CHAPITRE III
THÉORÈME D*ABEL
441. Une courbe ç(a?,j) = o du degré n coupe la courbe/(^, j) = o du degré/71 en mn points, quenous désignerons par (?n>}|), (Ç2»>?2)»-.. Une autre courbe ^{cc^y) ~o du degré n coupe de même la courbe /=o en mn points (^', , io\)f (C'a, yi\),.... Joignons ces points deux h deux par des lignes ^i^^, |2?'2»-- fl"' "^ ^^ coupent pas, c'est-à-dire telles qu'au point d'intersection des deux lignes géométriques figurant la variation dex, la valeur dey ne soit pas la même. A Taide de chacune des lignes S,^\ de deux petits cercles décrits autour des points ^ et ^' et d'une ligne 0^ unissant l'origine 0 à cette ligne ^^', nous formerons un lacet enveloppant les deux points ^ et S,'; nous aurons mn lacets de ce genre. Soit
Nous supposons d'une manière générale que les lignes analytiques qui forment les lacets (^Ç')» le lacet (XfO:?,), et ceux relatifs aux points critiques de la fonction algébrique j de x, ne se coupent pas. Sur chaque circuit, enveloppant tous ces lacets, l'intégrale /U //Y étant nulle, on a, pour l'ensemble des m circuits, l'équation
(r) 2/UrfV=r.-2/VrfU=^o.
Quand la variable x décrit Tun des lacets (£^'), la fonction U, éprouvant aux points Ç etÇ' les accroissements -f- 2niei — 27ri, reprend à la fin du lacet la valeur qu'elle avait à l'entrée; de même, la fonction Y sur le lacet {xiX^). Il en résulte que ces lacets n'ont pas d'influence
sur la parlic de Tintégralc qui se rapporte aux lacets relatifs aux points critiques de la fonction algébrique; cette partie sera donc de la forme 2ww', (0 et 0)' étant des périodes des deux fonctions U et V (n® 435); mais, quand la variable x décrit un cycle, les fonctions entières 9 et (ji
reprenant leurs valeurs primitives, la fonction log-^ éprouve une variation égale à 'xm'ni, m' étant un nombre entier; l'expression ZciXd'se réduit ainsi à la forme 2Kilm ta'.
Le lacet (07,073), d*aprës ce que nous avons dit au n^ ^SB, donne le
terme 2ni l 'rflog^- De même, d'après la seconde forme de Téqua-
tion, chaque lacet (|^') donne un terme 27:1 j dW. On obtient ainsi l'équation
(5t) se rfV-H r 'rflog J-4-Vm'a)' = o,
qui constitue le théorème d'Abel, dans son acception générale.
442. On peut associer les points | et §' deux h deux, de manière que tous les nombres entiers m' soient nuls. On sait, en effet, que, si Ton fait passer une courbe du désiré n par un certain nombre de points pris à volonté sur la courbe /— o du degré m, les autres points d'intersection en résultent. Lorsque n est plus petit que m, le nombre n' des points
que Ton peut prendre à volonté est égal à -^ '•, la courbe du degré ai
est alors déterminée; mais, lorsque n est égal ou supérieur h tw, ce nombre
est égal a rnn — *, il est moindreque celui qui est nécessaire
pour déterminer la courbe. A n' points S,, ^a»---» ?// d'intersection de la courbe y — o avec la courbe /=rro, faisons correspondre ^'points pris h volonté parmi les mn points d*intcrscction de la courbe ^j/ = o avec/-T=o, désignons-les par %^, 2'2,..., ?'„ , et joignons-les aux précédents par des lignes arbitraires Çi?',, So^'o,.... ?//?!,•» avec la restriction indiquée. Sur ces lignes prenons des points ^"j, Ij»- • • » Ci* voisins respectivement des points?,, £3,. .., £,/; par ces iï! points nous pourrons faire passer une courbe o/' ■-- o du degré n et dilférant tros-peu de la courbe 9 — 0;
THÉORÈME D ABEL. 687
cette courbe coupe la courbe/=o en mn — n! autres points £^.^,, C'4-.»---> Crtn» voisins respectivement de £,/4- m S,/^.,,.. ., ?;„;,. Sur les mêmes lignes on prendra ensuite des points ë*^, ^,. . •> C voisins respectivement de ^j, 2*2'- • •» ^n'f et l'on fera passer par ces points une courbe 9"' = o du degré n et différant très-peu de la courbe 9" = o. Cette courbe coupera/= o en d'autres points Ç^,^,, ^^r+,,. . ., £^,,, voisins respectivement de C + .» C^ »»• • •» ?m/,» et ainsi de suite; on passera de la sorte, par une déformation continue, de la courbe 9 à la courbe tj/. La série des points Çn/^-i, C+i» C+i»--- formera une ligne continue unissant le point Ç,/^., de la courbe 9 à un certain point ^„r^. de la courbe ^\ de même la série des points 2„'^2» C'4-,» C + »»«- formera une ligne unissant le point |a/+2 ^^ 1^ courbe 9 à un certain point ^/i'-*.> de 1^ courbe t|/, et ainsi de suite. De cette manière, la corrélation des mn — n autres points § et ^' est déterminée : elle résulte de celle adoptée pour les n' premiers points.
Lorsque ij; = 9, la fonction lôg j reste constante sur chaque cycle,
et par conséquent sa variation est nulle; les nombres m' sont nuls. Lorsque la fonction ^ diflère très-peu de 9, le rapport^ différant peu
de l'unité, l'intégrale 1 rflog^ sur un cycle différera peu de la précédente, si elle en diffère; et, par conséquent, le nombre entier m! est encore nul. On pourra continuer de cette manière tant que les lignes ^§', en s'allongeant, ne rencontrent pas les lacets relatifs aux points critiques» ou le lacet [oc^x^). Avec ces restrictions, l'équation (2) se réduit à
Le même raisonnement s'applique à l'intégrale abélienne de première espèce; le lacet (^, x.^) n'existant plus, l'équation se simplifie et devient
(4) ' V r dW==o.
La somme des valeurs de l'intégrale relatives aux diverses lignes qui
088 UVRE IX. — CHAPITIIE Ul.
joignent les points d'intersection des courbes/ et 9 aux points d'intersection des courbes/ et <{;, de la façon indiquée» est nulle.
Dans ces deux derniers Chapitres, nous avons mis à profit l'ouvrage de MM. Glebscb et Gordan que nous avons déjà cité (n'' 113).
Addition des intégrales elliptiques.
443. La formule de l'addition des intégrales elliptiques de première espèce est une conséquence de cette loi générale. La courbe /=o est
(5) x'= (' - ^') (» — '»"'-^'; ~ I -- (1 -f- /(^)j:^-hk*x\
Les points d'intersection de cette courbe et de la parabole
(6) jr=2 px^ r- gx -^ i
sont donnés par l'équation du troisième degré
(7) (/>'— /r*)ar'-f- 2pqx^-h{q^ -^ np -h i -h k*)x -h ^q = o,
abstraction faite de la racine x = o. Appelons œ^^ x^^ x^ les trois racines de cette équation, et ji, y^, y, les valeurs correspondantes Ae y données par l'équation (6). On peut déterminer les constantes/; et q de manière que deux des racines x^ et x., aient des valeurs données; la troisième x^ sera alors fonction des deux premières. De l'équation (7) on déduit
.y. .2^1-1- Xt ~\- X^
' / • ty <•• /»•
d'où
, , ^, -f- ^, x\ — x\ x,y\ -t- XtXx
^' pxx Xt — 1 XiVi — X2)\ I — h^x] x;
Supposons que la courbe ^ soit la parabole (G) et la courbe 9 la parabole particulière j — - ,,- '^' i- '» pour laquelle a;, -- X2 — o,
THÉORÈME D'ÂBEL. 6d9
et, par suite, ^3 = o. On a, d'après Téquation (4)»
' rfV -f- / dW h \ dy = o,
ou
(10) Z, -h Z2 -h Zy r- O.
La relation (9), sous sa dernière forme, donne la première des formules (1) du n^ 318, savoir
444. Si y est une intégrale elliptique de seconde espèce, on a approximativement, pour les valeurs tr^s-grandes de x,
y^T=i±kx\ 9 = ^ x^y ^^=:{±:lf — p)x^— qxj
^ vp ±k — p X k
les deux circuits donnent 27:i-rrr — i» ensemble 2711 . ^ ,» ou, d'a-
k[kzç:p) k^— p^
près Téquation (7), sTria^ia^sO?,; le second membre de Téquation (4) est alors égal à a?i 072^39 et Ton a
(12) / rfV-f- / rfV-f- / rfV = ^,X,^„
ou
en vertu de la relation (10), c'est Téquation (24) du n^324.
445. Considérons enfin le cas où V est une intégrale elliptique de
troisième espèce, mise sous la forme (17), adoptée au n® 439. D'après
l'hypothèse faite sur la position de la ligne Oa, le lacet qui unit le
point (a, |3) au point (— a, /5) entre clans le premier circuit, et donne
puisque (p{— a, fi) = 9(«, |3). L'autre lacet entre dans le second circuit, et donne de méuie
L'équation (3j devient donc Évaluons le dernier terme. On a
^'(afW^'C— «»—?)=(/>«'+ 0'—(P—?a)'-=2 jap4-(2/i~flM- I 4-AV»-(p'-- '*')«*
= iqa P ( — 4- ~ -f- — 4- j ) a .
L X\XtX^ \Xx Xt Xi y j
De la relation y^ = /la^g i y a^j 4- i , dans laquelle on remplace p par sa valeur (8), on déduit
I I I x^xo'i— x]
X\ X% X^ XyX^X^
il en résulte
On a de même
-K- «, p) |(«. - p) - - -'-^^ [«'- xj + i^' («jr.+ *.|3)T
.77, .xTjJïa | a j
TUËORÈME DÂBEL. 691
et, par suite,
^^(«>P)^^(-«,-P)^'"^ oc a}-x\ ^ '"^X(fljX(a + z,)
vi/(— «, P).v|;(a, — P) j:,x, an^-iTaP X(z,)X(z,)
Od obtient ainsi la relation
(.5) »ll(z.) + CT(a.)-HCT(z.)=.-IOg^ i- \;^^^;^(^)
X(a)X(rt-»-z, + «,) d'où l'on (léduil facilement l'équation (a8) du n° 325.
