RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ

les coefficients de Téquatioa en | étant des polynômes entiers en u* (n^ 401 ), ceux de l'équation en 9 jouiront de la même propriété; les valeurs de 0 ne devenant infinies que pour u = o, cette équation est de la forme

U En remplaçant <t> par — et multipliant par i/', on obtient Téquation

Pour les valeurs très-petites de u^ les valeurs de U étant trës-petites du

degré ^j et formant un système circulaire, on a JS© = 9, a» = — 2*5%

8(^p— 9) -hi5/i>3, et, par suite, j3^~io — 2/1; nous prendrons |3^ = 10 — 2p. L'équation cherchée est donc de la forme

Si l'on considère la fonction

(U) = [(V)-(i..)][(v.)-(i^Ol[W-(M»

relative a la variable Ui = -) on a

^ ' V c, Vi i', V, C4 ' a«

puisque le produit des racines de l'équation modulaire (0^ 41 1 ) est égal à - u^. Ainsi l'équation (8) ne doit pas changer quand on y remplace u

par - et U par -^^ Mais, par cette substitution, l'équation devient

U* -f- V u?^* (Op 4- bp !*-• -h Cp ur'*) U'^-P -f- u»(fl^i -h c» «• -f- 6i «*'• -h a» W*) = o ;

658 UVRB Vm. — CHAPITRE Ul.

on en conclut qu'elle ne contient pas de terme en U^ et que Ton a

6) = Ct = 0, Cs = o, bi z=z Uif Cl =: a<* cf* = a»« c* = 6». L'équation se réduit à

Pour Ci == I Ja racine t^o de Téquation modulaire est égale à + 1 , et les cinq aulres à — i (n° 406); les cinq valeurs de U s'annulent; les polynômes en u, coefficients des diverses puissances de U dans l'équation (9), devant s'annuler pour a = j, on en déduit a^ = o, a, rr= o, 64 = — aa^, 65 ~ — ^5, ce qui réduit l'équation à la forme simple

(lo) \]' -i- a, u* [i — M»)'U-i- £i»aMi — w')'U H- w'J — o.

Nous connaissons le coefficient a,; il reste à déterminer le coefficient Uj^; nous suivrons la marche qui a été indiquée au n^411 pour le calcul de l'équation modulaire. Aune valeur réelle, positive et très- petite deu, correspond une valeur de p de la forme p = si^ s étant positive et trèsgrande et par conséquent une valeur deq réelle, positive et très-petite. En développant (p{p) en série et se bornant aux deux premiers termes, on a

V,— i^i — '2' sin -^^ \ » ^- 7 /» Vu — ^3 = i^ sm -V ? \ * "*" ? /»

En substituant dans l'équation (10), divisant tous les termes par y»,

Jpuis égalant à zéro le terme constant et le coefficient de y^, on

RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ. e.'^î^

trouve fls ~ - 2*5*^, a^ = —a* 5'. L*équalion cherchée est donc

(m) U*— a*5'tt«(i — w')'U — a«5'tt=»(i--«»)»(i-4-«')=:o.