AT
On a ainsi
Gomme on a, d'autre part,
l' tendant aussi vers zéro avec Aa, on obtient l'expression
ISCL
en représentant par F (2) la fonction holomorphe z/(z), et posant
£"= zE -h î\ et l'on a
~aT"^X'^^'^'^'^'"^'^'^'^'''*
Quand le points décrit la courbe fermée A, le point u = F{z) décrit une courbe fermée correspondante; l'intégrale /rfw, relative a cette dernière courbe, étant égale à la différence des valeurs de u aux deux
13i JJVRE IIÏ. - CHAPITRE I.
limites, est nulle; mais cette intégrale, d'après le théorème II, est égale à l'intégrale fF{z)dz relative à la courbe A, c'est-k-dire à
ûc I F {z)(p'{l) dt; cette dernière intégrale est donc nulle et l'équation (5) se réduit à
(6) ^^ = Jo ''^'('^^'•
Si maintenant on fait tendre Aa vers zéro, il est clair que le second membre tend aussi vers zéro. Ainsi la fonction ^{oi) de la variable réelle a admet une dérivée ^'{a) et cette dérivée est nulle.
La dérivée ^'(a) étant nulle, quand a varie de zéro k l'unité» on en conclut que la fonction ^(a) est constante; mais, pour une valeur trèspetite de a, cette fonction
^(^) = ocf f{z)f'{t)dt
a une valeur très-petite, et elle devient nulle pour a = o: ainsi la fonction ^{a) est nulle et, par conséquent, l'intégrale proposée, prise le long de la courbe A|, qui correspond a a = i , est nulle.
Supposons maintenant qu'il soit impossible de trouver un point 0 tel qu'aucun des rayons vecteurs Ozt ne rencontre le contour de l'aire. Lorsque la courbe fermée A, ne se coupe pas elle-même, elle enveloppe une portion de l'aire proposée, et Ton peut, k l'aide de transversales, décomposer cette portion d'aire en plusieurs parties limitées par des courbes jouissant de la propriété énoncée. L'intégrale relative k chacune d'elles étant nulle, leur somme est nulle; mais, si toutes les courbes sont décrites dans le sens positif, chaque transversale, étant parcourue deux fois dans des sens contraires, donne dans la somme des intégrales des quantités égales et de signes contraires, et il reste l'intégrale relative k la courbe A|.
Considérons actuellement une courbe fermée A| se coupant ellemême en n points, que nous appellerons des nœuds. Lorsque, partant d'un nœud a, on décrit la courbe A, dans le sens convenu, on revient k ce nœud avant d'avoir décrit la courbe entière, et l'on peut regarder cette courbe comme la réunion de deux courbes fermées offrant chacune moins de n nœuds, puisque le point a n'est plus un nœud sur ces
dernières. En continuant de la sorte, on décomposera la courbe proposée en une suite de courbes fermées dépourvues de nœuds; Tintégrale relative à chacune d'elles étant nulle, l'intégrale totale est nulle.
Remarque. — Lorsque, en un point quelconque du contour G et aux points intérieurs infiniment voisins, les valeurs de la fonction/(z) diffèrent infiniment peu les unes des autres, on peut appliquer au contour lui-même le théorème précédent; car, dans ce cas, l'intégrale relative à la courbe G diffère infiniment peu de celle relative à une courbe intérieure Â, infiniment voisine; cette dernière étant nulle, la première l'est aussi.
83. GoROLLAiRE I. — LorsquC UTie fonctioTi f [z) est holomorphe dans une partie du plan à contour simple ^ les intégrales définies
relatives aux différentes lignes qui vont dun point Zq à un autre z dans cette partie du plan, sont égales.
SoientjSoaz,Zo6z deux chemins allant du point ZoSiu pointz (y%«46); l'intégrale relative à la ligne fermée z^azbzo est nulle; mais cette intégrale est la somme de celles qui sont fournies par les deux parties z^az, zbzç, de la ligne fermée; cette dernière étant égale et de signe contraire a celle que l'on obtient quand on suit le chemin z^^bz^ on en conclut que les intégrales relatives aux deux chemins z^az^ z^^bz sont égales.
Fig. 46.
GoROLLAiRE II. — D*après cela, si on laisse fixe le point z^ et si Ton fait mouvoir le point z dans la partie du plan considérée, Tintégrale définie sera une fonction monotrope de z dans cette étendue. Dési-
iU LIVRE m. - CHAPITRE 1.
gnons-la par (p{z). En donnant à la variable deux valeurs voisines z et z' et remplaçant le chemin z^z' par le chemin z^z -^ zz\ on a
<p{y)-cp(z)=j^V(Ç)rfÇ;
cette dernière intégrale étant infiniment petite, on en conclut que la fonction (f{z) est continue. Si Ton observe que /(Ç) =/(5) -+- e, £ étant une quantité infiniment petite, on a
d'où
en désignant par E| le maximum du module de î, par / la longueur de la droite zz' et effectuant l'intégration suivant cette droite» on voit que le module du dernier terme est moindre que s,; il en résulte que le premier membre tend vers une même limite /(5), quand le point z' se rapproche indéfiniment du point z d*une manière quelconque, et par conséquenTque la fonction y {z) admet une dérivée. On en conclut que la fonction <<p (2) est hohmorphe dans la même partie du plan à contour simple que la fonction proposée /(z).
84. Théorème V. — Lorsqu une fonction f [z) est holomorphe dans une partie du plan à contour complexe^ V intégrale définie
relative à une ligne allant d'un point fixe z^ à un autre point fixe s, dans cette partie du plan ^ conserve une valeur constante, quand la ligne d'intégration se déforme d'une manière continue^ sans rencontrer aucune partie du contour de l'aire.
On peut diviser la courbe d'intégration en arcs assez petits pour que, dans une déformation infiniment petite, Taire décrite par chacun des arcs fasse partie d'une aire à contour simple comprise dans l'aire proposée. Soient ai l'un de ces arcs, a'b' la nouvelle position qu'il occupe;
les points a et 6 ont décrit les lignes infiniment petites aa\ bb'\ en vertu du corollaire I (n° 83), l'intégrale relative à l'arc ab est égale k celle relative au chemin aa'-f- a'b' -^ b'b. De même l'intégrale relative à l'arc suivant bc est égale à celle relative au chemin bb'-\- b'c'-^- &c^ et ainsi de suite. L'origine du premier arc, ainsi que l'extrémité du dernier, étant fixes, et chaque transversale» telle que bb', étant parcourue deux fois dans des sens contraires, si l'on ajoute toutes ces égalités membre à membre, on reconnaît que les intégrales suivant les deux courbes voisines sont égales.
Corollaire I. — Lorsqu'une fonction f[z) est holomorphe dans une partie du plan à contour complexe , V intégrale définie
z)dzy
relative à une courbe fermée A située dans cette partie du plan, conserve une valeur constante^ quand on déforme cette ligne d'une manière continue^ sans rencontrer aucune partie du contour de raire.
Soient A et A' deux positions de la courbe mobile; un pointa de cette courbe a décrit la ligne aa'; les deux lignes A et oa'A'a'a, qui vont du point a au même point a, et qui peuvent se ramener l'une à l'autre sans rencontrer aucune partie du contour, donnant des intégrales égales, et la transversale aaf étant parcourue deux fois dans des sens contraires, les intégrales relatives aux deux courbes fermées A et A', décrites dans des sens convenables, sont égales.
Corollaire II. — Lorsque la fonction f{z) est holomorphe dans une partie du plan limitée par deux courbes fermées C et C {fig. 47)» les intégrales ff{z)dz relatives à ces deux courbes ou à deux courbes infiniment voisines, décrites chacune dans le sens positif par rapport à l'aire qu'elle enveloppe, sont égales.
Ce corollaire est compris dans le précédent; mais on le démontre directement de la manière suivante. Nous supposerons que sur les deux courbes C etC la fonction /(z) satisfait à la condition énoncée dans la remarque du n^ 82, sans quoi on les remplacerait par des courbes infiniment voisines et situées dans la portion du plan considérée. A l'aide d'une coupure ab, on peut concevoir cette partie du plan comme enve-
13(i LIVRE III. - CHAPITRE ï.
loppée par la ligne fermée ahcdha&d'a. D*aprës let héorëroe IV, Tinlégrale relative à ce contour est nulle. La transversale ah^ étant parcourue deux fois dans des sens contraires, donne dans l'intégrale des quantités égales et de signes contraires; on peut en faire abstraction; il reste la courbe G parcourue dans le sens positif et la courbe 0/ parcourue dans le sens négatif par rapport à Faire intérieure a cette courbe. Si chacune des deux courbes fermées est parcourue dans le sens positif par rapport à Taire intérieure à cette courbe mémo, les deux intégrales sont égales.
Fig. 47- Fig. 48.
/ '-"'""^) if
85. Théorème VI. — Lorsqu'une fonction f[z) est holomorphe dam une partie du plan à contour simple^ si Von désigne par t un point quelconque situé dans cette partie du plan^ on a
r intégrale étant prise, dans le sens positif, sur le contour de Caire ou sur une courbe intérieure infiniment r>oisine.
Du point / comme centre [fig. 48), avec un rayon infiniment petit p, décrivons un cercle. La fonction
K(.| = ûîl
est holomorphe dans la partie du plan comprise entre la circonférence p et la courbe C; d'après le corollaire précédent, les intégrales
¥{z)dzy
relatives à ces deux courbes, décrites chacune dans le sens positif par rapport à Taire qu'elle enveloppe, sont égales. Pour évaluer l'intégrale relative à la circonférence, posons
d'où
dz-~. ipe^'dO,
l F(z)dz-^if "" f[t\-pe^^)de.
F(z)rf:j — I /
La fonction /(;;) étant continue, on a
£ s'annulant avec p, et l'intégrale se réduit à
edÔ
Appelons £| le maximum du module de s sur la circonférence p; le module du second terme est moindre que la quantité infiniment petite 27rS| ; mais, d'après le même corollaire, l'intégrale relative à la circonférence p conserve une valeur constante, quand le rayon tend vers zéro; le second terme est donc rigoureusement nul, et Ton a
On en déduit
Jo
86. Théorème VII. — Lorsqù! une fonction f [z) est holomorphe dans une partie du plan, sa dérivée est aussi holomorphe dans la même étendue.
Soit / un point situé dans cette partie du plan; considérons une portion de cette aire, qui soit limitée par un contour simple C et qui comprenne le point /; d'après le théorème précédent, on a
(7) /('J^ïiï f nz)[^-t)-'dz,
138 UVRE m. - CHAPITRE I.
l'intégrale étant prise le long de la courbe G. Pour un second point / + A/, voisin du premier et situé aussi à l'intérieur de la courbe G» on a de même
/(/-f AO--^. f f{z)(z-^t-M)-^dz.
On en déduit
f(t + ^t)-f{t) = ^ f /(3)[(z-/-A/)--(z-o-^]rf^.
ou plus simplement et par suite
La fonction {z — ^)"* de la variable t ayant une dérivée {z — /)~', on peut écrire
6 tendant vers zéro avec A/. Il en résulte
^^I^i f /(^)(^-')-'rf^ + r4:- f n^)^dz.
On verra, comme précédemment, que le second terme a pour limite zéro, quand A/ tend vers zéro. On a donc
(8) /'(')'- ïii- f f{^)(^-n-'dz.
Pour un point / -h A/, voisin du premier, et situé aussi à rintérieur de la courbe G, on a
/'(^-AO- A f f{z)iz~t^M)r^dz,
d'où
/'(^ + A/-) -/'(/)-.-!- f f(z)Mz-t)-^dz.
LBS INTÉGRALES DÉFINIES. i39
La fonction {z — ty^ de l étant continue, on peut prendre At assez petit pour que le module de A(s — ty- soit moindre qu'une quantité donnée, quand z décrit la courbe C; la valeur de l'intégrale définie est donc infiniment petite, et par conséquent /'(/) est une fonction continue. On a ensuite
At ^T^i J(C) ^^
La fonction {z — t)"^ de /admettant une dérivée 2{z — /)""*, on posera 6 tendant vers zéro avec At. Il en résulte
la première intégrale a une valeur finie et déterminée, la seconde tend
vers zéro avec At. Ainsi le rapport -"xT" ^^^^ ^^^^ ^"® limite déterminée, quand At tend vers zéro d'une manière quelconque; d'où l'on conclut que la fonction/' (/) a w/ie dérivée, et, par conséquent, qu'elle est holomorphe dans la même étendue que la fonction proposée /(/). Si Ton représente par/"(/) sa dérivée, on a
(9) ^"(^)^'ïS- f,f{z){z-^t)-^dz.
87. Corollaire. — La fonction /'(i) étant holomorphe, sa dérivée /"'(/) est holomorphe dans la même étendue; elle admet donc une dérivée /*(/), qui est elle-même holomorphe, et ainsi de suite indéfiniment. Ainsi, lorsqu'une /onction est holomorphe dans une partie du plan 9 elle admet une infinité de dérivées successives, qui sont toutes holomorphe s dans la même étendue, .
En continuant le raisonnement précédent, on obtient l'expression par une intégrale définie de l'une quelconque de ces dérivées
/ \ x-nt *^ 1.2.3. . n r f(z) ,
i40 LIVRE m. — CHAPITRE I.
n est à remarquer que la connaissance des valeurs de la fonction proposée f{z) sur la courbe C suffit pour déterminer les valeurs de la fonction et de ses dérivées successives dans l'intérieur de cette courbe. Supposons que Ton réduise la courbe G a un cercle décrit du point t comme centre avec un rayon r, les formules (7) et (10) deviennent
)dQy
88. Remarque. — La formule (1 1) est susceptible d'une interprétation géométrique très-simple. Si Ton pose z=zx -^yif/iz) = X 4- Yi, les deux fonctions réelles X et Y des deux variables réelles et indépendantes xely peuvent être regardées comme les ordonnées de deux surfaces (n° 9). Considérons les deux volumes compris entre le plan des j:y, une surface cylindrique ayant pour base le cercle décrit du point / comme centre avec le rayon r, et limités respectivement par les deux surfaces X et Y; ces volumes ont pour expressions
\ pdp I Xd$, V~ / pdp I Y de-,
o Jo Jo Jo
mais, d'après la formule (11), on a
X, - - / Xrf0, Y, ^-. ~ / Yrf0, X| et Y, étant les valeurs de X et Y au point /; on en déduit
U:-=7:r'X„ V^-ttHY..
Ainsi les deux volumes U et V sont équivalents à deux cylindres ayant pour hauteurs X, et Y,.
EXEMPLES DINTÉGRALES DÉFINIES.
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