Soient

r Gdx __ r G'dx

ces deux intégrales. 11 faut considérer deux nouveaux lacets (rr, rra), (x\x\^) unissant, l'un les deux points logarithmiques de la première

intégrale, l'autre ceux de la seconde. Nous supposerons que les deux Jignes XiX2, oc^x^ ne coupent pas les lacets relatifs aux points critiques et ne se coupent pas entre elles.

L*équation (i) subsiste encore. Les nouveaux lacets ne modifient pas la partie qui se rapporte aux premiers lacets. D'après le raisonnement

du numéro précédent, le lacet {x^x^) donne inii \/U; la seconde forme de Téquation (8) montre que le lacet (^1^:2) donne de même -— ini\ * dy. On a donc l'équation

(i5) \ 0)0)' f 271/ / {IV — 77:11 rfV=:o.

Application aux intégrales elliptiques, 438. Considérons deux intégrales elliptiques

Jq J t/o J

Tune de première espèce, l'autre de seconde espèce (n® 273). Supposons que les lacets relatifs aux quatre points critiques a^, a,, a^, a,, qui

correspondent aux valeurs ^- i, r? — r, — -. de la variable a?, se succèdent dans Tordre positif, et que le rayon 0/du circuit passe entre les points Uq et a,. Sur les deux circuits, la valeur initiale de j étant — i, les fonctions U et V ont au même point des valeurs égales et de signes contraires, et, par conséquent, Tintégrale /UrfV a la même valeur.

Elle devient infinie avec x\ car, si Ton pose a; ~ -,, et si l'on développe en série suivant les puissances croissantes de x\ on a

dx l,x^ '

INTÉGRALES ÂBÉLIENNES. 681

d'oii Ton déduit

Le point 0' sur la sphère est pôle de celle dernière fonction. L'intégrale relative à chaque circuit, décrit dans le sens positif, est rp» c® qui

fait pour les deux circuits — "^-^ tel est, dans ce cas, le second

membre de Téquation (i). Chaque lacet ne fournit qu'un seul terme, et le premier membre, sous la forme (7), est égal à

quantité qui se réduità — 2(a^,6| — a,6o) et par suite à — a(wa)', — «'o),); on retrouve ainsi la relation obtenue au u^ 273,

439. L'intégrale elliptique de troisième espèce, telle qu'elle s'est présentée d'abord, est donnée par la formule (16) du n^ 275; nous la mettrons sous la forme

j3 étant la valeur qu'acquiert y lorsque la variable 00 va de l'origine 0 au point a par un chemin déterminé Oa^y ayant au point 0 la valeur initiale + i. Cette intégrale admet quatre points logarithmiques, savoir les deux points (a, d= p) et les deux points (— a, ib /3). Quand la variable X tourne autour de chacun d'eux dans le sens positif, l'intégrale éprouve les accroissements ± ni, =p ni. Joignons les deux points géométriques a et — a par une ligne qui ne coupe aucun des lacets relatifs aux points critiques algébriques, et complétons le lacet qui enveloppe ces deux points par le chemin déterminé Oa.

Si U est l'intégrale de première espèce, et Y une de troisième espèce, l'intégrale /U^V, conservant une valeur finie quand x devient infinie, est nulle sur chacun des deux circuits. Le lacet qui enveloppe les deux points (a, |3), (— a, |3) entre dans l'un des circuits; le même lacet, considéré comme enveloppant les deux points (a, — ]3), (—a, — |3), entre dans l'autre circuit; ces deux lacets donnent d'ailleurs des termes égaux. En désignant par 2 8 et e' les périodes de Y fournies, comme celles de U, par les deux cycles formés, l'un des deux lacets (a^) et (a,), l'autre des deux lacets (a,) et (ao), on a l'équation

Pour préciser, nous supposerons que la ligne déterminée Oa passe entre les points ai et a^, ce qui est toujours possible, quelle que soit la position du point a, et nous appellerons a la valeur de l'intégrale de première espèce, quand la variable x décrit la ligne Oa, avec la valeur initiale y=i. Si l'on considère le cycle formé par la ligne qui joint les deux points a et — a, la ligne Oa et une ligne symétrique allant de l'origine au point -^ a, on a

0 J OC •/— a

d'où

et l'équation précédente devient

(i8) we'— &)'(e — Tzi) -- ir,ai.

Le même raisonnement s'applique au cas où U est l'intégrale de deuxième espèce, Y étant toujours une intégrale de troisième espèce. L'intégrale /Uc?V conserve encore une valeur finie, quand x devient infinie, et l'on obtient l'équation

(19) 'u,e'— w, (e — tt/) = 27riÇ(a).

INTÉGRALES ABÉLIBNNES. 683

Des deux relations précédentes, on déduit

(20) g — -—-iw 4-7:1, e'=-^&)'i

440. Considérons maintenant deux intégrales elliptiques de troisième espèce

Joignons les points a et — a, a' et — a' par des lignes qui ne coupent pas les lacets relatifs aux points critiques algébriques et qui ne se coupent pas entre elles. Si Ton appelle 2£, et i\ les périodes de la seconde intégrale, relatives aux deux cycles précédents, ou a l'équation

— 2(e€, — e'e,)-4- 27ri / rfU— 27:1/ rfV=o.

Supposons que le lacet {oc) précède le lacet (a'); avec une disposition convenable de ces lacets, et en raisonnant comme précédemment, on obtient

/a pot, /»a' /»a'

dV = 2l c/V-e.-jri, / rfU=2/ rfU - e',

et l'équation devient

f r" dU-a7ri r*rfV = ie-7ri)e',-e'(e,-7ri)-f-tr%

27ri

OU, en vertu des relations (20),

21) r'^rfU- r"rfV=z*»[«Ç(a')~a'Ç(a)]~^.

L'intégrale (17), exprimée à l'aide de la variable z, est

c'est celle qui est donnée par la formule (ao) du n" 275; nous la dési

im LIVRE IX. - CHAPITRE 111.

gnons par In lettre ts, afin de la distinguer de Tintégrale n{z,a) considérée par Jacobi. L'équation (21) devient

Elle effectue la permutation du paramètre et de l'argument.

On passe d'une forme k Tautre, en remarquant que Ton a identiquement

el, par suite,

X'(fl)

(.5) IJ(^'«) = -(^'«^7)-^tS

L'équation (24) montre que les périodes 26)2et oj, de l'intégrale lï{z,a), fournies par les deux cycles (««) -h («3), (a,) 4- (a©) sont égales à celles

de l'intégrale rslz, a -h ^ ]» augmentées respectivement des quantités

— •ici)DalogX(rt), — w'D«logX(rt); ce sont précisément celles qui sont données par les formules (a3) du n*' 275.

THEOREME D'ABEL. 68S