Exemple VIII. — Considérons Téquation

EXE^fPLES DE FONCTIONS ALGÉBRIQUES. 73

La dérivée partielle du premier membre par rapport h u étant égale h 5w' M — I (t — z^) 9 l'équaiion admet des racines égales lorsqu'on a,

soit M = o, et par suite z = o on z - Jz i, soit w = ^ (i — 5*), et par

suite :; ==t î; ce dernier cas rentre dans le précédent. Pour z =r o, l'équation a une racine simple ?/« = i et quatre racines égales a zéro; les valeurs approchées de ces quatre racines sont

la quantité a vérifiant l'équation a* = - ï^; les deux racines m, et m,

se permutent autour du point 0, de même u^ et m,, ce qui donne deux systèmes circulaires. Pour z ^ ±: i, l'équation admet cinq racines égales à zéro; si l'on pose :; — i 4- :;', on a

les valeurs approchées des racines, dans le voisinage du point 2=1,

sont données par la formule m = ^ /|*s'*; elles forment un système cir-

culaire de cinq racines se permutant autour du point critique. Les racines, étant respectivement égales pour des valeurs de z égales et de signes contraires, se permutent suivant la même loi autour du point s = — I. Il y a donc trois points critiques, l'origine 0 et les deux points a et b qui correspondent à s = dz i [fig. 32).

Si l'on fait z =- — ? u - : —^ l'équation devient

s il

Pour 5' ~ o, les cinq valeurs de a' sont égales a zéro. En posant w' = vz'-, on met l'équation sous la forme

74 LIVRE I. — CHAPITRE ÏH.

pour z' = o, Téquation admet une racine double s^= — 7 et trois racines

simples. En posant (^ = - ^ -j- ç^', on reconnaît aisément que les deux valeurs infiniment petites de t^' restent monotropes autour du point z' = o. On en conclut que sur la sphère le point 0' est pôle relativement à chacune des racines.

Il s*agit maintenant de voir dans quel ordre les racines se permutent autour des points critiques a et b. De Torigine comme centre

Fig. 35.

avec un rayon trës-petit, décrivons un cercle. Nous distinguerons les racines par leurs valeurs approchées

i/p — I, w, z=r az% u^- —ociz^y M3 - -«2% u^ — (xiz^y

au point initial z^ situé sur Taxe Ox à une très-petite distance du point 0. Le lacet [a) est formé d'une droite et d'un petit cercle, le lacet [b) d'un demi-cercle ^z© ^^{^ d'une droite et d'un petit cercle autour du point ft, le lacet (0) du cercle z^mz^nz^-, de cette manière, les lacets se succèdent dans l'ordre (a), (6), (0). Quand la variable js, partant du point jSot décrit le lacet [a) une première fois, dans le sens direct, la fonction u passe de la valeur initiale u^ à une autre que nous représenterons par

(x,z\ a étant une certaine racine de Téquatiôn a* ~ — ~ Je dis maintenant que, si la variable z décrit le lacet (a) plusieurs fois successivement dans le sens direct, les racines se succéderont dans l'ordre Mq» ^^o W2» Wsf W4. En effet, au lacet (0') sur la sphère correspond dans le plan un circuit enveloppant les trois points critiques et se ramenant par conséquent à la suite des trois lacets (a), (i), (0); le point 0' n'étant pas critique, la racine prise comme valeur initiale doit se reproduire à la fin du circuit. Or, si l'on part du point z^ avec la valeur initiale u^^ après le lacet (a) on a m, ; la demi-circonférence ^0 ^^^i change u^ en u^ ; le lacet (s, h) devant ramener en z^ et par conséquent en z^ la première

racine i/o, il est nécessaire que la racine u^ soit la cinquième du système circulaire. Nous avons donc à clioisir entre les deux dispositions

«0, W., W3, Ihy W4.

La seconde ne convient pas; car si Ton part du point z^ avec la valeur initiale i/f, on aurait 1/3 après le lacet [a), 11., après le demi-cercle Zq/wz,, W4 après le lacet (:?, 6), M| après le demi-cercle 5, twjs^, u^ après le lacet (0), et la valeur initiale iit ne se reproduirait pas. Avec la première disposition, on a lu après le lacet (a), w, après le demi-cercle Zf^mz^, Mo après le lacet (x;, i), w^ après le demi-cercle :;< mz^^ a, après le lacet (0), et la racine initiale w, se reproduit. Ainsi le lacet complexe (a) est l'assemblage des cinq lacets binaires positifs

(«)i, («)î, i«)i, (^Oi> («):•

Le lacet (6), dont Torigine est aussi en Zq^ se compose du demicercle z^mz^y du lacet (:;, b) symétrique du lacet (^o^) par rapport au point 0, et du demi-cercle z^ mz^^. Les valeurs de u étant les mêmes en deux points symétriques, la permutation s'eflfcctue sur le lacet (s, b) comme sur le lacet [zou). On part du point z^ avec la valeur initiale Uq ; après le demi-cercle z^ m^,, on a en z^ la même valeur Uq; le lacet (2, b) change «o en m,, et cette racine, après le demi-cercle z^ mz^^ devient u^. En décrivant le lacet [b) une seconde fois, on revient en z^ avec la valeur u^ ; le lacet [z^b) la change en Wj» et, après le demi-cercle z^mz^^ elle devient 1/3, et ainsi de suite. On obtient de la sorte les cinq lacets binaires positifs

Le lacet (0) est neutre relativement à la racine </o; n^^is il unit les racines u^ et 2/3, u^ et 1/4. Il est Tassemblage des deux lacets binaires (0)?, (0)*.

On peut former le système des lacets fondamentaux de bien des manières, par exemple avec les quatre lacets (a)i, {ci)\, [(^)\* (^)î, ou bien avec les quatre lacets (a)J, (a);, (0)J, (0)$. Dans ce second

76 LIVRE I. - CHAPITRE lU.

mode, les chemins qui conduisent de la racine u^ à toutes les autres sont (n° 39)

v;---(fl);, vj^(^): + (a)î, v; = (a);4-(0)î, v: = (a);-4-(a);-f-(0);.

Exemple IX. — Considérons enfin la fonction définie par l'équation algébrique

{u — ai){u — a^) . ,{u —am) — z=zo.

Quand la variable z décrit une circonférence ayant pour centre l'origine, le produit des distances du point u aux m points fixes a^, a,, . . . , Ufn reste constant, et ce point décrit une cassinoïde à m foyers. Quand le point :; décrit une droite partant de l'origine, le point u décrit une courbe telle, que la somme des arguments des droites qui vont des m foyers b chacun des points de la courbe est constante. Les deux séries de lignes décrites par le point z étant orthogonales, les deux séries de lignes correspondantes décrites par le point u sont aussi orthogonales. En particulier, lorsque le polynôme est du second degré, les deux séries de lignes orthogonales se composent de cassinoïdes a deux foyers et d'hyperboles équilatëres.