CHAPITRE PREMIER

78. La considération des intégrales définies, quand la variable passe par une suite de valeurs imaginaires, est due à Cauchy [Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires, 1825. — Comptes rendus de V Académie des Sciences, 1846). Elle marque l'un des plus grands progrès de l'Analyse mathématique; elle constitue, comme nous le verrons, une méthode féconde pour l'étude des propriétés des fonctions.

Théorème I. — Soit f{z) une fonction continue, quand la variable z décrit une certaine courbe Zq Z {fig* 4 2) ; si l 'on prend sur la courbe des points intermédiaires z^, z^,. , . ^ 2^-0 l^ somme

tend vers une limite déterminée, quand on augmente indéfiniment le nombre des points de division, de manière que chacun des arcs tende vers zéro.

Le point z = x -i- yi décrivant la courbe z^Z, on peut regarder x et y comme des fonctions continues 9i(/), 92(/) d'une variable réelle / croissant de t^ à T; de cette manière, la variable imaginaire z est une fonction de la variable réelle t,

12i LnUE ÏIÏ. — CHAPITRE I.

Nous supposerons que chacune des fonctions réelles y, (/), 9a(0 adii^et une dérivée. Pour fixer les idées, on pourra prendre pour variable réelle

Fig. 4i.

auxiliaire / la longueur de l'arc de courbe comptée a partir du point z^^; les dérivées 9i(/), (p'^iO désigneront alors les cosinus des angles que la tangente à la courbe fait avec les axes 0^ et Oy. Appelons /,, /a,..., /„-! les valeurs de t qui correspondent aux différents points de division marqués sur la courbe. Les fonctions 9i(/), ?2(0 ^y^^^ des dérivées, on a

ej, et êJ', tendant vers zéro en même temps que /, — /o- On en déduit

£0 étant une quantité imaginaire, qui tend vers zéro avec /, — f^^. On a de même

7 T — (T / . ■■ "" qW / '^ -U ? 1

les quantités s, ê„, tendant respectivement vers zéro avec les différences /j— ^ i' — ^n-\' La somme (r) devient ainsi

Nous remarquons d'abord que la seconde partie a pour limite zéro; car, si Ton appelle M le maximum du module de la fonction f{z) sur la courbe SoZ, et s le plus grand module des quanlilés So» s,. . . , i,,. ,, le

LES INTÉGRALES DÉFINIES. liti

module de cette parenthèse est moindre que Mc(T— /«). Quant a la première partie, si l'on pose

,hz)o'(l) -.à(t)^iyM).

elle se décompose en deux

Tune réelle, Tautre imaginaire, et les deux sommes placées entre parenthèses ont respectivement pour limites les intégrales définies réelles

F.a somme (i) tend donc vers la limite

cette limite est ce qu'on appelle l'intégrale définie

/ f(z)dz,

prise le long de la courbe z^^Z.