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Concevons que l'on remplace chaque terme par son module; les lignes horizontales étant convergentes et, de plus, la série
LA PONCTION e. 111
formée par les sommes de ces diverges séries lii^éaires, étant elle-même convergente, on conclut, d'après le premier lemme, que le tableau des modules est convergent. En vertu du lemme lY, le tableau proposé est aussi convergent; on peut l'évaluer par lignes verticales; la fonction 0(z] sera alors représentée par une série
ordonnée suivant^Jes puissances entières, positives et croissantes de la variable z^ et convergente quel que soit z. On en conclut que la fonction monotrope Q(z) est continue et admet une dérivée, en un mot qu'elle est holomorphe dans toute l'étendue du plan (Livre II, Chapitre I). Remarquons que les coefficients iif, //,.. .., ^ indices impairs, sont nuls.
70. Throrèmk IIT. — La fonction Q{z) est paire et simpUmeiU pério' digue.
Remplacer ^îpar[— z dans l'expression
revient à permuter dans la série les termes qui correspondent à des valeurs de /i égales et de signes contraires; on a donc
Chacun, des termes de la série étant périodique et admettant la période 2ni, la fonction Q{z) est elle-même périodique et admet la même période; on a donc
71 . ThéorAme lY . — La lettre m désignant un nombre entier quelconque, on a
(4) 0(z4-ama): . 6-'"(-^"'«>0(i).
En effet, nous pouvons mettre la fonction 0(;;) sous ia forme
(5) &{z)-^e-^' XJ-'"*"""'
nz= —
Si l'on remplace z par z -\- 'xma^ on a
0(s -+- amrt)- f'-'"^'"^'^^^ " \
d'où Ton déduit la relation [l\).
En particulier, pour m = i , on a
(6) 0(2 H- 2rt)r^tf-('-*->0(5).
72. Théorème V. — La fonction Q{z) s' annule pour toutes les valeurs de z comprises dans la formule
(7) z- {am 4- i)7:/-h (7.m' -h i)/ï,
dans laquelle m et m' sont des nombres entiers quelconques.
On a, en adoptant la forme (5), et désirant parmi un nombre entier fixe.
nz= — y.
Les deux exponentielles sont égales et de signes contraires, lorsque la différence (a w — /Wi ) (2 — /nia j des exposants est un multiple impair de Tzi; on satisfait à cette condition, quel que soit n, en posant /n, = 2/n'-f-i et r -- /n, a — (2m-M);ri; chacun des termes de la dernière somme étant alors nul, la somme est nulle. Ainsi la fonction 0(2) s'annule pour chacune des valeurs de z représentées par la formule (7). Nous démontrerons plus tard que ces valeurs sont les seules qui jouissent de cette propriété.
La fonction 6(js) est paire; elle admet la période d), et, quand on rem-
place z par z -h (û\ elle est multipliée par l'exponentielle e - *'"*"" . Elle s'annule pour les valeurs
(4) ^-r (am-f i)- +-(2m' i 0 — ?
que l'on déduit de la formule (7) du n° 72.
74. On peut, k l'aide de cette fonction Q{z), former d'autres fonctions holomorphes reprenant la même valeur ou une valeur égale et de signe contraire, quand on remplace z par z + co, et jouissant de la
propriété d'être multipliées par l'exponentielle e ** *'^^ affectée du signe H- ou du signe —, quand on remplace z par z-i cù'. Considérons, en effet, la fonction
Pour que (f{z -\ co) -- '••■ (p{z), il est nécessaire que la constante ]3 soit de la forme fi ■■-- 7 b étant un nombre entier. On a
— -■- i > J ■♦ w » ?« ■ ln-t ]
pour que l'exponentielle ait la valeur voulue, il faut que la constante 2a — btô' soit de la forme aoj, a étant un nombre entier; d'où
<x -- a- f- 6-'^ • En attribuant aux nombres entiers a et b les deux
valeurs o et i, nous obtiendrons quatre fonctions holomorphes, que nous désignerons par des signes particuliers ; les autres valeurs donneraient les mêmes fonctions multipliées par des facteurs constants. Nous poserons
Ces dernières formules montrent que les trois fonctions Oi{z)^ ^(^)* Oaiz) sont paires, et que ôi{z) est impaire. D'après les formules (5), qui définissent les fonctions 6^ et la formule (4)f les zéros de ces quatre fonctions sont
zéros de Oi{z), z -. ~ '- -+- (mw -f- m'o/),
, , , zéros de 0(j5), z---. f- (mo h- m'o'),
zéros de 63(^5), z^^ - ^-{/n(î) -t- m'w'),
ma
\ zéros de 6i(a), z ■ moi ■+- m'»'.
75. Il résulte des considérations précédentes sur la formation de la fonction 91(2) que l'on a •
■ e>{Z'hm)^--9,{z), j Ô(z-t-(a)-9{a), I e,{z-(-w) = -e,(3),
e,{Z-htù)-- T 0,(z);
