FONCTIONS DÉFINIES PAR DES SÉRIES
CHATRE PREmER.
PROPRIÉTÉS DES SÉRIES ORDONNÉES SUIVANT LES PUISSANCES ENTIÈRES ET CROISSANTES DE LA VARIABLE.
48. Lemme. — Lorsquon multiplie les termes d^une série convergente^ ayant tous ses termes positifs, par des nombres positifs inférieurs à un nombre déterminé, on obtient une nouvelle série convergente.
Soit
£io 4- «1 4- a, -H . . .
une série convergente ayant tous ses termes positifs; si l'on multiplie les termes de cette série par les nombres positifs
Oo, Oi, Ojf • • • 9
plus petits qu'un nombre déterminé B, on obtient une nouvelle série convergente
En effet, soient S;, la somme des n premiers termes de la première série, S'„ la somme des n premiers termes de la seconde série, on a S^ < BS„; mais la somme S„ est moindre que sa limite S; on a donc S'„ < BS, et par conséquent la seconde série est aussi convergente.
49. Théorème 1. — Étant donnée une série ordonnée suivant les puis-
sances entières positives et croissantes d'une variable imaginaire, si, pour
une valeur de la variable dont le module est r\ les modules des termes de
la série sont moindres quun nombre déterminé, la série sera convergente
pour toutes les valeurs de la variable dont le module est plus petit que r\
(Abel.) Soit
la série proposée, dans laquelle z désigne une variable imaginaire, Uo, i/f,... des coeflicieuts réels ou imaginaires. Appelons a^^ ai,... les modules des coefficients. Nous supposons que les modules
des différents termes de la série, pour une valeur de z dont le module est r\ sont plus petits qu*un nombre déterminé B. Donnons à la variable une valeur dont le module r soit plus petit que r\ et considérons la série convergente
si nous multiplions les termes de cette série respectivement par les nombres
moindres que B, nous obtiendrons, en vertu du lemme précédent, une nouvelle série convergente
Ainsi, pour toute valeur de z ayant un module plus petit que r\ la série des modules est convergente, et par conséquent la série proposée est elle-même convergente.
Cercle de convergence.
50. Imaginons des valeurs croissantes du module pour lesquelles les modules des termes de la série conservent des valeurs finies, c'est-à-dire restent moindres qu'une quantité déterminée; ou ces valeurs croissantes
augmentent à Tinfini, ou elles tendent vers une limite R. Dans le premier cas, la série proposée est convergente pour toutes les valeurs de z; car, soit r le module d'une valeur quelconque attribuée à 5, les modules des termes de la série conservant des valeurs finies pour un module r' plus grand que r, la série est convergente pour cette valeur de z. Dans le second cas, la série est convergente a l'intérieur du cercle décrit de l'origine comme centre, avec un rayon égal h R {Jig* 33); car, si Ton
Fig, 33.
attribue à la variable z une valeur ayant un module r inférieur h R, les modules des termes de la série conservant des valeurs finies pour un module r' plus grand que r, mais plus petit que R, la série est convergente pour cette valeur de z. Pour tous les points situés à l'extérieur du cercle R, les modules des termes augmentant à l'infini, la série est divergente. Ainsi la circonférence R partage le plan en deux régions : pour tous les points situés à Tintérieur du cercle, la série est convergente; pour tous les points situés à l'extérieur, elle est divergente. C'est pourquoi nous donnerons a ce cercle le nom de cercle de convergence. Une série ordonnée suivant les puissances entières et croissantes de la variable définit donc une fonction finie et monotrope dans le cercle de convergence.
Sur la circonférence R elle-même, il y a incertitude : si, pour le module R, les modules des termes ne tendent pas vers zéro, la série sera divergente sur toute la circonférence; si, pour ce même module, les modules des termes tendent vers zéro, la série peut être convergente ou divergente sur toute la circonférence, ou bien convergente en certains points, divergente en d'autres.
Rémarquons qu'en chacun des points situés à l'intérieur du cercle de convergence non-seulement la série proposée est convergente, mais encore la série des modules de ses diiTérents termes.
80 LIVRE lî. - CHAPITRE I.
Exemples. — i** La série
mi •)
est convergente dans toute l'étendue du plan. 2** La série
est convergente dans le cercle de rayon i; sur la circonférence, les modules des termes étant égaux à Tunité, la série est divergente. 3** La série
est aussi convergente dans le cercle de rayon i; sur la circonférence, la série des modules des termes étant convergente, la série est elle-même convergente.
4** La série
IH 1 h — -h. . .
est convergente dans le cercle de rayon i ; sur la circonférence, on voit immédiatement qu'elle est convergente au point z~ — i, divergente au point s = 4- 1; on démontre d'ailleurs qu'elle est convergente sur toute la circonférence, excepté en ce dernier point. 5° Si l'on considère la série
et si Ton attribue à z une valeur quelconque différente de zéro, les modules des termes augmentent à Tinfini; il en résulte que la série n'est convergente que pour z - o; dans ce cas, le rayon du cercle de convergence se réduit a zéro.
51 . Théorkme II. — La fonction définie par une série ordonnée suivant les puissances entières positives et croissantes de la variable est continue dans le cercle de convergence.
La série
Uç-h UiZ -h UiZ^ -h ' * '
étant convergente dans un cercle de rayon R, appelons /(s) la somme des termes de la série pour une valeur quelconque de z située à Tintérieur du cercle de convergence. Soit (p{z) la somme des n premiers termes de la série, et ^(:;) le reste; nous aurons
De Torigine comme centre, avec un rayon R' un peu plus petit que R, décrivons un cercle. On peut assigner une valeur de n telle que, pour cette valeur et pour toutes les valeurs plus grandes, le module du reste
^{z) soit plus petit qu'une quantité très-petite donnée ^9 quelle que
soit la position de la variable z à Tinlérieur du cercle R'. Il suffit, pour cela, de prendre n tel que Ton ait
ce qui est possible, puisque la série
«o-f- fliR' -+ . . .
est convergente. Pour tout module r plus petit que R', on aura, à plus forte raison,
ce
Le module du reste ^{z), étant plus petit que cette somme, sera lui-
même moindre que ^
Supposons maintenant que nous donnions à la variable deux valeurs voisines z et z' situées à Tintérieur du cercle R', la fonction prendra les deux valeurs
doot la différence est
Le polynôme entier (p{z) du degré n— i étant une fonction continue de la variable z, on peut assigner un nombre p tel que, pour toutes les positions du point z' k Tintérieur du cercle décrit du point z comme centre avec un rayon égal à p, la variation f(^')""?(^) ^^ poly-
nome ait un module plus petit que ^- Mais les modules des restes ^{s^')
et ^{z) sont déjà plus petits que 1^ donc la variation /(s') --/{z) aura
un module plus petit que a pour toutes ces positions du point z'\ c*est en cela que consiste la continuité. Ainsi la fonction, définie par la série» varie d'une manière continue dans l'intérieur du cercle de convergence.
52. Lehme. — 5f l'on prend les dérivées des différents termes de la série, on/orme une nouvelle série convergente dans le même cercle que la première.
Soit la série
f[z] -— W, -f- UyZ -+- UiZ- -+-...
convergente dans le cercle de rayon R. Nous allons démontrer que la
série
«, -\- 2UiZ -\- 3^82'+ . .,
que Ton obtient en prenant la dérivée de chacun des termes, est convergente dans le même cercle. De l'origine comme centre, avec un rayon R' un peu plus petit que R, décrivons un cercle, et donnons à z une valeur dont le module r soit plus petit que R'. Si l'on multiplie les termes de la série convergente
respectivement par les nombres
qui tendent vers zéro, et qui par conséquent sont inférieurs à un nombre fixe B, on obtient une série convergente
Ainsi la nouvelle série est convergente dans le même cercle que la
plus petit que R — /• et par suite r -f- p plus petit que R, la série
est convergente. Développons les puissances du binôme r -h p et disposons les termes en un tableau analogue au précédent :
cr, -»- o H- o -f- o -f- . . ,
fl, r H- rt, p -h o ^- o -+-... ,
(?.)' 'i rt,r'+ 2rtjrp -f- rt,p' -l- o -h..-,
a^r^ -h Srtjr'p -f- 3^3 rp' -f- a^p^
Appelons S;„ la somme des m premiers termes de la série (i)', S la limite vers laquelle elle tend, quand m augmente indéfiniment. Les m premiers termes d'une colonne verticale quelconque du tableau (a)' appartenant aux m premières lignes horizontales, leur somme est plus petite que la somme des termes de ces m premières lignes horizontales, c'est-à-dire plus petite que S,;, et, par conséquent, plus petite que S; cette somme tend donc vers une limite, quand m augmente indéfiniment; ainsi chaque colonne verticale, prise à part, constitue une série convergente. Désignons par b^, b^p, b^p^^... les sommes des diverses colonnes verticales, et considérons la série
(3)' 6«-i- ft.p -4-6,p'H-
Appelons S'„ la somme des n premiers termes de cette série. Généralisons le raisonnement que nous avons fait précédemment; les m premiers termes des n premières colonnes verticales appartiennent aux m premières lignes horizontales; leur somme est plus petite que la somme des termes de ces m premières lignes horizontales, c'est-à-dire plus petite que S;„, si in est plus grand que n, et par conséquent plus petite que S. Si, laissant n fixe, on fait augmenter m indéfiniment, on en conclut que cette somme tend vers une limite plus petite que S; mais cette limite est précisément S'„ ; la quantité S'„ est donc plus petite que S. D*autre part, cette quantité S'„ est plus grande que la somme des n premiers termes des n premières colonnes verticales, c'est-à-dire plus grande que S„. La somme S'„ , étant comprise entre S„ et S, tend
vers une limite égale a S, quand n augmente indéfiniment. Ainsi la série (3)' est convergente et a même somme que la série (i)'.
Revenons maintenant au tableau (2). Nous remarquons d'abord que les termes d'une même colonne verticale, ayant pour modules les termes correspondants du tableau (2)', forment une série convergente. Nous avons désigné par 绩» ^i'*> ^a^^»-- 'es sommes des diverses colonnes verticales; ces quantités ayant des modules respectivement moindres que les termes de la série convergente ( 3) ', la série ( 3 ) est elle-même convergente. Appelons 2„ la somme des n premiers termes de la série (i), 2'„ celle des n premiers termes de la série (3); la différence 2^— 2;, est égale à la somme des termes des n premières colonnes verticales du tableau (2), à partir de la /i 4- 1'^"*^ ligne horizontale; le module de cette différence est moindre que la somme des modules des termes, c'est-à-dire moindre que S'„ — S„; elle tend donc vers zéro, quand n augmente indéfiniment. La somme 2„ tendant vers la limite/(z -h A), on en conclut que la somme 2'„ tend vers la même limite. On a donc
On déduit de là
f[z -\- h) —fiz) ^,. , ^„, ,A
Le second membre de cette égalité est une fonction continue de h; quand h est très-petit, il diffère très-peu de/'(5), et quand h tend vers zéro d'une manière quelconque, il tend vers /'(:;). Ainsi le rapport de l'accroissement de la fonction à celui de la variable tend vers une même limite, de quelque manière que l'accroissement de la variable tende vers zéro, et par conséquent la fonction /(5) a une dérivée qui est représentée par la série /'(s).
De tout ce qui précède, on conclut qu'une série ordonnée suivant les puissances entières, positives et croissantes d'une variable, définit une fonction holomorphe dans le cercle de convergence.
