XI

e,{z-'^fù')— -e - e,(z},

e{z -4 «'):^ tf^^e(2),

7Kzi

On a plus généralement, en vertu des formules (7),

a/ransi

ôi{z-i- m(ù' ) — q- '"'■ fi "" ô,(z),

zmcci

(laj

' niTzi

Qt(z-^m(ù')- -q-'^'e " e,(«),

amvsr

et(z-[-mùV)-(—iY'q""'e - 6,(2),

Les trois fonctions elliptiques.

76. Il est aisé de reconnaître que les rapports des quatre fonctions 6 deux à deux sont des fonctions mérdmorphes doublement périodiques. Ces rapports sont au nombre de douze; mais il suffit de considérer trois d'entre eux, les rapports de trois des fonctions d à la quatrième, par

exemple ^^ ^% -^\ les autres seront les réciproques de ceux-lk, et leurs

quotients deux à deux. On obtient ainsi les trois fonctions auxquelles on a donné le nom Ae^ fonctions elliptiques, et que nous désignerons par les symboles X, /x, v, savoir :

La première fonction est impaire, les deux autres sont paires. Elles deviennent toutes trois infinies pour les valeurs de z qui annulent le dénominateur; chacune d'elles s'annule en même temps que son numérateur. On détermine les constantes A, B, C de manière que X(-) = i, |ul(o) = I, v(o) :- i; il en résulte

Ces trois constantes dépendent de deux rapports; nous poserons et nous aurons

(a). La fonction X. — D'après les relations (lo), on a

X(« H-W)rii — X(Z),

LES FONCTIONS ELUPTIQUES. 119

et par suite

et, d'après les relations (i i),

Mz -h(ù')-^'k(z).

Ainsi la fonction X(z) admet les deux périodes 2ûj, w', et Ton a, d'une manière générale,

m et m' étant des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs. Nous appellerons /?om^Ao/nofo^Me5 les points compris dans la formule z -h 2mw -H m'ci)'; par exemple, les points 2mcù -f- /w'w' sont homologues de l'origine.

Voici comment on peut représenter cette double périodicité. Dans le plan sur lequel est figurée la variable z, marquons, d'une part, les points îia),4w,... {Jig. 39); d'autrepart, les points ûj', aw',.... Les pre-

Fig. 39.

miers sont situés sur une droite oa et à égale distance les uns des autres, et de même les seconds sur une droite ob ; par les premiers points menons des parallèles a oZ», et par les seconds points des parallèles à oa; ces deux séries de parallèles divisent le plan en parallélogrammes égaux, et leurs points d'intersection sont les points 2m oa + m'o)' homologues de l'origine. La double périodicité consiste en ce que la fonction reprend la même valeur aux points homologues de ces divers parallélogrammes. Les zéros et les infinis de la fonction sont distribués uniformément dans le plan; nous avons indiqué les zéros par des points

120 UVRE n. - CHAPITRE IV.

ronds, les infinis ou les pôles par de petites croix. Il y a deux zéros et deux infinis dans chaque parallélogramme; par exemple, le parallélo-

gramme oacb renferme les deux zéros o, co, et les deux infinis - « h ck).

La fonction impaire X(z) présente une grande analogie avec la fonc-

TZZ

tion sin — 9 par rapport à la période aco.

[b). La fonction [i. — D'après les relations (10) et (11), on a

fM(z-\-'ji)--. — ij.[z), fx(z4-w')^ - fJ^(z)f et par suite

Ijl(z +- 2w) - ijl[z), fjt(z -î- &» -î w') - fjt(s).

La fonction admel les deux périodes 2Cùf (» + &>'. Le parallélogramme Oaed [fig. 40), relatif à cette seconde fonction, a un côté

commun Oa avec le parallélogramme Oacfr relatif à la fonction X; l'autre côté Orf joint l'origine au point w -4- «' situé au milieu de 6c. Il y a encore deux zéros et deux infinis dans chaque parallélogramme; par

exemple, le parallélogramme Oaed renferme les deux zéros - ? — et

les deux infinis — h «, — h 2co.

La fonction paire /x(z) présente une grande analogie avec la fonction cos — ) par rapport a la période aw.

(c). Lafonctix)n v. — Puisque v{z -f- w) = v(jz), v(24-w') = — v(s), et par suite v(2 + 2^') = v(z), la fonction admet les deux périodes 6),

12â LIVRE II. - CHAPITRE IV.

[ ' \" -'■ -â ) '-' ~^/le,(z)- kHz)'

(=o) jf^(--^,-)--'V7.^ê,u)= * XdV

/ m'\ . -p 0,(2) .fx(2).

i '^V 2 / y k e,{z} /,• fi(z)

En faisant z = o dans les relations précédentes, on a Les constantes

(23) 0,(o) = i-f-2^9-, ^0(o)i-^n-2y(-i)v/«', O.(o)^ay/'"' ')

dont on obtient les valeurs en faisant jz =■ o dans les séries (8), ne dépendent que de la quantité ^r =- e *- , et par conséquent du rapport —

des périodes. Il en est de même des constantes k et k' définies par les formules (17).

Telles sont les propriétés les plus simples des fonctions elliptiques. Nous compléterons cette étude quand nous aurons établi les théorèmes généraux qui nous sont nécessaires.