CHAPITRE III

U£SOLUTION DE l' EQUATION DU CINQUIÈME DEGRE

42t. Galois avait annoncé que, jusqu'à n = 1 1, le degré de Téquation modulaire peut être abaissé d'une unité. MM. Hermite et Betti ont donné de ce théorème deux démontrations basées sur des principes différents. Considérons une fonction symétrique ou alternée (f^a» ^p) ^^ deux racines de l'équation modulaire, puis la même fonction de deux autres racines, et ainsi de suite jusqu'aux deux dernières racines» et

désignons par U une fonction symétrique de ces- quantités; on dé-

montre aisément, a l'aide des lois de permutation établies précédemment, que, lorsque n ne surpasse pas 1 1, parmi les différentes manières d'associer les racines deux à deux, il en est pour lesquelles la fonction U n'acquiert que n valeurs pour chaque valeur de u et, par conséquent, satisfait à une équation du degré n.

Autour de chacun des points critiques, une racine (^^ reste holomorphe, et la racine associée ^'|i acquiert les n autres valeurs; la quantité [VoLf ^p) et, par conséquent, la fonction U prennent n valeurs, formant un système circulaire. Si cette fonction n'acquiert dans toute Tétendue du plan que n valeurs, il est impossible que deux de ces valeurs aient un élément commun (i'at^p); ^^r, par un chemin convenable, Vol devient égal à la racine qui reste holomorphe autour de l'un des points critiques; si deux valeurs de U avaient un élément commun (i^a, ^^y, sans être identiques, elles engendreraient deux systèmes circulaires de n valeurs chacun. On peut associer deux racines ^'a et vo^ prises à volonté; car, autour du point critique où {\ reste holomorphe, r^ acquiert les n autres valeurs. Dans une vah^ur de la fonction U, deux éléments ne peuvent présenter une même ditrérence d'indices, |)arce que, si l'on décrivait le lacet (0) un certain nombre de fois, l'un des éléments de-

RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ. 6îtô

viendrait égal à Tautre. Des qu'on a reconnu que le lacet (ao) fait acquérir à la fonction U les mêmes valeurs que le lacet (0), on est certain que cette fonction n'a que n valeurs dans tout le plan, les autres lacets se ramenant aux lacets (^o) et (0).

422. Ces considérations permettent de trouver aisément les modes favorables. Nous associerons les racines par différence, et nous ferons

le produit des quantités.

Pour /i = 5, si Ton prend comme premier facteur V — v^^ la combinaison

est la seule dans laquelle la différence des indices dans les derniers facteurs ne soit pas la même. Par le lacet (0), cette fonction acquiert les cinq valeurs

Ua = (V — C3)(C4 — fO(*'o — i'i), U, = ( V - fO (t^o - «'s)(«'. - t'O.

D*apres la loi de permutation écrite au n® 408, le lacet (a^) reproduit ces mêmes valeurs dans un autre ordre; on en conclut que la fonction U n'a que les cinq valeurs précédentes, et> par conséquent, qu'elle satisfait à une équation algébrique entre u et U,du cinquième degré en U. Pour /î = 7, il y a deux combinaisons favorables

(3) yi ^{\ - v.)(v, - v,)[v,- v.){v, - V,),

On les obtient de la manière suivante : sur le lacet (a^) la loi de permutation est (V, 9^, v^. Vj^. (^3, i^,, v^). Prenons comme premier facteur V — Vq, et comme second s^^ — ^a» p^i* exemple V2 — ♦'s • quand on décrit le lacet (a©), le produit (V — s^q) [v^ — ^s) devient [v^ — ç^©) (V — v^)\ le premier produit complété, devant reproduire le second après le lacet (0) parcouru une fois, contiendra le facteur v^ — ^o« qui donne

6»6 LIVRE Vm. - CHAPITRE III.

naissance à i^» — ç^, et, par suite, le dernier facteur sera v^ — ç^. Par le lacet (0), la fonction (3) acquiert sept valeurs; ces mêmes valeurs se reproduisent sur le lacet (ao); on en conclut que la fonction U satisfait à une équation algébrique entre u et U, du septième degré en U. La fonction (4) jouit de la même propriété.

Pour n = 1 1 , on a aussi deux combinaisons favorables

(5) U = ( V — v,){vt. — v,){Vi — c.) (c, — v,) ( c, — c) (^4 — Vf).

(6) U = ( V — c, ) ( c». — c) ( c, — cO (^'t — i'i) ( i'i — ^'i) { ^'i — «'4 ),

que Ton obtient de la même manière. Sur le lacet (^o) la loi de permutation est (V, i',, t'e» <*4t^t» ♦'»♦ ^2» ♦'8» ^19 ^5. ^lo)' On prendra comme premier facteur V — (^o ®^ comme second f^jo — f^a* Pour /* = i3, il n*y a pas de combinaison favorable.

423. De l'abaissement du degré de l'équation modulaire pour /i == 5, M. Hermite a déduit une méthode de résolution de Téquation du cinquième degré par les fonctions elliptiques (Comptes rendus, t. XVIII J. Formons l'équation du cinquième degré en U. Les valeurs de U étant finies pour toutes les valeurs finies de a, le coefficient de U' est égal à l'unité. Pour u = qo , les six valeurs de i^ sont infinies, Tune du degré 5,

les autres du degré ^ (n^ 408); les cinq valeurs de U sont infinies et

du degré -4-^ la somme des ordres négatifs de la fonction U étant égale

à 27, l'équation est du degré 27 par rapport a u (n** 135).

Pour les valeurs de u très-petites, les valeurs approchées de i^ sont

et, par conséquent, celles de U sont

n I s iSrA Sici c«i 6«l

(7) U. = a^5'aS U,^U,e^, U,= U.e'~, U,=U.e~, U,=U.«~.

Nous avons posé Ç = — ; posons de même