Considérons les intégrales (i i) ; on a

D^[x*X) = "'^«^^'J" + ii^D./ = - mx^'y'-i- '— D,

la quantité placée entre parenthèses est un polynôme degré 3n + /n — i , que nous représenterons par

INTÉGRALES ABÉLIENNES. HT.i

on en déduit, par Tîntégration

r x^"-^"'-' dx ^ rx-"'^'^Ulx ^ rdx

et la première intégrale s'exprime à Taide des autres. On ramène ainsi toutes les intégrales (n) à celles dans lesquelles l'exposant est plus petit que 2/1 — 1, c'est-à-dire aux 2/1 — 1 intégrales

Pour que l'intégrale conserve une valeur finie sur toute la sphère, il est nécessaire et il suflit que l'exposant soit inférieur ou égal h /i — 2; il y a donc n — i intégrales ultra-elliptiques de première espèce, savoir :

, ,, rdx rxdx r x^dx r

D'après ce que nous avons dit au n^ 113, le nombre des périodes pour cbacune d'elles est a /i — 2; nous remarquons qu'il est double de celui des intégrales de première espèce. Les /i intégrales suivantes sont de seconde espèce.

Les intégrales (12) sont les dérivées par rapport au paramètre a de l'intégrale de troisième espèce

Cette intégrale conserve une valeur finie sur toute la spbère, excepté aux deux points d'intersection de la droite Jî:=a avec la courbe (lo). Soit b l'une des valeurs dej pour x = a; les deux points critiques sont (a, 6), (a, — 6); la partie principale de l'intégrale

est log(a7— a) dans le voisinage du premier point, et — log(ir— ^) dans le voisinage du second point.