RELATION ENTRE LES PÉRIODES DE DEUX INTÉGRALES ABÉLIENNES
Relation entre les périodes de deux intégrales abéliennes
de première espèce.
434. Appelons U et V deux intégrales de première espèce, relatives à une même équation algébrique /(a?, j) ~ o du degré m. Le point 0' sur la sphère étant un point ordinaire, Tintégrale fVdY^ prise sur l'un quelconque des circuits, U et V étant les valeurs des intégrales comptées à partir de Torigine de ce circuit, est nulle (n^ 111). L'ensemble des m circuits donne donc l'équation
y f\idy = o.
Considérons les/> lacets binaires de première espèce
qui se rapportent à un système circulaire de p racines se permutant autour du point critique a, et les p circuits
dans lesquels entrent respectivement ces lacets (n° 112). Cherchons la partie qui, dans le premier membre de l'équation (i), correspond à ces lacets (Oa). Sur chaque circuit, un élément mm' de la droite Oa est parcouru deux fois, dans des sens contraires. Nous désignerons par r/V^^, dNg^,... les valeurs de d\ sur Télément /wm', quand la variable x décrit la droite Oa, la racine j ayant en 0 Tune des valeurs initiales
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Xg.^yg^ Sur le circuit (C):;, quand on arrive a Tentrée du lacet (a)J;.
l'intégrale U a acquis la valeur llj;; sur la droite Om elle augmente ensuite de la quantité U^., de sorte qu'elle a en m la valeur U;; + U;;, et l'élément mm' donne l'élément différentiel (Dr 4- U'") dY„ . Quand variable a?, après avoir décrit un petit cercle autour du point critique a, dans le sens positif, revient en m, la fonction U a une autre valeur U'; en achevant le circuit, on aurait
U' H- u^ 4- u^: :-: o, d'où u'^-u;:-i-u;;.
dV ayant sur i?wi' la valeur — dV' on a le second élément différentiel (U'; — lig")d\g^. Ainsi le circuit (C):; donne, pour l'élément- wm' de la droite Oa, les deux éléments différentiels
(u::-f-u:;)rfv,„-i-(u;;-u,:)rfv,.;
le circuit (G)*; donne, pour le même élément mm\
(uf;-f-u::;)rfv,. + (u;;-urjrfv,.,
et ainsi de suite; enfin le circuit (C)*'':; donne
En ajoutant ces résultats, on obtient la partie qui dans la somme (i) se rapporte à l'élément /Tim', savoir:
(2) (uî: 4- lilr) dw,. + (uî; -h u::) rfv,. -f- . . . + (us-; -^ u;;::) cA^,^...
Posons
135; 4- u,*: = A^ uï; -f u;; =- a:;, . . . , uï; -h vlr =- hlr ,
et remarquons que ces quantités sont les valeurs de l'intégrale U, relatives aux lacets de seconde espèce [a')\\, (a')';,..., (a');^,, décrits dans le sens négatif (n^ 112); la quantité précédente se réduit à
(5) a:: rfv,. -h a:; rfv„ -»-...-»- A:r * rfv,,.
11 faut considérer maintenant les éléments successifs de la droite Oa,
676 UVRK IX. — CHAPITRE U.
c*est-à-dipe intégrer de 0 à a. Si Ton appelle A^,, ^^.f- ï^s valeurs de l'intégrale V, relatives à la droite Oa, quand la racine y a en 0 Tune des valeurs initiales y^,, /^.•..., on obtient la quantité
La somme des valeurs de l'intégrale U, relatives aux /> lacets binaires de seconde espèce étant nulle, on a
et la quantité (4) devient
(5) -a::(A,.--a,j--a;;(/i,.-/ij-...-a:;:;(a,.-VJ.
Nous désignerons par a\\^ ûf^î»---» <^%.y '®s valeurs de l'intégrale U, relatives aux p lacets binaires de première espèce, et par 6j;, 6^;,.. ., 6^,;;^ celles de l'intégrale V, relatives aux mêmes lacets, décrits dans le sens positif; comme on a
K - K^ = ( A,„ - A,. ) 4- ( A,. - A^, ) = 6S; 4- 6f : , Texpression (5) se met sous la forme
Telle est la partie qui, dans la somme (i), correspond à un système circulaire de racines. Chaque système circulaire donnant une quantité analogue, on aura l'équation
(7 ) -- 2 [a:; b^: -(- a:; ( m; 4- 6^;) -h ... 4- a:; ; (6^: 4- 6^-h . .4- ft;î':;)] :- o,
le signe 1 s'ctendant à tous les systèmes circulaires de racines.
Cette équation peut être mise sous une autre forme. En intégrant par parties et remarquant que les valeurs des intégrales U et V sur
ti
INTÉGRALES ABÉLIENNES. 677
chaque circuit sont nulles, on a identiquement (8) IfVdV-^-l/ydU.
Si Ton désigne par B;;, B'; , B^'^- les valeurs de l'intégrale V relatives aux lacets de seconde espèce, décrits dans le sens négatif, on obtiendra l'équation (7) sous la forme
435. Nous allons faire voir que Ton peut transformer cette équation, de manière qu'elle ne renferme plus que les périodes de l'une et l'autre intégrales. Après avoir choisi un système de lacets fondamentaux de première espèce, appelons U,, U2, . ., V,, Va,.. . les valeurs des intégrales U et V, relatives aux lignes fermées composées uniquement de lacets fondamentaux et conduisant de la racine yo à chacune des autres j,,y.2, .., Jm-|. A chaque lacet binaire de première espèce correspond un cycle simple; nous désignerons par x^; et ift,^; les valeurs des intégrales U et V, relatives au cycle simple dans lequel entre le lacet binaire (a)^;. Ces intégrales sont nulles, lorsque le lacet binaire est l'un des lacets fondamentaux; dans le cas contraire, ce sont des périodes de l'une et de l'autre intégrales» Comme on a ift^^; ~ V^^ -1- bli — V^,, l'équation (7) devient
~ 1 [M: <; -h a:; « H- inf:) -F . . . -t- a:; ; « -t- <; ^ . . -h <;:;)]
La quantité Y^se trouve dans les parties relatives à différents systèmes circulaires, dans toutes celles où un lacet binaire de première espèce permute la racine déterminée/^ en une autre; mais nous avons vu (n® 112) qu'aux lacets de première espèce, qui permutent la racine y^ en une autre, correspondent les lacets binaires de seconde espèce, qui entrent dans le circuit de seconde espèce (C)^; la somme des quantités A, par laquelle est multiplié Vo, est donc nulle. La seconde partie étant identiquement nulle, l'équation précédente se réduit à sa première partie, c'est-à-dire à
(lo) 1 [a'::< + a':: «; -^ 10,^:) ^ . . .-f- «':;;:; «: + <; ^. . .+ <:;)] =. o.
Considérons maintenant les cvcles formés chacun de lacets fondamcDtaux et d'un lacet de seconde espèce; on a, comme précédemment, Jol'' = Ua,-H a'4'— Ua,, et l'équation précédente devient
(2 [x'^Mbi: + -< (îK>i: +<;)+...+ ^X-', «; + ik>I: + •• . + <:; )]
La quantité U» est multipliée par toutes les quantités ifb, relatives aux cycles simples qui se rapportent aux lacets de première espèce correspondant aux lacets de seconde espèce qui permutent la racine /« en une autre; mais ces lacets de première espèce forment le circuit de première espèce (C);. Ce circuit pouvant être regardé comme la réunion des cycles simples, la somme des quantités b par laquelle est multipliée Ua est nulle. Ainsi la seconde partie est encore identiquement nulle, et Féquation (i i) se réduit à
(i2)2[x'*^<+x^";(<4.<)h-.,.4.cA.7,:;(<+<
elle est de la forme
(ù et (ù' étant des périodes de Tune et Tautre intégrales.
Relation entre les périodes d'une intégrale de première espèce
et d'une de troisième espèce,
