Corollaire I. — D'après ce que nous venons de dire, on a

Corollaire H. — Si Ton appelle c», c,, .c,,,, les longueurs des cordes qui sous-tendcnt les arcs z^z^, r, So, . , z„. , Z, et / la longueur de la courbe i^oZ, le module de la somme (ij est plus i)olit que

on a donc

(3) mod. / f\z)dz ;M/.

• Il

126 LIVRE III. — CHAPITRE ï.

80. THEORicME II. — Si l'on change de variable en posant z = ?(»')»

on a

(4) f'f{z)<lzr--f'f(z)Cf'{z')dz'.

On suppose que la fonction 9(2') est continue quand la variables' décrit une certaine courbe z'^Z\ et que, de plus, elle admet une dérivée (f'{z'); la variable z décrit une courbe correspondante z^Z; les intégrales définies sont prises suivant ces deux courbes. On a

et par suite

-f-r/(z.)e.(z;-2:)+/(z.)e.(3;-3;)-f-...4-.Az...e..,(Z'-C.)].

Si, comme précédemment, on appelle M le maximum du module de/(;;), £ le plus grand module des quantités eo« ^i» •• • < C/i-i; si Ton désigne parco, Co.. . , c„i les cordes qui sous-tendent les arcs z'^^z\ , z\z'^^.. ., z„,Z\ et par /' la longueur de la courbe sJ^Z', le module de la seconde partie est moindre que

cette seconde partie tend donc vers zéro; on en conclut que les deux intégrales sont égales.

Corollaire. — S/, lorsque la variable z décrit la courbe 5„ Z, la fonction F (5) est continue et admet pour déri{'ée/[z), on a

f'f(z)dzz:¥{Z)-¥[z.),

l'intégrale étant prise le long de cette courbe.

Posons u -= ¥{z); quand la variable z décrit la courbe z^Z, la va-

riable u décrit une courbe correspondaute u^ U» et, en verlu du théorème précédent, on a

1 du^- l f'(z)dZ--::: / f[z)dz. Ju^ J z^ J z^

Si Ton désigne par 1/1,2/2 9 ^n-\ une série de points intermédiaires

sur la courbe 1/0 U, la première intégrale est la limite de la somme

mais cette somme est égale à U — Woî on en conclut que Tintégrale définie est égale à U — w©» c'est-à-dire a F(Z) — f^z^).

81. Théorème III. — Si la fonction f {z) peut se développer en une série

f[z) =: //,+ M, 4- MoH- . . .,

dont tous les termes soient des fonctions continues de z quand cette variable décrit la courbe Zq Z , convergente en tous les points de cette courbe, et telle que l'on puisse prendre n assez grand pour que^ en chacun de ces points^ le module de la somme

soit moindre qu'un nombre donné a, on a

f[z)dz -~z j u, dz -+- 1 //, dz H

toutes les intégrales étant prises le long de la courbe z^Z.

Désignons en effet par S„ la somme des n premiers termes de la dernière série, par 9(2) la somme m„-t- u^^^ -i- . . . , et par / la longueur de la courbe, on a

f'f(z)dz = S.+ j '<f{z)dl;

le module de f (z) étant moindre que a, le module de la dernière intégrale est moindre que a/; la somme Sn tend donc vers une limite égale à la première intégrale, quand n augmente indéfiniment.

H8 LIVRE m. — CHAPITRE I.

82. TiiÊoiiKME IV. — Lorsqu une fonction f {z) est holomorphe dans une partie du plan à contour simple, V intégrale définie

f[z)dz.

relative à une courbe fermée quelconque située dans cette partie du plan, est nulle.

Nous entendons par ces mots — une partie du plan — une aire continue, c'est-à-dire telle que Ton puisse aller d'un point à un autre sans sortir de Taire. Si Taire est limitée par une ligne fermée continue, nous dirons qu'elle est à contour simple; si elle est limitée par plusieurs lignes distinctes, nous dirons qu'elle est à contour complexe. Par exemple, Taire d'un cercle esta contour simple; Taire comprise entre deux circonférences concentriques est à contour complexe.

On peut toujours, à Taide de transversales ou de coupures, transformer un contour complexe en un contour simple.

Dans le cas précédent, concevons que Ton fasse une coupure allant de Tune des deux circonférences à l'autre {fig. 43); les deux bords de la coupure sont deux lignes infiniment voisines a6, a'b'\ Taire de la couronne est limitée parla ligne fermée continue ahch'a!d a^ et Ton a

FiiJ. \S.

Hlî. \\.

., II! y^

ainsi un contour simple. Considérons de même Taire que Ton obtient en enlevant d'un cercle deux petits cercles intérieurs [fig. 44)> aire limitée par (rois courbes distinctes; ii Taide de deux coupures, telles

que ah^ a' h' et rfe, rfV, on forme un contour simple abcdefe'd' gh'a'ha enveloppant Taire.

Les théorèmes des n^' 20, 21, 22 s'appliquent à une aire limitée par une ligne fermée continue, et l'on suppose que celte ligne est décrite dans le sens positif, c'est-à-dire dans un sens tel, qu'un observateur ait toujours à sa gauche l'aire enveloppée. Dans les figures précédentes» les flèches indiquent le sens du mouvement.

Désignons d'une manière générale par G le contour simple qui enveloppe l'aire dans laquelle la fonction f[z) est holomorphe; quand la variable z se meut dans cette partie du plan, le point mobile est astreint à ne pas franchir le contour et, par conséquent, à ne traverser aucune des coupures, s'il y en a ; toutes les lignes que nous tracerons par la suite seront assujetties à la même condition. Considérons d'abord une courbe fermée A|, telle qu'aucun des rayons vecteurs qui joignent un point fixe 0 (correspondant à z = Zo)aux différents points de la courbe ne rencontre le contour {Jig. 45). Pour simplifier, nous remplacerons z

par ^0 + ^f ^fin que le point 0 soit l'origine de la nouvelle variable z, et nous représenterons encore par f[z) la fonction proposée.

Nous désignerons spécialement par z^ la valeur de la variable z, quand elle décrit la courbe A,, et nous prendrons pour variable réelle auxiliaire t l'arc de la courbe A|, compté à partir d'un point fixe a, cette variable croissant de zéro à la longueur / de la courbe. On a alors

130 LIVRE m. - CHAPITRE I.

et l'intégrale relative à la courbe fermée A< est (79)

La formule

dans laquelle a est un nombre réel et positif variant de zéro k Tuoité, peut servir à représenter tous les points de Taire décrite par le rayon vecteur Oz,. Quand, / restant constant , a croit de o à i, le point % décrit la droite Oz,. Quand, au contraire, a restant constant, t croit de G à /, le point z décrit une courbe A homothétique à A| par rapport au centre d*homothétie 0. L'intégrale relative à cette courbe A est

k=ff(z)dZr.cxJ nz]^'{t)(H.

Si l'on attribue à a une valeur voisine a' = a + Aa, le point mobile, que nous désignerons ici par z\ et qui est défini par la formule

décrit une courbe A' voisine de A, et l'intégrale relative h cette courbe A' est

\'=-Jf[z')dz'^[oL^^a)j f[z')<^'{t)dt.

On en déduit

y-\= f ]c.\f(z')-f{z)]-^f(z^)^aW{t)dt.

•Jet

Les deux points z et z\ qui appartiennent aux courbes A et A' et qui correspondent à une même valeur de /, sont situés sur un même rayon OjZi et sont très-voisins Tun de l'autre; car on az' — 5 = Aay(/). La fonction /(z) n'ayant qu'une valeur en chaque point et variant d'une manière continue, la différence /(js') —/{z) est très-petite et s'annule avec Aa; on en conclut que la différence A' — A est elle-même trèspetite et s'annule avec Aa. Ainsi l'intégrale relative à la courbe A est une fonction continue de a; nous la désignerons par tp(a). Cherchons le rapport de l'accroissement de cette fonction à celui de

la variable, savoir Considérons d'abord le rapport

.nz')-f(z) ^ f(z')-f{z) z^-z A a 2' — 2 A a

La fonction /(z), étant holomorphc, admet une dérivée /'(s), c'est-à-

dire que le rapport'^ / tend vers une même limite/' (s), quand

le point z' se rapproche du point z d'une manière quelconque; on a donc

£ tendant vers zéro avec Aa. De la relation z'— z = àoL<p{i), on déduit