Soient {Jig

ces deux intégrales. Nous supposerons que Ton puisse joindre les deux points logarithmiques (^mJ'O, (^aija) pa<* une ligne qui ne coupe

aucun des lacets relatifs aux points critiques algébriques «o» ^i>

Dans ce cas, nous formerons un nouveau lacet avec cette ligne, deux petits cercles décrits autour des points logarithmiques, et une ligne Oh

INTÉGRALES ABÉLIENNES. 679

allant de l'origine à un point de la ligne x^x.^* Dans le cas contraire, on introduirait deux lacets nouveaux unissant l'origine à chacun des points logarithmiques. Chaque circuit enveloppe tous les lacets. Les valeurs des deux intégrales étant nulles sur chaque circuit, l'équation (i) subsiste. Le lacet {x\x^) n'entre efiectivement que dans un circuit; quand la variable x décrit ce lacet, l'intégrale V acquiert sur

ftg. 8a.

les petits cercles x^ et x^ les accroissements — 2711 et -f- ini, et, par conséquent, reprend à la fin du lacet la valeur qu'elle avait à l'entrée; ce lacet ne modifie donc en rien les parties de la somme qui se rapportent aux autres lacets. Il suffît d'y ajouter la partie fournie par ce nouveau lacet; les lignes Oh et x^x^. étant parcourues deux fois avec des valeurs de UrfV égales et de signes contraires, ne donnent rien dans la somme; il reste à considérer les deux petits cercles rc, et X2\ le premier donne — aTriU^.,, le second -f- aTriUa-,» ensemble 27ri(Ux,— U^,), ou 2m l \/U, l'intégrale étant prise le long de la ligne x^Xz* On a donc l'équation

(i4) > «&)' f-27:/ / Ju — o.

Relation entre les périodes de deux intégrales de troisième espèce.