P=.G-H, -(;/;' = Q = G-MI
Si, dans l'expression
iP=r)4[M=c^'(i — M«(;«)'4-47/v^],
on remplace u{^{\ — wS*) par sa valeur tirée de réquaiion (4o)» on trouve
et, par suite,
(43 ) • VQ" G' - n'r= 5( M^ 4- v'Y ( w" —v'Y.
ÉQUATION MODULAIRE. 647
On a aussi
, , ,,, î P rfi/ <' P
On calculera le rapport du second coefficient au premier à Taidc de l'équation (35)
flC; "~ i6 a* rftt
On a
rf1o£r(<r<«)'^ I t^P I àO
du
'^Vdu Qdu'^\Vdv Qdvjdu
et, en remplaçant -j- par sa valeur,
Si, dans le dernier terme, on met à la place de Q* et de P' les quantités égales PQ H- aHQ, PQ — 2 HP, cette équation devient
-.rflog («(•))< / dW àl{\ 9.H/ d? - dQ\
Calculons le dernier terme
Gomme on a
648 UVRE Vm. - CHAPITRE U.
il vient
Qu y -f 9v —^ -6G'-l- 2H(a'— v^)[q(u'' - v^Y-^ Ziu'v'^] — i&VLuv(\ -\- 5ii*v*),
et, en remplaçant G^ par PQ 4- U^,
en vertu de Téqualion modulaire (4o)f cette expression se réduit à
Qa ~j -4- Pi' !^ --ZI6PQ-I- ioH(a«- O'- On a ainsi
"^ §ir~^ --:64ai'(i-aV^)H- ^^ ^,
et, en remplaçant U^ et PQ par leurs valeurs (4^) et (43)» et tenant compte de l'équation modulaire,
'^^ du "" a» — v' ' rfa ■~4{a»— t^)»*
On en déduit
On obtient de cette manière la formule de transformation
ffx— X Ûi — ; J7* }- X^
(h^) g"' - ;,( , — uv'ï ' -^"^ t^(a' -ht'') [ <i^'
On arrive plus rapidement au résultat en se servant de l'une des équations (37). Parmi les relations qu'elle fournit, les deux premières sont
ÉQUATION MODULAIRE. 649
L'élimination des termes contenant y à la première puissance donne
on verra que le second membre est carré, et l'on fera le choix du signe en substituant dans Tune des deux relations.
Pour /i=3, l'équation modu>laire n'a pas de point double; pour n = 5, elle en a huit (n^ 413). Le produit PQ, donné par la formule (43), est nul en tous les points où deux racines sont égales; le second facteur u^ — v^ correspond aux points critiques, le premier u^ 4- v^ aux points doubles; mais l'équation (4o)» dans laquelle on fait ('^^ — u^^ se réduitha*-!- T — o, de sorte que le discriminant est ii*( ! — «•)*( I 4-i/')*.
Transformation du septième degré.
