun de ces deux points critiques. Par rapport à la va-
Fig. 8i.
riable a, il y a neuf points critiques, savoir l'origine m = o et les huit
a/1 ri
points w = e ' , placés aux sommets d'un octogone régulier a^a^ ...a^ \fig. 8i). Chacune des valeurs de v est une fonction holomorphe de p.
et par conséquent de ii, lorsque cette variable u se meut dans une portion du plan, à contour simple, ne comprenant aucun des points critiques dont nous* venons de parler, et qui sont les seuls qui existent dans le plan par rapport aux racines de Téquation modulaire.
Pour former les lacets, nous ferons partir la variable u d'un point 60 situé sur Taie Ox, k une distance du point 0 plus petite que l'unité. Le lacet [a^) est formé d'une droite b^c^ et d'un petit cercle; le lacet (a, j d'un arc b^b^ égal à | de circonférence» d'une droite 6flC« et d'un petit cercle; le lacet (aj) d'un arc bob^b^ égal à f de circonférence, d'une droite b^c^ et d'un petit cercle,...; le lacet (a;) d'un arcfr«&|...frT égal aux I de la circonférence, d'une droite b^c^ et d'un petit cercle; enfin le lacet (0) du cercle 6« b, .. .b^ b^. Au point fr«, la période « étant réelle et positive, et la période ta' de la forme tù^h on a /» = /»o = n', ^ étant une quantité réelle et positive; nous distinguerons les/i + i racines par leurs valeurs initiales
la première est réelle et a le signe de (— i)*f la seconde est réelle et positive.
Pour les valeurs de u situées à l'intérieur du cercle décrit de l'oriffiae
avec un rayon égal k l'unité, en développant (1 — iHâ?*) ' en série, et faisant ^ = 1, on déduit de la formule (3) du n^ 221
fi)
D'autre part, l'équation (35) du a** 279 donne
(8) ''P^.?,/! ^.A^-l-BA'*-...V
on en déduit par l'intégration
p-,%--^.[8Iog^^+A(Ar'-Aj)+^(/.'-fr;;-*-...T
ËQUAT10K MODULAIRE. €31
en supposant qoe log — soit égal à zéro pour u = u^, e*est-à-dire au
point 6«. Lorsque u tend vers zéro, le coefficient positifs, dans Texpression s = r -^ st\ augmente à l'infini ; si Ton prend la fonction c (p ' sous sa première forme» on reconnaît que les n -^ i valeurs de r tendent vers zéro. Quand la variable u décrit le cercle 0 dans le sens positif, la valeur de p devient Co -i- 16; la racine V resle holomorphe dans le voisinage du point O et se développe en une série convergente
suivant les puissances entières de m. La racine r^= ? ( ""- — ) devient
s I '^' ^ ' ^ I gj^ pg^j. conséquent, se change en r,^, : ainsi les
n autres racines forment autour du point 0 un système circulaire (to, it « r^t-.f «'ir-i ) se permutant dans Tordre des indices; ces racines sont représentées, dans le même ordre, par la série
n— I I (il) V= 2~»""~ll« -h . . ,
ordonnée suivant les puissances croissantes de u .
406. Considérons maintenant le point critique u ~ i . La fonction elliptique, au module complémentaire, admet les périodes gJ| = — ^'/,
S)', = (i)i(n**236), dont le rapport p' est égal à Quand le point w
décrit la droite 6«ao, la première période coi reste réelle et positive, le rapport p, donné par l'équation (10;, conserve la forme si, et de même le rapport p\ La période Oi est représentée par une intégrale définie analogue à celle qui donne o) (n** 221); faisant encore g=i* il suffit de remplacer dans celle-ci k par^; elle peut être développée en une série pareille h la série (8) et convergente pour les valeurs de X*'^ dont le module est plus petit que i; on en déduit, comme précédemment,
632 LIVRE YIU. - CHAPITRE U.
les coefficients A, B,... étant les mêmes que dans Téquation (9), et par suite
Lorsque u tend vers i, le coefficient/, dans Texpression p'^zr'-i- ïi, augmente à Tinfini; si Ton prend la fonction (p{p) sous sa seconde forme, on reconnaît que la racine Vo tend vers i, et la racine Y vers (— 1)'. Quand la variable u décrit autour du point a^, et dans le sens positif, un cercle ne comprenant aucun autre point critique, l'argument
de k'* augmente de 27r, p' devient p^ 4- 2. et p égal à — ^^ — La racine
^0 = ?(^) "= ^{^p')9 réelle et positive sur la droite b^a^f reste liolo-
morphe dans le voisinage du point ao ; on obtient son développement en posant u= I — a', f^o = I — ^0 î d'^^
et, en se servant de la seconde forme de la fonction t|i(p),
LaracineV,après7toursautourdupointao» devient(-- ')*?("Tr^T~")' elle se change en une autre {^( que nous allons déterminer. D'après ce que nous avons dit au n**404, les deux fonctions y ( ^^* J» ç r*"^"' \
sont égales, ou égales et de signes contraires, lorsque leurs arguments satisfont à une relation de la forme
po -^- KW Sa'(i—2ypo)-h{^b'-^ï)np. 8a' ^ [(4^ -h i ) /i - iGa'y^ p.
avec la condition {l\a -^ \) {f[b' -hi) — i6ba' = i.ll faut pour cela que
bn —(4a -f- 1)7 - o, ou . — -; ces deux fractions, étant irréduc-
ÉQUATION MODULAIRE. 633
tibles» auront leurs termes respectivement égaux» ou égaux et de signes contraires. Si n est de la forme 4^*^- i> on prendra a = n\ h — 7; la relation précédente se réduira alors à
on prendra a'=^ 2/, et Ton déterminera les deux nombres entiers 4^ -f- < et/ parla condition 827/ — /i(46'-hi)= — i. Si n est de forme 4^'— i» on prendra a := — n', 6— — 7, a'— - 2/, et Ton déterminera les deux autres nombres par la condition 327/ -f- n[[\b' -\- i) — — i. Le rapport des deux fonctions y étant (— i)"* ou (— i)*» la racine V devient égale à Vt\ les deux nombres conjugués 7 et /sont liés par cette condition, que le produit 327/ donne le résidu — 1 par rapport au diviseur n.
En attribuant à 7 les /i — i valeurs successives 1,2 n — i, on
obtient pour / ces mêmes valeurs dans un certain ordre; il y a d'ailleurs réciprocité entre les deux nombres; oh en conclut que les n racines V, (^,, ç'jr..» ^n-M dans un certain ordre, forment un système circulaire autour du point critiquer =1. Si Ton pose V=:r(— i)«(i — (/), elles sont représentées par la série
( 1 5 ) v' rrr 2 ««'«-+-... ;
nous désignerons ce système circulaire par (V, f»^,, ^r;»---» ^^.,).
407. Considérons maintenant le lacet (^4). Quand la variable u décrit Tare b^b^^ d'après Téqualion (9), p acquiert la valeur jOo-+- 2;
Inri
la racine V devient (— i)*9(/ip^, 4- 2/1) ou e * V; la racine v^ devient
/p>4-i6/H- 2\ rpo-f-i6(/-a) , 1 .• . ^ j. ^^
(fV' /~^L n -i-2/i , cest-a-dire e ' ç,^. Ceci
est bien d'accord avec une remarque faite au n® 401, savoir que, quand
thyci
on remplace u par ue ' , les valeurs de s^ sont multipliées respective-
flA/iici
ment par e " . Supposons que Ton parle du point bo avec la valeur
initiale V; en i>, on a cette même valeur multipliée par le facteur e~^; sur le lacet 6, a,, la racine acquerra la valeur qu'elle avait, au point
G;]i LIVRE VTH. — CHAPITRE II.
homologue, sur le lacet 6o^o« multipliée parce facteur constant'; quand
ÎM«Î
on aura parcouru 7 fois le lacet è, «m on aura en 6, la valeurs * ^, , qui, lorsqu'on revient en è©» est^^^^.». Ainsi la loi de permutation sur le lacet (ai) se déduit de celle qui a lieu sur le lacet (Ao)» en ajoutant le nombre constant a aux indices des racines.
Considérons d'une manière générale le lacet (Âa). Quand la variable décrit l'arc 6o^i« -^a» P acquiert la valeur p© -^ 2A, la racine V devient
égale \k e " V, et la racine v^ke ^ ^t^hoL^ En partant du point b^ avec la valeur initiale Y, quand la variable u aura décrit 7 fois le lacet ^^a^,
on aura en b^ la valeur e ' Vt, qui, au retour en bo, est Vg ^a« H suffit donc d'ajouter le nombre constant hoc aux indices relatifs à la permutation sur le lacet (a^) pour avoir la permutation sur le laicet (a^).
408. La fonction elliptique, au module réciproque, admet Jes périodes W| = w — w', o', = w' (n® 234), et les valeurs de p et p,, qui se rapportent à ces deux couples de périodes, sont liées par la relation
- = t; on en déduit
Concevons que, dans l'équation modulaire, on remplace u par -» et
désignons par (r) les racines de la nouvelle équation; il est facile de reconnaître que ces racines sont réciproques de celles de la première équation. Considérons d'abord la racine
(V)==(-ir^ -
n.px
V np^ ) ^L,-4-{,,-,)pJ
clic sera réciproque de la racine v?,, si l'on a
Il faut, pour cela, que le coefficient de p dans le second dénominateur soit nul, et, par conséquent, que les deux fractions irréductibles 7-^^ — »
ÉQUATION MODULAIRE. 035
— ^ soient égales. Si n est de la forme [\n' -h i , on prendra a = /*',
6= — 2/i\ a'= 2Î, et Ton déterminera les deux nombres h' et î par la condition i6(/i — i)î-» /i(46'-Hi)=^ \ . Si nest de la forme 4^*'— i» on prendra a = — /t', 6 = 2/1'— x, a' = — 2Î, et Ton déterminera h' et î par la condition \&[n — i)î — /i(46'-+- i) — i . Dans les deux cas,. l'indice d est tel, que le nombre 16$ donne le résidu — i par rapport au diviseur n. On verrait de même que la racine [vn-^) ^st réciproque deV.
Considérons maintenant une autre racine
elle sera réciproque de v^ si Ton a
p-f-i6/ 8(i6/^-ni)fl^H-i6f746^-4-i)—[(i6/^— i)(4fe^-hi)-^8(!6/^4-w — Oa^]p n ""(i6/'-h/i)(4a4-i)-h3a/'6 — [(i6r-i-n- i)(4û-i-i)-+-a(i6/'— ij6Jp'
Le coeiBcient de p, dans le second dénominateur, doit être nul; la fraction . ' est irréductible; la fraction -W — ^^^ est aussi irréductible» si /' n'est pas égal à /i — $; ces deux fractions étant égales, on prendra a= — l\t\ b = ^t' -i — ^^- Le second dénominateur se
réduit alors a /i. On déterminera les deux nombres h' et a' par la condition
et Ton fera
Le nombre a' devant être pair, et V multiple de 4> posons à — iia", V => [^h''\ la condition précédente devient
(16/' — i)6"-f-(i6/'-hn-Oa'^ — -/',
OU
(16/' — i)/-f-na"i=-/';
rindice t est tel, que le nombre (16/ — 1)/ donne le résidu — i' par
636 LIVRE VllI. - CHAPITRE U.
rapport au diviseur /i. Il y a exceplioDy lorsque t' =^ n^ â; mais nous avons vu que la racine {v„^) est réciproque de Y. Quel que soit n, la racine (vq) est réciproque de Vq.
L'étude des valeurs de i^^ quand la variable u est très-grande^ est ramenée ainsi a celle des valeurs de (t^), quand la variable u^ est très- 'petitc; les n + I valeurs de {v) s*annulant pour u, = o, les n-î- 1 valeurs de V deviennent infinies pour u = co . Sur la sphère, le point u = oo est donc un point critique analogue aux précédents; la racine u^ est mé-
romorphe et du degré /i; les n autres sont du degré - et forment un système circulaire.
Comme exemple, nous écrirons les permutations pour n = 5 :
LftCoU: («.) (fl^) C«.) («.) (««)
(Vc,i'ii',Cs\ (Vt'o<'4V,c,}, (VcsV,v,v,), (VciC.CsCîK (Vf4t»jV,v,);
sur les lacets {a^). [a^)» (a,), les permutations sont les mêmes que sur (^o)» {^i )* (^2), parce qu'il suOil d'ajouter 5a aux indices. On a, d'ailleurs,
Supposons que l'on unisse le point initial 60 ^^ point 0^ sur la sphère par un lacet formé d'un arc de grand cercle passant entre les points a« et a^, et d'un petit cercle décrit autour du point 0\ dans le sens négatif par rapport à ce point; ce lacet peut être remplacé par un circuit positif se ramenant à la suite des lacets (ao), (a^ ),..., {a^), (0); la racine t^, se reproduit, les autres se permutent dans l'ordre V, i^j, (^4, (^3, ç^^.
409. Nous avons démontré au n^ 401 l'existence de l'équation modulaire. On pourrait aussi la déduire des considérations précédentes; d'après le théorème du n^ 135, la fonction v de u n'ayant pas sur toute la sphère de points singuliers autres que des pôles et des points critiques algébriques, et admettant n -i- i valeurs en chaque point, est liée à la variable u par une équation algébrique. Le lacet (ao), parcouru une fois, et le lacet (0), décrit n - i fois, forment un système de lacets fondamentaux; car, si l'on part du point b^ avec la valeur initiale V, après le lacet (aj on a v,/, en décrivant ensuite n- 1 fois le cercle 0, on
ÉQUATION MODULAIRE. 637
obtient dans Tordre des indices croissants les n — i autres racines; on conclut de là que l'équation modulaire est dn degré n + i par rapport à v^ et irréductible. La somme des ordres négatifs de la fonction v sur la sphère, c'est-à-dire la somme des degrés des racines infinies, étant h-h i , ilrésulte du corollaire II du n^ 135 que Téquation est aussi du degré n H- 1 par rapport à ù.
Formation de l'équation modulaire.
410. Supposons Féquation entre u et (^ mise sous la forme entière, et ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de v. Les /i -f i valeurs de V conservant des valeurs finies pour toutes les valeurs finies de u^ le coefficient du premier terme peut êlre supposé égal à l'unité.
Nous avons vu (n® 405) que, pour m = o, toutes les racines s'annulent; leur produit (— i)*ii"^', déduit des équations (lo) et (i i), est le dernier terme de l'équation. Quand ou attribue à u une valeur trèspetite, tous les coefficients de l'équation, excepté le premier, ont des valeurs très-petites; il y a deux manières de former le groupe des termes du degré le moins élevé (n® 34); le premier mode Aw4- (— i)*!*"*^'
donne la racine holomorphe V, et l'on a, par conséquent, A = — a"*"; le second mode (^^' -f- kuv donne le système circulaire des n autres racines.
D'après une remarque faite au n^ 403, l'équation se reproduit, quand on y remplacé 1^ et v respectivement par t^ et (— i)"w, et qu'on multiplie tous les termes par (— i)"; le premier et le dernier terme se permutent; il en résulte que les coefTicients des difTérentes puissances de V sont, par rapport à u^ du degré n au plus, et par conséq.ucnt que le degré de l'équation modulaire, par rapport aux deux variables u et v, ne surpasse pas an. D'après ce que nous avons dit au n^ 408, l'équation se reproduit aussi quand on y remplace u et (^ respectivement
par - et '; et qu'on multiplie tous les termes par (— I)*^^"^ V^*; le
terme Aw donnera le terme (— i;*Aw'V; on en conclut que l'équation modulaire est bien du degré 2n. L'équation ne changeant pas quand on y remplace £/ et (^ par — u et — t^, tous les termes sont d'un degré pair.
638 UVRB Vm. - CHAPITRE II.
Les coefficients de l'équation en Ç (n^ 401) sont des polynômes entiers en u*\ pour u = o, ia première racine est finie et égale à
(— 1)^2 ' ; les autres deviennent infinies; cette équation est donc de la forme
(i6) a^?«^"+'-i- V u*h[ap'^-bpU*-[- c^u'''-\-,,.)l'^'-i'
les exposants /B^, ^,, /S^t»--*» /3/< i étaut tous plus grands que zéro. En remplaçant § par-^i et multipliant tous les termes par u"^S on obtient l'équation modulaire
(17) «•(P»-*)(;*+'-i- V ii"/'-*»(Pi'-*)(ûf^-h6^a«-i-...)*^'*"'""'''
Le premier coefficient devant se réduire à l'unité, on a ]3o = a. Les exposants n/7 + 8(/3^ — oe) sont plus grands que zéro; on prendra pour chacun d'eux la plus petite valeur de cette forme, et„ dans les polynômes placés entre parenthèses, on ira jusqu'à une puissance de li* telle, que le degré total du coefficient ne surpasse pas n. On aura ensuite a déterminer un certain nombre de coefficients numériques; la condition que Téquation doit se reproduire, après chacune des deux substitutions dont nous avons parié plus haut, en restreint beaucoup le nombre; d'après ce que nous avons dit au n° 406, le premier membre devant pour w = 1 se réduire à (r — 1) [^ — (— 0*j'» ^" ^^^^ encore entre ces coefficients des relations qui suffiront à les déterminer dans les cas les plus simples.
411. Quand le nombre premier n ne surpasse pas 7, les polynômes placés entre parenthèses se réduisent a des constantes. Pour /i = 3, on obtient immédiatement l'équation modulaire
(18) V^ \~ 7.U^V^ — 2.UV — W< ^ O.
Pour /i =^ 5, elle est de la forme
ÉQUATION MODULAIRE. 639
le premier membre devant se réduire à (i^ - i) (i^ -f- i)* pour m = i , on a aa = 5, et l'équation modulaire est
Pour /i = 7, on trouve de même
(ao) ('• — 8mV-+- 28/1*1 *— 56M*t^*-i- 70 ?/<(;* — 56m' c*-f- aSfi'c'— 8f/c 4- u*=zo. Pour /i = I r, l'équation modulaire est de la forme
(21) J H-fl4a*c*-i-fliM'i''4-M*(a, — fl,M*)v"— ûfstt'i^— ûf«MV
Le premier membre devant se réduire à (i^ — 1 ) (t? h- i )* ' pour a = 1 , on a ai = — 22, a2= 44» ^4 = ^^5, 05= iSa, 63= 88* Dans tous les cas, le calcul des coefficients peut être effectué de la
maniëre suivante. Supposons que la fonction -ne ' f^(p), donnée par
la formule (3) du n^ 402, dit été développée en série suivant les puissances entières de y = é^^^; en remplaçant dans ce développement q
par q"^ on aura celui de -^e " <p(/ip); les deux quantités a et V sont
égales à ces deux séries entières, multipliées respectivement par ^2q^ et par (— i)*v^2y\ Si on les substitue dans l'équation (17), et si Ton
divise tous les termes par q "^ , \e résultat de la substitution ne contiendra plus que des puissances entières de q; en l'ordonnant par rapport aux puissances croissantes, et égalant à zéro les coefficients des puissances successives de 9, on obtiendra des équations linéaires entre les coefficients cherchés qui serviront à les déterminer. Il faudra pousser le développement en série assez loin pour avoir un nombre suffisant d'équations. Sohnke a calculé par ce procédé les coefficients des équations modulaires jusqu'au nombre premier 19 inclusivement {Journal de Crelle, t. XVI).
Points multiples.
412. Outre les points critiques, il existe des points multiples dans U voisinage desquels chacune des racines reâte holomorphe.
640 LIVRE Vni. - CHAPITRE II.
L'équation (17) du n** 371 devient , , nwfi — u*) dv
' è» i;(i — «;•) du
Lorsque, pour une valeur particuliëre de u^ deux valeurs de ç deviennent égales, les carrés des multiplicateurs correspondants sont différents, sans quoi les deux fonctions de transformation seraient égales, ou égales et de signes contraires, ce qui est impossible (n® 397);
il en. résulte que les deux valeurs de ^ différent, et par conséquent
que les points multiples do la courbe analytique représentée par l'équation modulaire sont à tangentes distinctes.
Nous allons démontrer qu'il n'y a pas d'autres points multiples que des points doubles. Au point i/, si l'on suit un chemin convenable, trois
racines quelconques peuvent être représentées par ( — i)"?fwp), ç f -j
^ — ^ — Jï / étant un certain nombre plus petit que /i. Pour qu'elles soient égales, il est nécessaire que l'on ait
(a3) HP = 8«j[L±i46:± Op ^ 8<n 4-16/(4*',+ i)4-(46>i)p ' ^ "(4fl-+-i)w-h 26p (4a, -f- i;n -f- 326,/ + a6,p '
avec les conditions
(2i) 1 (4«H-')(.4ft'-^0- 166a' =1, (-l)-^'r= (-!)-.
La quantité imaginaire p satisferait aux deux équations du second degré
( 26,np'-i-[{4«-M)n'— (46'-f- i)]p — 8a'/i.-o,
I 26.np'-4-[(4a,-f-i)n'-t-32*,/n-(4*',H-i;]p-8rf,w~i6/(46',-: i)=z o,
dont les coefficients seraient proportionnels; on aurait donc
(36) b.a'nr h[d,n !-2/(4Z^',h i)],
(27) 6.[(4fl-+-0''^--(4*'-^r-] = -*[(4û.+ 0'i'-i-326,/n-(46',-4-i)].
Nous remarquons d'abord que les deux nombres b et 6, sont premiers avec n; supposons, par exemple, que b soit divisible par n\ d'après la
ÉQUATION MODULAIRE. 641
première des relations (24), le nombre ^b'-h i serait premier avec n; en vertu de la relation (27), b^ serait aussi divisible par n, et, par suite, 4i'j-i- 1 serait premier avec n; cette même relation (27) apprend alors que les deux nombres b et b^ seraient divisibles par une même puissance de n, ce qui est impossible d'après la relation (26). Cela posé, en vertu de cette relation (26), le nombre ^b\-h i doit être divisible par n, et, par suite, d'après la relation (27), le nombre 4^' -t- i est aussi divisible par n. Posons 4^' H i == ^(^(3 -.- i); la condition pour que la première des équations (25) ait ses racines imaginaires devient
et se réduit à
[(4û-hi)/;-f-(2(3-M)p<4,
en tenant compte de la première des relations (24). Le nombre entier pair (4rt -H i) n -{- (2/3 -î- i), devant avoir son carré plus petit que 4» est nul; cette relation (24) se réduit alors a (2^ i- 1)^4- i6ba' = — 1, ce qui est impossible. Ainsi, en un même point u, trois racines de l'équation modulaire ne peuvent être égales entre elles, el, par conséquent, à parties points critiques, tous les points multiples sont des points doubles à tangentes distinctes. 11 est clair que ces points sont situés buitpar buit aux sommets d'un octogone régulier.
413. On obtiendra ces points doubles en égalant à zéro le discriminant de l'équation modulaire, lequel a pour expression D = Il (ç», — ç,,Y, Vi et Ta étant deux racines quelconques ; cette fonction symétrique des racines est égale à une fonction rationnelle de £/, et, comme elle ne devient infinie pour aucune valeur finie de u, elle est entière. Évaluons son degré : pour ?/ = 00 , les /i 4- i racines de l'équation modulaire
deviennent infinies : l'une est du degré n, les autres du degré - (n® 408);
n facteurs binômes s^i— v^ sont du degré n, les autres du degré -t
et, par conséquent, le discriminant est un polynôme entier en u du degré 2/^^ f- n - \. Pour // = o, les n 1- 1 racines de l'équation modulaire s'annulent; l'une est du degré w, les autres du degré -(n** 405);
cliaque facteur binôme est un intiniuieut petit du degré -9 et, par con-
642 UVRE Vm. - CHAPITRE U.
séquent, le polynôme D est divisible par u^*. Pour a = i, une racine devient égale à i, et les autres k (— i)^; lorsque le nombre a est pair, toutes les racines deviennent égales; si l'on pose u= i — a', tous les
facteurs binômes sont infiniment petits et du degré - par rapport à u'
(n® 406); le polynôme D est donc divisible par m'""*^' ou par (i — a)""*^*;
la même chose ayant lieu en chacun des points critiques £i = 6 ' , on en conclut que le polynôme est divisible par (i — ii')'*~*. Lorsque le nombre a est impair, une racine est égale à i, les autres à — i; parmi les facteurs binômes, v -- {^\ n ont des valeurs finies voisines de 2, les
autres sont infiniment petits et du degré - -, le polynôme D est divisible
par (i — w*)"~'. D'une manière générale, le polynôme D est divisible par (i — w*)""^^""*^'. Ainsi le discriminant est de la forme
Les deux premiers facteurs se rapportent aux points critiques; le polynôme placé entre parenthèses, et qui est du degré
donne les points doubles.
Soit/(u, (^)= o l'équation modulaire. En prenant le discriminant sous la forme D = H/,, (w, r,), on reconnaît sans peine que ce polynôme est carré parfait; on voit aussi qu'il est réciproque. Le nombre des points doubles est donc n^ — i — l\n — 4(~" ')*•
Calcul des fonctions de transformation.
414. Proposons-nous maintenant de calculer les fonctions de transformation. La première de ces fonctions est (n° 349)
(28) \^'n' ^' j^^'' ce
Si Ton pose
et si l'on se sert des polynômes N [x) définis au n" 371, la question
ÉQUATION MODULAIBE. 643
est ramenée à la détermination de la fraction rationnelle
D*après la première des relations (i5) de ce même numéro, les deux polynômes ont les mêmes coefficients; nous les représenterons par
Le calcul de ces coefficients peut être effectué à l'aide de la relation (i6), entre trois coefficients consécutifs, que l'on déduit de l'équation aux dérivées partielles de Jacobi. Si Ton y remplace oc par sa valeur
- (u* -h ^]j cette relation devient
( (tîm -hi) (2m -f-2)a('"-»""4-2tm(/? — 2m)( w* ■+ ~ ) «^""^ (3o) / . \ " /
\ 1 u* du ^ ^
Le premier et le dernier coefficient sont
et, en vçrtu de l'équation (22), on a,
(3.) (aC.,).= i«^=L<.
n V du n vf^.
Afin d'éviter les quantités irrationnelles, nous mettrons l'équation (3o) sous la forme
(am-t- i)(2w -h 2) ' ^ ^
«(-^ 8 w» du
(33) l flC*-')
Le dernier terme est connu et rationnel, d'après l'équation (32). En faisant successivement m = o, w =-- r, w = 2,..., on obtiendra les rapports des coefficients au premier, exprimés par des fractions rationnelles en u et v. La connaissance de ces rapports suffit pour la détermination de la fonction de transformation (29). D'après le raisonnement du n^ 387, les deux quantités
données par les formules (5) et (11) des numéros 349 et 351 , peuvent s'exprimer rationnellement au moyen de u et (^. Il en résulte d'abord que la quantité k'^k'* ou (i —m*) (i — r*) est égale au carré d'une expression rationnelle en u et t'. De l'équation (22) on déduit
la quantité — nuvfufl doit aussi être égale au carré d'une expression rationnelle en ue\v\ en prenant la racine carrée, on aura le multiplicateur ^,, exprimé rationnellement au moyen de u et v.
De l'équation (3o), dans laquelle on ferait w r^r o et m = » on
déduit
/ 'xn
ri*^"^ " ib w' du
^Sf)
^ ^ 2 — n— ï I 4- //" ni—u* d\ogia^ " ^J
On obtiendra ainsi le deuxième et l'avant-dernier coefficient.
415. On peut aussi se servir, pour le calcul des coefFicients, de deux é(|uations diiïérentiellcs simultanées, analogues aux équations diiïérontielles d'Abel (n'' 345), et auxquelles satisfont les deux fonctions V
ÉODATION MODULAIRE. 648
et y, . Ces équations sont
2a désignant la quantité A -h y ou m* 4- -• Si l'on y remplace V et V|
par leurs valeurs, et que l'on égale à zéro l'ensemble des termes du même degré, on aura des relations entre les coefficients a^"^a^*^a^^^.... Nous appliquerons ces méthodes aux cas les plus simples.
Transformation du troisième degré.
416. Pour n = 3, l'équation modulaire (n® 411) est (i8) Si Ton représente par t le produit Wf on a
i£/„'.z.3r-/~2iiS i./;^3/^-/-f-2i;% -uvj;j:^3t'{t^t^)\
On déduit d'ailleurs de l'équation modulaire la relation
(38) (,-„«)(,(;.)=:(,„vV;
il en résulte
Les formules relatives à la transformation du troisième degré sont donc
6i6 LIVRE Vm. - CHAPITRE II.
Lorsque le module k est réel et plus petit que Tunité, le multiplicateur de la première fonction est réel et positif. Pour les valeurs trëspetites de u, on a approximativement ç' = — 1m\ ^, = 3, ce qui détermine le signe. Maison peut supposer que, dans les formules précédentes, (^ désigne l'une quelconque des quatre racines de l'équation modulaire; car, lorsque la variable u décrit différents lacets, la racine V, sur laquelle nous avons raisonné, reproduit toutes les autres, et la fonction de transformation correspondante devient égale à chacune des autres, ou égale et de signe contraire : cela dépend du signe de g^. Les formules (39) représentent ainsi les quatre transformations du troisième degré.
Transformation du cinquième degré.
