CHAPITRE PREMIER
INTÉGRALES ABÉLIENNES.
426. Soit Y{œ^y) = o une équation algébrique et entière, irréductible, et du degré m par rapport à j^. A chaque valeur de x correspondent m valeurs dey. Lorsque la variable x part d'un point fixe j?ot jr ayant une valeur initiale ^o* ^^ décrit différents chemins qui aboutissent à un même point x, la fonction algébrique y acquiert m valeurs en ce point. Nous associerons à la variable x la valeur correspondante de y sur chaque courbe, et nous appellerons /^oiW analytique le système des valeurs de x et y. Nous dirons que deux courbes décrites par le point {Xf y) se coupent, lorsqu'au point d'intersection des deux courbes géométriques qui figurent la variation de x la valeur dey est la même. Le point analytique décrit une courbe fermée, ou un cycle (n^ 104), lorsque la valeur de j^ redevient la même au point de départ.
On a donné le nom d'intégrales ahéUennes aux intégrales définies
dx,
dans lesquelles (p{x,y) est une fonction rationnelle de x et y. Ces intégrales rentrent dans la catégorie de celles que nous avons étudiées dans le Chapitre lY du troisième Livre; car la quantité u = <p{x^y) est elle-même une fonction algébrique de x, satisfaisant à une équation du degré m par rapporta u.
Nous avons démontré (n'' 106} que, pour chaque valeur de x^ Tintégralc acquiert m valeurs, augmentées chacune de multiples quelconques de certaines périodes. Nous nous proposons maintenant de rechercher les intégrales auxquelles on peut ramener toutes les autres, quand Téquation F(a7,j) = o reste la même, et que la fraction rationnelle ff[x,y) est quelconque.
Nous mettrons d^abord l'intégrale sous la forme adoptée par AbeL Concevons que Ton opère une substitution du premier degré
ax' -^ a'/ 4- af'* ^ '^ ax' -Jf a' y' -f- (f '
l'équation proposée se transforme en une équation f{oo\y) = o, du même degré; désignons par m ce degré par rapport aux deux variables x' et y. Si Ton pose
et si Ton rend l'équation homogène en y remplaçant x' ety par —* '^» et multipliant par z"", on a
y dx' ^^ rf/^^ dz')"^
dx =
{ax'-^a'y-ha")
».J , ^/ri, 4/'
dy
Ln fraction <p (^^, r) est le quotient de deux polynômes entiers M et N; appelons /i le degré du dénominateur, n' celui du nun^érateur; après la substitution, on aura
M' et N' étant des polynômes entiers en x' et y, le premier du degré n\ l(î second du degré n. Si l'on pose maintenant
^^ [^ dx'^^ dy^^ dz')
N' [ux' -h a'x' -^ a")"'-"-*-'
INTÉGRALES ABÉUENNES. 063
l'intégrale prend la forme
Dans la nouvelle fraction rationnelle <^{x',y), le degré du numérateur surpasse de m — 3 unités celui du dénominateur.
427. D'après cela, étant donnée l'équation /(a;,y) =rr o du degré m par rapport a â? et à j, nous considérerons l'intégrale
(2) hi^yX)-^^
dans laquelle ^{oo^y) désigne le quotient de deux polynômes entiers MetN, dont le second est d'un degré quelconque n, le premier du degré /i H- m — 3. La substitution du premier degré nous permet de supposer que l'équation renferme un terme en y et un en af* ; les m valeurs de y conservent alors des valeurs finies pour toutes les valeurs finies de x, et deviennent infinies avec a?; nous pouvons supposer aussi que les m va<
leurs du rapport ~ restent finies et différentes, quand x devient infini;
chaque branche de l'intégrale conserve alors une valeur finie au point a: =z (x> sur la sphère, et reste holomorphe dans le voisinage de ce point; car la quantité i^=^ ux^ reste finie (n** 110).
On peut remplacer la fraction rationnelle ^ par une autre dont le dénominateur ne renferme que la variable x. Soient, en effet,
N == b.y "I- by)^-' ^ . . . -I- 6«.
les coefficients a et 6 étant des polynômes entiers en x, dont les degrés sont marqués par les indices. On sait que, si l'on élimine j" entre les deux équations/— o, N =^ o, le premier membre de l'équation résul-
lante X = o est le déterminant
Oo ai €h
o Oo ai
60 hi 6,
o b^ bt
• • • Om ■ • • O
• •• ••• ••• Ogt
C'est un polynôme entier en x du degré mn. Si Ton multiplie les éléments de la première colonne verticale pary""*"""* ceux de la seconde pary"^""^,..., ceux de Tavant-dernièrepary, et qu'après les avoir ainsi multipliés on les ajoute à la dernière, on remplace cette dernière colonne par
sans changer la valeur du déterminant; mais alors ce déterminant, ordonné par rapport aux éléments de la dernière colonne» se compose de deux parties» contenant en facteur» Tune/» l'autre N» et Ton a
Xr=A/-+-BN.
Les polynômes A et B sont les déterminants que l'on obtient en remplaçant dans le déterminant X la dernière colonne par Tune ou l'autre des deux suites
7 > /~ > • • • > '» ^ï • • • > Oi o» ordonnés par rapport à j, ils sont de la forme
A = A./»-' -h A.JT"' -+- . ..-\-An-iy
Les coefficients Aa et B^, qui sont, au signe près» les sous-déterminants relatifs aux éléments de la dernière colonne, sont des polynômes entiers en a: du degré (m — 1) (/* — i) 4- A, et, par conséquent» les degrés des
INTÉGRALES ABÊUENNES. 665
polynômes A et B sont respectivement mn —m etm/i — n par rapport aux deux variables a? et j.
Cela posé, si Ton multiplie par B les deux termes de la fraction ^^ 9
on aura, en vertu de la relation (3), et en tenant compte de Téquation
M- BM BM
N "" BN "" X *
Le dénominateur de la nouvelle fraction ne contient plus que la variable 07. Le numérateur est un polynôme entier en x et j^, du degré mn -f- m — 3 par rapport à ces deux variables, mais seulement du degré // 4- 2//Î — 4 par rapport* à/; nous le représenterons par
en indiquant par des indices les degrés des coefficients.
428. Il est clair que l'équation/— o permet de réduire ce polynôme au degré m — 1 par rapport h j, sans changer le degré total; soit
On peut même le réduire au degré m — 2. On a, en effet,
X',n«-a BM — Jy ^^ \fnn — iy"*~^ 4- X,wnJ^~*~*" • • • "l- A.mn-hm — 3 = ">
et, par suite,
J X/; ""j m^.x'^^^jx/;
En faisant abstraction de la première intégrale, qui s'exprime par une quantité algébrique et le logarithme d'une quantité algébrique, on a à considérer l'intégrale
OGO LIVRE IX. - CHAIUTRE I.
dans laquelle le déDominateur X est un polynôme entier en x du degré mn, et le numérateur H un polynôme entier en x et j du degré mn -f w — 3 par rapport a ces deux variables, mais seulement du degré m — 2 par rapport à y.
Si Ton divise par X les coefficients X^„, X^,;,^,,.. du polynôme H, à partir du second, en ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de a?, on aura des quotients Cq, c,, Cj,..., c,„3 de degrés marqués par les indices, et des restes Ro, R, , . . . , R,„3 du degré mn — i . En posant
on a ainsi
et l'intégrale (4) se partage en deux parties
Chacune des fractions rationnelles — ^^' ^^'" ^® décompose en
une somme de fractions simples de la forme ; — -. ^ A étant une
constante et a une racine du dénominateur. La seconde intégrale se
décompose donc en intégrales telles que
G étant un polynôme entier en j, indépendant de a?, et du degré m — 2.
Intégrales abé Hennés de première et de seconde espèce» 429. Considérons la première des intégrales (5), savoir
HT
Le polynôme Q, du degré m S en x et j, renlerme -~
INTÉGRALES ABÉLIENNES. fifi7
coefficients; on peut donc ramener toutes les intégrales (7) à
— - - intégrales particulières de cette sorte. Parmi ces inté-
grales, il en est qui conservent une valeur finie sur toute la sphère; ce sont celles-là que Ton appelle intégrales de première espèce. D'après ce que nous avons dit au n° 427, les m valeurs dey restent finies pour toutes les valeurs finies de x^ et le point x —00 est un point ordinaire pour la fonction V; il suffit donc d'examiner ce qui a lieu quand//:=: o, c'est-à-dire aux points où plusieurs racines de réquation/= o deviennent égales entre elles. Soit (rc, ,y,) un point où n racines de l'équation/= o sont égales ày, ; posons x =^ x^ -\- x\ y='y\ 1-7'. Dans le cas particulier où la dérivée /* n'est pas nulle, on a f n^ 33)
les n racines égales forment un système circulaire et sont représentées par la série
on en déduit
La fonction u= jr'^ placée sous le signe somme, étant une quantité
Jy
infiniment grande d'un degré inférieur à l'unité, l'intégrale conserve une valeur finie, mais elle acquiert n valeurs dififérentes, quand la variable tourne autour du point critique (n° 107).
En général, les n racines égales se partagent en plusieurs systèmes circulaires représentés chacun par une série de la forme
y rtr: t;„ x' l' -\' V^ x' " I' -»-
Si Aj'*a?'P est le premier terme du premiergroupedansréquation(n*' 34), /est, par rapport à a?', un infiniment petit du degré a^ :- ^, et, par
conséquent,/,' un infiniment petit d'un degré ( a — i ) - H- 13, égal ou supé-
rieur à l'unité. Supposons que dans le numérateur Q = Q, -H Ik'y'^^' x'^'
on ait remplacé y par sa valeur; pour que l'intégrale reste finie, il fau-
(Ira égaler à zéro le terme constant Qi et les coefficienfs de tous les termes dont les degrés sont inférieurs ou égaux à (a — i ) - -4- (]3 — i).
Chaque point double k tangentes distinctes donne la seule condition Q^ = o. On obtiendra ainsi un certain nombre de relations linéaires entre les coefficients du polynôme Q; si m' est le nombre des relations distinctes, il restera m, = (^"~'H^--^) ^^ coefficients arbitraires; ce
sera le nombre des intégrales de première espèce. Pour toutes ces intégrales, les points critiques sont ceux de la fonction algébrique y^ définie par réquation/(a?,y) =o; les mêmes cycles donneront leurs périodes; nous avons vu (n^* 111 et 242) que le nombre des périodes distinctes, pour chacune d'elles, est au plus égal à2(/? — i) — a(/w— i). Outre ces intégrales toujours finies, nous en prendrons m' autres, que nous choisirons de manière que chacune d'elles satisfasse aux m' équations de condition, excepté une; ce seront les intégrales de seconde espèce. La première satisfait aux m' conditions, excepté la première; la seconde aux m' conditions, excepté la seconde, et ainsi de suite. Chacune des intégrales de seconde espèce ne devient infinie qu'en un point sur la sphère.
Intégrales abéliennes de troisième espèce.
430. Dans l'intégrale (6), la lettre a désigne un paramètre arbitraire, et y un nombre entier quelconque, cette intégrale étant la dérivée d'ordre q par rapport à ce paramètre de l'intégrale
on peut se borner à étudier cette dernière. Le polynôme G, indépendant de X, et du degré m — 2 en y, contient m — i coefficients; on a donc m — 1 intégrales de la forme (8). Mais nous considérerons le cas plus général où G est un polynôme entier en x et j, du degré m — 1 par rapport à ces dewx variables. Par une substilution entière et du premier degré, analogue à une transformation de coordonnées, nous mettrons la droite x — a = o sous la forme aa? -f- ]3j -+-7 = 0; l'inlé-
INTÉGRALES ABÉLIENNES. 669
grale devient alors
Nous assujettirons d'abord le polynôme G à satisfaire aux conditions nécessaires pour que Tinlégrale conserve une valeur finie aux points critiques relatifs à la fonction algébrique y; il restera un certain nombre de coefficients arbitraires. La droite arc 4- jSj' h- 7 = o :;oupe la courbe /— o en m points (^mJi)» (^2»J'2)»- • (^//i»J//i); nous assujettirons en outre la courbe G = o, qui est du degré m— -a, à passer par m — 2 de ces points, par exemple parles m— 1 derniers; de cette manière, la fonction Y ne deviendra infinie qu'aux deux points {^i*yi)f (^3«/2)» <iui sont des pôles simples delà fonction u placée sous le signe somme, et des points critiques logarithmiques de l'intégrale (n® 108). Telles sont les intégrales de troisième espèce.
On peut ramener toutes les intégrales (9) à m — i intégrales particulières de troisième espèce. Soient en effet G, ^ o, G2 = o,..., G;;,, = o des courbes particulières du degré m — 2, satisfaisant aux conditions relatives aux points critiques, et passant par tous les points d'intersection de la droite ax -^^y -h '^ = 0 et de la courbe / = o, excepté deux, savoir : la première, par tous les points, excepté le premier et le dernier; la seconde, par tous les points, excepté le second et le dernier, et ainsi de suite. Si G est un polynôme quelconque du
degré m— 2, on peut déterminer les constantes A,, Aa, , A;„^,, de
manière que la courbe
G — Ai Gi — Aa Gj — ... — Aw-i G«i i '= o
passe par tous les points d'intersection, excepté le dernier; il suffit pour cela de prendre
le premier membre de l'équation est alors décomposable en facteurs, et l'on a
G - A. G. - Aa G, ~ . . . - A«, G« , — (ajr -h (3/ -*- y ) H,
H étant un polynôme entier en x et j, «lu degré m — 3. Si Ton appelle V,, Vo V;;, , les 772 - I intégrales de troisième espèce, qui
correspondent aux polynômes G,, Gj,. . ., G^. ,, on en déduit
Toutes les intégrales (9) se ramènent donc \k m — \ intégrales de troisième espèce, et à des intégrales de première et de seconde espèce.
431. Considérons une intégrale de troisième espèce (9], telle que la courbe G = o passe par tous les points d'intersection de la droite (XX 4- /3j -}- 7 =:= o avec la courbe /~ o, excepté les deux premiers (^it J'i)» (^2» Jj)- Afin de rendre les polynômes homogènes, concevons que l'on remplace x et j par 7 et 7; les coordonnées d'un point quelconque de cette droite pourront être représentées par
à l'aide d'une variable t. Les points d'intersection de la droite et de la courbe /==o sont donnés par l'équation
qui se réduit à
1/, -h w, / 4- . . 4- Um-\ r~-^= o,
puisque les coefficients Uq et u,rj sont nuls. Les points irintersection de la droite avec la courbe G = o sont de même donnés par l'équation
Il faut que ces deux équations admettent les mêmes racines, et, par conséquent, que leurs coefficients soient proportionnels ; en multipliant G par une constante convenable, on pcul faire en sorte que ces coefficients soient égaux. On aura alors
Vi r, i'm-x
tii Ui iim-\
et, par suite.
LNTÉGRÂLES ÂBÉUENNES.
Nous mettrons l'équation de.la droite sous la forme
