L'équation modulaire (20) se mot sous la forme
Nous poserons
livrât, P=/(| - /) -{- /•,
d'où
On en déduit
(47) { ,/'^:=p,.('jz')i(i 11^:1),
a'SO LIVRE yill. - CHAPITRE U.
L'équation (35) nous donnera le rapport du second coefficient au premier. On a
,n .^rfl0g(a(•ÎV / ^P Q .\P-V« / ?P ûAP~M* ^P ^P
^ ^ du \ ;)a /P — tt* \ ^i' yP— V» Da ^v
en remarquant que
cette équation se simplifie et devient
Si l'on remplace (m* — t^*)^ par sa valeur
(«"— (;•)»=:( M» -f- y»)'— 4/»= (M»-f. (;« a/<)(||» 4- i;«-h 2/<) ^ [(, - t^y^ (I ty] [(I + ^)>-. (, - /)•]
on trouve
f/ log(^(°))^ 16 P— w" a— /-h 2/»
419. Nous connaissons lo dernier coefficient a^^^ = — ^, — a^®^ On en déduit, en remplaçant g^ par sa valeur tirée de l'équation (3i),
ÉQUATION MODULAIRE. 651
L'équalioQ (36) aous doDoera le rapport de l'avant-dernier coeltieient au dernier. On a
du du 2 du
a (P — (/•) yi -
au
=4(«-H-«>--aP)-8"'<'-'")^p-'"^w''^'";"''^''"""'^
= 4(" -^<^— aP) — 8-î^ '-
rflog(a(^))^ ^(P — mM'i — /-+- /')
du "" y «/(!—/)• '
et, pur suite,
n^^i I -f- M' . (f — f/'jfP- M»)(l — /-H /') /»— M»
On obtient ainsi les formules
â^"""~^' M«(i — /)' JI(ô~'"^*Ii5'
l aC> aC) a^»)
Pour n = 7, l'équation modulaire a seize points doubles; d'après la
troisième des formules (47) . ils sont donnés par l'équation i — /-+- ^^ = o;
puisque /' H- 1 == (/ -+- 1) (/*— / 4- i), on a /' = — i , et par suite,
a*H-f'*= 2/, u*v*= t^; on en déduit a^ = ç;"= /, d'où i — i/'-hu** = o.
Ainsi le discriminant est u*(i — u*)* (i — w* -f u*®)^
65â LIVRE Vm. — CHAPITRE n.
Équation différentieUe entre les modules.
420. Nous avoQS vu (n^ 279) qu'une période quelconque de l'intégrale elliptique de première espèce satisfait à Téquation différentielle linéaire du second ordre
(49) .\^-kl=o,
qui admet, par conséquent, pour intégrale générale | = aa> + bcù\ a et b étant deux constantes arbitraires. Si l'on pose Ç = kk^^^f cette équation devient
Considérons une autre solution a't^-^b'tù' de Téquation (49)» et posons
^ ûû) -f- 6a>' '
nous aurons, en vertu de la relation (35) du n^ 279»
^ i=(^*^ *^ H" rf* -^ rfjf j= ïjp^ — '
et, par suite,
dk Çr= — 2Tii{ab'—ba') --7-»
En substituant dans l'équation (5o), et laissant la variable indépendante quelconque, on obtient l'équation
(5i) ^dkd^k -3{d^kY 4- ("^^y dk^ =. (^y [2rfprf»p - 3(rf'p)M.
En appelant coi, c«)\ les périodes elliptiques relatives à un autre module kt9 et posant
ai 6), -f- o, w ,
ÉQUATION MODULAIRE. 653
on a de même
Lorsque les deux modules k et k^ varient simultanément, de manière que l'on ait constamment /o, = p, des deux équations précédentes on déduit Téquation différentielle du troisième ordre
""' î -<''**)-[(-ïr4^*)'-(^''*)>°-
La relation p^ = p^ qui est de la forme
' ' û), "" w -h Pto' '
a', |3\ |3 étant trois constantes arbitraires, en est l'intégrale générale. Les deux couples de périodes des fonctions elliptiques qui résolvent le problème de la transformation satisfont à une relation de cette forme (n^390); on en conclut, comme cas particulier, que Téquation modulaire, quel que soit son degré, donne une solution de l'équation (5a). (Jacx>bi, Fundamenia noya.)
654 UVRB Vin. - CUAPlTRfi Uh
