CHAPITRE IL

EXEMPLES d'intégrales DEFINIES.

89. Exemple I. — La fonction e~^' étant holomorphe dans toute l'étendue du plan, Tintégrale

e- '' dz

relative a un contour fermé quelconque est nulle. Considérons le rectangle A, ABB, {Jig. 49) formé par Taxe des or, une parallèle B|B à cet axe à la distance b^ et deux parallèles AB, A|B| à Taxe desjet a même

distance a. Suivant A, A on az == a?, or variant de — aa -h a; suivant AB on a 2 = a -h j«, j variant de o à 6; suivant BB, on a z ~ a? -1- bi^ X variant de •+• a à — a; et enfin suivant B, A< on a s ~ — - a-^ yi^ y variant de 6 à o. L'intégrale relative au contour du rectangle étant nulle, on a l'équation

é?-" dx-h i f e-('-^ri)'dy -+- j ^-c* h6*)« dx ^ i j e-^—^ri)' dy= o.

-a * rt J -\-a J b

La seconde intégrale

Jr%h pb

I ^- {a-^py- dy -- <r^' / e^^ '«/* dy

142 LIVRE in. - CHAPITRE II.

tend vers zéro» quand a augmente indéfiniment; il en est de même de

la quatrième; on sait d'ailleurs que la première a pour limite v^tt. On déduit de là

ou

- oc • — oc

et par suite